1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 214 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.D.3.设直线 则直线 L 1 ，L 2 的夹角为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 收敛，则下列级数必收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)为偶函数，且 f (一 1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.= 1 （分数：2.00）填空项
2、 1:_7. 1 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10.级数 （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 y +ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 a 0 0，a n1 = (n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.确定正数 a，b 的值，使得 （分数：2.00）_16.设 f(x)= （分数：2.00）_17.设 f(x)在
3、a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)一 f(a)=f ()ln （分数：2.00）_18.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g (x)0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_设 f(x)连续，且 F(x)= 0 x (x 一 2t)f(t)dt证明：（分数：4.00）(1).若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数；（分数：2.00）_(2).若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减（分数：2.00）_21.设 f(x)C一 ，且 f(x)= （分
4、数：2.00）_22.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 z 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_23.设 z= 0 x2 f(t，e t )dt，f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.计算 I= L (e x +1)cosydx 一(e x +x)sinyxdy，其中 L 为由点 A(2，0)沿心形线 r=1cos 上侧到原点的有向曲线段（分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.求微分方程 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 214 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)
5、一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1 C.D.解析：解析：ff(x)=3.设直线 则直线 L 1 ，L 2 的夹角为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：s 1 =1，一 2，1，s 2 =1，一 1，00，2，1=一 1，一 1，2，设直线 L 1 ，L 2 的夹角为 ，则 cos= 4.设 收敛，则下列级数必收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： ( n + n1 )收敛，因为 S n =2( 1 + 2
6、+ n )一 1 + n1 ，而级数 n 收敛 所以 ( 1 2 + n )存在且 存在，由级数收敛的定义， 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)为偶函数，且 f (一 1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 8）解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f (x)为奇函数，于是 f (1)=一 2 6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7. 1 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 ln(x+ )为奇函数，所以 x 2 ln(x )为奇函数 8.=
7、 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： (x 2 xy 一 x)dxdy= 0 1 dx x 2x (x 2 +xyx)dy= 0 1 10.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： n = ， 因为 11.微分方程 y +ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cosx）解析：解析：y=cosxe tanxdx dx+Ce tanxdx =(x+C)cosx三、解答题(总题数：1
8、7，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设 a 0 0，a n1 = (n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 a n1 = 得 a n 1(n=1，2，3，)； 又由 a n1 = 得 a n 2(n=1，2，)，故数列a n 有界； 又由 a n1 一 a n = 得 a n1 一 a n 与 a n 一 a n1 同号，即数列a n 单调，故 存在 令 )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.确定正数 a，b 的值，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 显
9、然 b=1，且 )解析：16.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)= )解析：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)一 f(a)=f ()ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)=lnx，g (x)= 0，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 ，整理得 f(b)一 f(a)=f ()ln )解析：18.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g (x)0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)g(b)+
10、f(a)g(x)一 f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F ()=0，而 F (x)=f (x)g(b)+f(a)g (x)一 f (x)g(x)一 f(x)g (x)，所以 )解析：解析：这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x 得 19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)连续，且 F(x)= 0 x (x 一 2t)f(t)dt证明：
11、（分数：4.00）(1).若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(一 x)=f(x)，因为 F(一 x)= 0 x (一 x 一 2t)f(t)dt )解析：(2).若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)= 0 x (x 一 2t)f(t)dt=x 0 x f(t)dt 一 2 0 x tf(t)dt， F (x)= 0 x f(t)dtxf(x)=xf()一 f(x)，其中 介于 0 与 x 之间， 当 x0 时，x0，因为 f(x)单调不增，所以 F (x)0， 当 x0 时，0x，
12、因为 f(x)单调不增，所以 F (x)0， 从而 F(x)单调不减)解析：21.设 f(x)C一 ，且 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)sinxdx=A，则 f(x)= +A， 于是 f(x)sinx= +Asinx，两边从一 到 积分得 )解析：22.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 z 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为(a，a 2 )(a0)，则切线方程为 y 一 a 2 =2a(xa)，即 y=2axa 2 ， 由题意得 S= ，解得 a=1， 则切线方程为 y=2x 一 1，旋转体的体
13、积为 V= )解析：23.设 z= 0 x2 f(t，e t )dt，f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2xyf(x 2 y，e x2y )， )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=(x，y，z)x 2 +y 2 z 2 ，0za，则 (x 2 +y 2 )dxdydz= 0 a dz 0 2 d 0 z r 3 dr= 0 a z 4 dz= )解析：25.计算 I= L (e x +1)cosydx 一(e x +x)sinyxdy，其中 L 为由点 A(2，0)沿心形线 r=1cos 上侧到原点的有向曲线段（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 L 1 ：y=0(起点 x=0，终点 x=2)，则 L1 (e x +1)cosydx(e x +x)siny 一 xdy= 0 2 (e x 1)dx=e 2 1， 所以原式= )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得收敛半径为 R= ，当 x= (2n 一 1)发散，故级数的收敛域为)解析：27.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 一 2x=y，则 x=一ye 2dy dy+Ce 2dy =Ce 2y )解析：
