1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 214 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)= (分数:2.00)A.0B.1C.D.3.设直线 则直线 L 1 ,L 2 的夹角为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 收敛,则下列级数必收敛的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:7,分数:14.00)5.设 f(x)为偶函数,且 f (一 1)=2,则 (分数:2.00)填空项 1:_6.= 1 (分数:2.00)填空项
2、 1:_7. 1 1 (分数:2.00)填空项 1:_8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_9. (分数:2.00)填空项 1:_10.级数 (分数:2.00)填空项 1:_11.微分方程 y +ytanx=cosx 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:17,分数:34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 a 0 0,a n1 = (n=0,1,2,),证明: (分数:2.00)_14.求 (分数:2.00)_15.确定正数 a,b 的值,使得 (分数:2.00)_16.设 f(x)= (分数:2.00)_17.设 f(x)在
3、a,b上连续,在(a,b)内可导(a0),证明:存在 (a,b),使得 f(b)一 f(a)=f ()ln (分数:2.00)_18.设 f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 g (x)0证明:存在 (a,b),使得 (分数:2.00)_19.求 (分数:2.00)_20.求 (分数:2.00)_设 f(x)连续,且 F(x)= 0 x (x 一 2t)f(t)dt证明:(分数:4.00)(1).若 f(x)是偶函数,则 F(x)为偶函数;(分数:2.00)_(2).若 f(x)单调不增,则 F(x)单调不减(分数:2.00)_21.设 f(x)C一 ,且 f(x)= (分
4、数:2.00)_22.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线,使该曲线、切线与 z 轴所围成的面积为 (分数:2.00)_23.设 z= 0 x2 f(t,e t )dt,f 有一阶连续的偏导数,求 (分数:2.00)_24.计算 (分数:2.00)_25.计算 I= L (e x +1)cosydx 一(e x +x)sinyxdy,其中 L 为由点 A(2,0)沿心形线 r=1cos 上侧到原点的有向曲线段(分数:2.00)_26.求幂级数 (分数:2.00)_27.求微分方程 (分数:2.00)_考研数学一(高等数学)模拟试卷 214 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)
5、一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)= (分数:2.00)A.0B.1 C.D.解析:解析:ff(x)=3.设直线 则直线 L 1 ,L 2 的夹角为( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:s 1 =1,一 2,1,s 2 =1,一 1,00,2,1=一 1,一 1,2,设直线 L 1 ,L 2 的夹角为 ,则 cos= 4.设 收敛,则下列级数必收敛的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析: ( n + n1 )收敛,因为 S n =2( 1 + 2
6、+ n )一 1 + n1 ,而级数 n 收敛 所以 ( 1 2 + n )存在且 存在,由级数收敛的定义, 二、填空题(总题数:7,分数:14.00)5.设 f(x)为偶函数,且 f (一 1)=2,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 8)解析:解析:因为 f(x)为偶函数,所以 f (x)为奇函数,于是 f (1)=一 2 6.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:7. 1 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 ln(x+ )为奇函数,所以 x 2 ln(x )为奇函数 8.=
7、 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:9. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: (x 2 xy 一 x)dxdy= 0 1 dx x 2x (x 2 +xyx)dy= 0 1 10.级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: n = , 因为 11.微分方程 y +ytanx=cosx 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(x+C)cosx)解析:解析:y=cosxe tanxdx dx+Ce tanxdx =(x+C)cosx三、解答题(总题数:1
8、7,分数:34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:13.设 a 0 0,a n1 = (n=0,1,2,),证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 a n1 = 得 a n 1(n=1,2,3,); 又由 a n1 = 得 a n 2(n=1,2,),故数列a n 有界; 又由 a n1 一 a n = 得 a n1 一 a n 与 a n 一 a n1 同号,即数列a n 单调,故 存在 令 )解析:14.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.确定正数 a,b 的值,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: , 显
9、然 b=1,且 )解析:16.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(x)= )解析:17.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导(a0),证明:存在 (a,b),使得 f(b)一 f(a)=f ()ln (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 g(x)=lnx,g (x)= 0,由柯西中值定理,存在 (a,b),使得 ,整理得 f(b)一 f(a)=f ()ln )解析:18.设 f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 g (x)0证明:存在 (a,b),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=f(x)g(b)+
10、f(a)g(x)一 f(x)g(x),则 F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 F(a)=F(b)=f(a)g(b),由罗尔定理,存在 (a,b),使得 F ()=0,而 F (x)=f (x)g(b)+f(a)g (x)一 f (x)g(x)一 f(x)g (x),所以 )解析:解析:这是含端点和含 的项的问题,且端点与含 的项不可分离,具体构造辅助函数如下:把结论中的 换成 x 得 19.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:设 f(x)连续,且 F(x)= 0 x (x 一 2t)f(t)dt证明:
11、(分数:4.00)(1).若 f(x)是偶函数,则 F(x)为偶函数;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 f(一 x)=f(x),因为 F(一 x)= 0 x (一 x 一 2t)f(t)dt )解析:(2).若 f(x)单调不增,则 F(x)单调不减(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:F(x)= 0 x (x 一 2t)f(t)dt=x 0 x f(t)dt 一 2 0 x tf(t)dt, F (x)= 0 x f(t)dtxf(x)=xf()一 f(x),其中 介于 0 与 x 之间, 当 x0 时,x0,因为 f(x)单调不增,所以 F (x)0, 当 x0 时,0x,
12、因为 f(x)单调不增,所以 F (x)0, 从而 F(x)单调不减)解析:21.设 f(x)C一 ,且 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)sinxdx=A,则 f(x)= +A, 于是 f(x)sinx= +Asinx,两边从一 到 积分得 )解析:22.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线,使该曲线、切线与 z 轴所围成的面积为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设切点坐标为(a,a 2 )(a0),则切线方程为 y 一 a 2 =2a(xa),即 y=2axa 2 , 由题意得 S= ,解得 a=1, 则切线方程为 y=2x 一 1,旋转体的体
13、积为 V= )解析:23.设 z= 0 x2 f(t,e t )dt,f 有一阶连续的偏导数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: =2xyf(x 2 y,e x2y ), )解析:24.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:=(x,y,z)x 2 +y 2 z 2 ,0za,则 (x 2 +y 2 )dxdydz= 0 a dz 0 2 d 0 z r 3 dr= 0 a z 4 dz= )解析:25.计算 I= L (e x +1)cosydx 一(e x +x)sinyxdy,其中 L 为由点 A(2,0)沿心形线 r=1cos 上侧到原点的有向曲线段(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 L 1 :y=0(起点 x=0,终点 x=2),则 L1 (e x +1)cosydx(e x +x)siny 一 xdy= 0 2 (e x 1)dx=e 2 1, 所以原式= )解析:26.求幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 得收敛半径为 R= ,当 x= (2n 一 1)发散,故级数的收敛域为)解析:27.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 一 2x=y,则 x=一ye 2dy dy+Ce 2dy =Ce 2y )解析: