1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 210 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 收敛，则下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_4.设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f (0)=b，若 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.点 M(3，一 4，4)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_三、
2、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_8.求 （分数：2.00）_9.求 （分数：2.00）_10.设 f(x)= （分数：2.00）_11.由方程 sin(xy)+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 （分数：2.00）_12.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=0，证明：存在 (0，1)，使得 f ()sin+f()cos=0（分数：2.00）_13.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f (x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得 （分数：2.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，
3、b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：4.00）(1).存在 (a，b)，使得 f ()=2f()（分数：2.00）_(2).存在 (a，b)，使得 f ()+f()=0（分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.求曲线 L： （分数：2.00）_17.计算下列定积分： （分数：2.00）_18.设曲线 y=a+xx 3 ，其中 a0，当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_19.求曲面：x 2 一 y 2 +2z 2 =8 上与平面 ：
4、xy+2z 一 5=0 平行的切平面（分数：2.00）_20.讨论 f(x，y)= （分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.计算 y(xz)dydz+x(zy)dxdy，其中为 z= （分数：2.00）_25.设 a n 为发散的正项级数，令 S n =a 1 +a 2 +a n (n=1，2，)证明： （分数：2.00）_26.设位于第一卦限的曲线 y=f(x)上任一点 P(x，y)的切线在 x 轴上的截距等于该点法线在 y 轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线（分数：2.00）_27.求微分方程 c
5、osy （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 210 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 收敛，则下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)不对，如 发散； (B)不对，如 也收敛； (C)不对，如二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=1，b=一 1；）解析：解析：f(0+0)= =3+2b，f(0)=1， f(0 一
6、0)=4.设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f (0)=b，若 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ab）解析：解析：5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.点 M(3，一 4，4)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：点 M 0 (4，5，2)在直线上，s=2，一 2，1为直线的方向向量， ，则点 M(3，一4，4)到直线 的距离为 d= 三、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：8.求 （分数：2.00）
7、_正确答案：(正确答案： )解析：9.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(0 一 0)=b，f(0)=f(0+0)=0，由 f(x)在 x=0 处连续得 b=0； f (0)= =a， f (0)= )解析：11.由方程 sin(xy)+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 代入 sin(xy)+ln(y 一 x)=x 得 y=1， sin(xy)+ln(y 一 x)=x 两边关于 x 求导得 cos(xy) =1 将 x=0，y=1 代入得 )解析
8、：12.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=0，证明：存在 (0，1)，使得 f ()sin+f()cos=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)sinx， ( 0)= ( 1)=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=f (x)sinx+f(x)cosx，故 f ()sin+f()cos=0)解析：13.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f (x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=lnx，F (x)= 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得
9、 由拉格朗日中值定理得 ln2 一 lnl= ，其中 (1，2)， f(2)一 f(1)=f ()(2 一 1)=f ()，其中 (1，2)， 故 )解析：设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：4.00）(1).存在 (a，b)，使得 f ()=2f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x2 f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=e x2 f (x)一 2xf(x)且 e x2 0，故 f ()=2f()解析：(2).存在 (a，
10、b)，使得 f ()+f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在(a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=xf (x)+f(x)，故 f ()+f()=0)解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 A(x 一 4)(x 一 3) 2 +B(x 一 2)(x 一 3) 2 +C(x 一 2)(x 一 3)(x 一 4)D(x 一 2)(x 一 4)=1 得 ，C=0，D=1， )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求曲线 L： （
11、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 L： (0t2)， 第一卦限的面积为 故所求的面积为 A=4A 1 = )解析：17.计算下列定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2) (3) )解析：18.设曲线 y=a+xx 3 ，其中 a0，当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=axx 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 一 0 (a+xx 3 )dx= (a+xx 3 )dx，移项得 0 (a+xx 3 )dx+
12、(a+xx 3 )dx= 0 (a+xx 3 )dx=0 (4a+2 3 )=0 因为 0，所以 4a+2 一 3 =0 又因为(，0)为曲线 y=a+xx 3 与 x 轴的交点，所以有 a+ 3 =0， 从而有 )解析：19.求曲面：x 2 一 y 2 +2z 2 =8 上与平面 ：xy+2z 一 5=0 平行的切平面（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为(x，y，z)，法向量为 n=2x，一 2y，4z=2x，一 y，2z， 由 )解析：20.讨论 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =0，所以 =0=f(0，0)，即函数 f(x，y)在点(0，
13、0)处连续 因为 =0，所以 f x (0，0)=0，根据对称性得 f y (0，0)=0，即函数 f(x，y)在(0，0)处可偏导 z=f x (0，0)xf y (0，0)y=f(x，y)一 f x (0，0)xf y (0，0)y= ，因为 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 I= dxdy，则 )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 I= sinx 2 cosy 2 dxdy= siny 2 cosx 2 dxdy， )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 L 1 ：y=0(0x2)，L 2
14、： ，L 3 ：y=x(0x )， )解析：24.计算 y(xz)dydz+x(zy)dxdy，其中为 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ：z=1(x 2 +y 2 1)取下侧， 2 ：z=2(x 2 +y 2 4)取上侧， )解析：25.设 a n 为发散的正项级数，令 S n =a 1 +a 2 +a n (n=1，2，)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然S n n=1 。单调增加，因为级数 =，对交错级数 )解析：26.设位于第一卦限的曲线 y=f(x)上任一点 P(x，y)的切线在 x 轴上的截距等于该点法线在 y 轴上截距的相反数，且曲线经过点
15、(1，0)，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：切线为 Yy=y (X 一 x)，令 Y=0 得 X=x 一 ； 法线为 Yy=一 (X一 x)，令 X=0 得 Y=y ， 由题意得 ， 令 = ，即积分得 一 +2ln(+1)=一 lnx+C， 初始条件代入得 C=0，所求曲线为 )解析：27.求微分方程 cosy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 cosy cosxsin 2 y=siny 得 cosxsin 2 y=siny 令=siny，则 一 =cosx 2 ，令 1 =z，则 z=cosx， 解得 z=(cosx)e dx dxCe dx =一e x cosxdx+Ce x = e x (sinxcosx)+Ce x =Ce x 一 (sinx+cosx) 则 )解析：
