1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 209 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设曲面是 z=x 2 +y 2 界于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 （分数：2.00）A.2e 4B.(e 4 1)C.2(e 4 一 1)D.e 43.若级数 n 收敛( n 0)，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)4.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_5.设 f(x)= （分数：2.00）填
2、空项 1:_6.设平面 1 ：3x 一 2y+6z 一 2=0 与平面 2 ：3x 一 2y+6z+12=0，则两平行平面之间的距离为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_8.求下列极限： （分数：2.00）_9.求 （分数：2.00）_10.求下列导数：(1)设 y=y(x)由 (2)设 y=y(x)由 （分数：2.00）_11.设 y= ，且 f (x)= （分数：2.00）_设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)= （分数：4.00）(1).求 g (x)；（分数：2.00）_(2).
3、讨论 g (x)在 x=0 处的连续性（分数：2.00）_12.设 f(x)三阶可导， （分数：2.00）_13.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f (0)=0，f (0)0，设 (x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，求 （分数：2.00）_14.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f (x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.求arctan （分数：2.00）_17.设 f(x)= 1 x e t2 dt，求 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_1
4、9.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 界于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 y= x 2 ，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_20.求曲线 L： （分数：2.00）_21.设 f(x，y)= （分数：2.00）_22.求 ydxdy，其中 D 是由 L： （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.计算 ，其中 f()连续可导，曲面为 z= （分数：2.00）_25.设正项级数 （分数：2.00）_26.
5、求微分方程 y 一 2xy=e x2 的满足初始条件 y(0)=1 的特解（分数：2.00）_27.求微分方程 y 2 dx+(2xyy 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 209 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设曲面是 z=x 2 +y 2 界于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 （分数：2.00）A.2e 4B.(e 4 1) C.2(e 4 一 1)D.e 4解析：解析：ds= ，则 3.若级数 n
6、 收敛( n 0)，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 S n = 1 + 2 + n ，因为 =0 令 S n =( 1 + 2 )+( 2 + 3 )+( n + n1 )=2S n 一 1 + n1 ， 于是 S n =2 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)4.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a= ）解析：解析：5.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1 ）解析：解析：因为 6.设平面 1 ：3x 一 2y+6z 一 2=0 与平面 2 ：3x 一 2y+6z+
7、12=0，则两平行平面之间的距离为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：d=三、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：8.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.求下列导数：(1)设 y=y(x)由 (2)设 y=y(x)由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2) ， ln(x+t)=xt 一 1 两边对 t 求导得 e y =y+1 两边对t 求导得 e ty ， 故 )解析：11.设
8、y= ，且 f (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y = )解析：设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)= （分数：4.00）(1).求 g (x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =f (0)=g(0)，所以 g(x)在 x=0 处连续 当 x0 时，g (x)= ； 当 x=0 时，由 得 g (0)= f (0)，即 g (x)= )解析：(2).讨论 g (x)在 x=0 处的连续性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 f(x)三阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0 得 f(0)=1，f (0)
9、=0； 由 =0 得 f(1)=1，f (1)=0 因为f(0)=f(1)=1，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f (c)=0 由 f (0)=f (c)=f (1)=0，根据罗尔定理，存在 1 (0，c)， 2 (c，1)，使得 f ( 1 )=f ( 2 )=0， 再根据罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：13.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f (0)=0，f (0)0，设 (x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Yf(x)=f (x)(X
10、 一 x)， )解析：14.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f (x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，取 x 0 = ，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f (x 0 )(xx 0 )+ (xx 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间 因为 f (x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f (x 0 )(xx 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”， 从而 两式相加得 f(x 0 ) )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求arc
11、tan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)= 1 x e t2 dt，求 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 f(x)dx=xf(x) 0 1 )一 0 1 xf (x)dx= 0 1 xe x2 dx = )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2 f(x)dx= 0 2 f(x)d(x 一 )= f(x)dx )解析：19.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 界于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所
12、示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 y= x 2 ，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 C：y=x 2 ，C 1 ：y= x 2 ，令 C 2 ：x=f(y)，P 点坐标为(x，y)， 从而 C 2 的方程为 x=f(y)= )解析：20.求曲线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F=x 2 +2y 2 +z 2 一 3， G=2xy+z 一 1， 切向量为 s= =22，1，5， 所求的切线为 )解析：21.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 不存在，故函数 f
13、(x，y)在点(0，0)处不连续 因为 )解析：22.求 ydxdy，其中 D 是由 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 L 的直角坐标形式为 y=y(x)，则 I= ydxdy= 0 2a dx 0 y ydy= 0 2a y 2 (x)dx = 0 2 a 2 (1cost) 2 a(1cost)dt= =8a 3 0 sin 6 tdt= )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算 ，其中 f()连续可导，曲面为 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 ：z=0(x 2 +y 2 1)取下侧， )解析：25.设正
14、项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 ( n + n1 ) 而 ( n + n1 )收敛，所以根据正项级数的比较审敛法知 收敛，反之不一定成立，如级数 10+1+0+发散，因为 n n1 =0(n=1，2，)，所以 )解析：26.求微分方程 y 一 2xy=e x2 的满足初始条件 y(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由一阶非齐次线性微分通解公式得 y=(e x2 e 2xdx dxC)e 2xdx =(x+C)e x2 ， 由 y(0)=1 得 C=1，故 y=(x+1)e x2 )解析：27.求微分方程 y 2 dx+(2xyy 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 得 ， 令 = ，解得 2 (+3)= )解析：
