1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 212 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n =(一 1) n ln(1+ )，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)3.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.曲面 ze z +2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1
2、:_7.设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.求下列极限： （分数：2.00）_10.求 （分数：2.00）_11.求 （分数：2.00）_12.设 y=ln(4x+1)，求 y (n) （分数：2.00）_13.设由 e y +x(yx)=1+x 确定 y=y(x)，求 y (0)（分数：2.00）_14.设 f(x)二阶可导，且 （分数：2.00）_15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存
3、在 (a，b)，使得 f()= （分数：2.00）_设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：4.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_(2).存在 (1，2)，使得 1 2 f(t)dt=( 一 1)f ()ln2（分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.求 0 n xcosxdx（分数：2.00）_19.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_20.设 z=yf(x 2 一 y 2 )，其中
4、 f 可导，证明： （分数：2.00）_21.计算 x 2 zd，其中 ： （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.利用格林公式计算 L (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)dy，其中 L 是圆周 y= （分数：2.00）_24.对右半空间 x0 内的任意光滑有侧封闭曲面，有 （分数：2.00）_25.判断级数 （分数：2.00）_26.求微分方程 y +y 一 2y=(2x+1)e x 一 2 的通解（分数：2.00）_27.求微分方程 x 2 y xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 212
5、 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n =(一 1) n ln(1+ )，则( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由交错级数审敛法二、填空题(总题数：5，分数：10.00)3.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*C）解析：解析：5.设 f(x)连续，则 （分数：
6、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 x f()d+xf(x)）解析：解析： 0 x xf(x 一 t)dt=一 x 0 x f(xt)d(xt) 一 x x 0 f()d=x 0 x f()d， 则 0 x xf(xt)dt= 6.曲面 ze z +2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4(x 一 1)+2(y 一 2)=0，即 ：2x+y 一4=0）解析：解析：曲面 ze z +2xy=3 在点(1，2，0)处的法向量为 n=2y，2x，1 一 e z (1，2，0) =4，2，0，则切平面为 ：4(x 一
7、 1)+2(y 一 2)=0，即 ：2x+y 一 4=07.设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：z=f(x+y，y+z，z+x)两边求 x 求偏导得 ，解得三、解答题(总题数：21，分数：42.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：9.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 y=ln(4x+1)，求 y (n)
8、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y = =4(4x+1) 1 y =4 2 (1)(4x+1) 2 ，y =4 3 (一 1)(一 2)(4x+1) 3 ， 由归纳法得 y (n) = )解析：13.设由 e y +x(yx)=1+x 确定 y=y(x)，求 y (0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 时，y=0 e y +x(yx)=1+x 两边关于 x 求导得一 e y y +yx+x(y 1)=1，则 y (0)=一 1； 一 e y y +yx+x(y 一 1)=1 两边关于 x 求导得 e y (y ) 2 一 e y y +2(y 一 1)+2(y 一 1
9、)xy =0，代入得 y (0)=一 3)解析：14.设 f(x)二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0 得 f(0)=1，f (0)=0， f(0)=f(1)=1，由罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f (c)=0 令 (x)=x 2 f (x)， (0)=(c)=0，由罗尔定理，存在 (0，c) )解析：15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(b 一 x) a f(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导 因为(a)=
10、(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0 由 (x)=(b 一 x) a1 (b一 x)f (x)一 af(x)得 (b 一 ) a1 (b 一 )f ()一 af()且(b 一 ) a1 0，故 f()= )解析：设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：4.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=lnx，F(x)= 1 x f(t)dt，且 F (x)=f(x)0，由柯西中值定理，存在(1，2)，使得 )解析：(2).存在 (1，2)，使得 1 2 f(t)dt=( 一 1
11、)f ()ln2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： dx=一lnsinxd(cotx)=一 cotxlnsinx+cotx )解析：18.求 0 n xcosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 n xcosxdx= 0 xcosxdx 2 xcosxdx (n1) n xcosxdx， 0 xcosxdx= 0 cosxdx= =， 2 xcosxdx 0 (t)costdt= 0 tcostdt 0 costdt=2=3， 2 3 xcosx
12、dx )解析：19.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+dx 0，1，则 d=2(2 一 x)( 一 x)dx， )解析：20.设 z=yf(x 2 一 y 2 )，其中 f 可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2xyf (x 2 一 y 2 )， =f(x 2 一 y 2 )一 2y 2 f (x 2 一 y 2 )，则 =2yf (x 2 一 y 2 )+ f(x 2 一 y 2 )一 2yf (x 2 一 y 2 ) = (x 2 一
13、y 2 )= )解析：21.计算 x 2 zd，其中 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： x 2 dxdy= 0 1 zdz 0 2 d 0 z r 3 cos 2 dr = 0 1 z 5 dz 0 2 cos 2 d = )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.利用格林公式计算 L (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)dy，其中 L 是圆周 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= L (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)dy = (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)d
14、y 而 (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)dy= ， (e x siny+x 一 y)dx+(e x cosy+y)dy= 0 2a xdx=2a 2 ， 所以 L (e x siny+x 一 y)dx(e x cosyy)dy=( )解析：24.对右半空间 x0 内的任意光滑有侧封闭曲面，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由高斯公式得 xf(x)dydzxyf(x)dzdxe 2x zdxdy= xf (x)+(1 一 x)f(x)一 e 2x d=0， 当曲面法向量指向外侧时取正号，当曲面的法向量指向内侧时取负号 由的任意性得 xf (x)+(1 一 x)
15、f(x)一 e 2x =0(xO)，或者 f (x)+ ， 则 f(x 因为 (e 2x Ce x )=0，从而 C=1， 于是 f(x)= )解析：25.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：级数 是交错级数， )解析：26.求微分方程 y +y 一 2y=(2x+1)e x 一 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 + 一 2=0，特征值为 1 =1， 2 =一 2， 令 y +y 一2y=(2x+1)e x (1) y +y 一 2y=一 2 (2) 令(1)的特解为 y 1 =(ax 2 +bx)e x ，代入(1)得 ； 显然(2)的一个特解为 y 2 =1， 故原方程通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x + )解析：27.求微分方程 x 2 y xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x 2 y xy=y 2 得 ， 两边积分得 =Cx 2 ， 因为 y(1)=1，所以 C=一 1，再把 = =Cx 2 得原方程的特解为 y= )解析：
