1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 208 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设：x 2 +y 2 +z 2 =1(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 a 有关二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_6.点 M(1，一 1，2)到平面 ：2xy+5
2、z 一 12=0 的距离 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)连续，且 f(x)一 2 0 x f(xt)dt=e x ，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.求 （分数：2.00）_10.求 （分数：2.00）_11.求下列导数： (1)设 y= (2)设 y=(1+x 2 ) tanx ，求 （分数：2.00）_12.设 y= （分数：2.00）_设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 f(x)一 f(y)Mxy k （分数：4.00
3、）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：2.00）_(2).证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：2.00）_13.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 3f(0)=f(1)+2f(2)，证明：存在 (0，2)，使得 f ()=0（分数：2.00）_14.求 y=f(x)= （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f ()=一f()cot（分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.求arcsinxarccosxdx（分数：2.00）_18.讨论反常积分 0 2 （分数：2.00）
4、_19.求 1 1 (x+x)e x dx（分数：2.00）_20.设 f(x)= 1 1 (1t)dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积（分数：2.00）_21.设 z=z(x，y)是由 =0 所确定的二元函数，其中 F 连续可偏导，求 （分数：2.00）_22.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.计算 I= y 2 d，其中 D 由 x=一 2，y=2，x 轴及曲线 x= （分数：2.00）_25.计算 (zy)xdydz+(x 一 y)dxdy，其中为 （分数：2.00）_26.设级数
5、 收敛，又 a n b n c n (n=1，2，)证明：级数 （分数：2.00）_27.求微分方程(y 一 x 3 )dx 一 2xdy=0 的通解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 208 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设：x 2 +y 2 +z 2 =1(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为曲面关于平面 xOz、yOz 对称，所以 xyzdS=0，注意到3.级数
6、（分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 a 有关解析：解析：因为 n时，1 一二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： ，f(0)=a， 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 1+6.点 M(1，一 1，2)到平面 ：2xy+5z 一 12=0 的距离 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：d=7.设 f(x)连续，且 f(x)一 2 0 x f(xt
7、)dt=e x ，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)=2e 2x e x）解析：解析：由 0 x f(x 一 t)dt 三、解答题(总题数：21，分数：42.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：9.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.求下列导数： (1)设 y= (2)设 y=(1+x 2 ) tanx ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2) )解析：12.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
8、 )解析：设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 f(x)一 f(y)Mxy k （分数：4.00）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 a，b，由已知条件得 0f(x)一 f(x 0 )Mxx 0 k ， )解析：(2).证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 a，b，因为 k1，所以 0 )解析：13.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 3f(0)=f(1)+2f(2)，证明：存在 (0，2)，使得 f ()=0（分数：2.
9、00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在1，2上连续，所以 f(x)在1，2上取到最小值 m 和最大值 M，又因为 m M，所以由介值定理，存在 c1，2，使得 f(c)= ，即 f(1)+2f(2)=3f(c)，因为f(0)=f(c)，所以由罗尔定理，存在 (0，c) )解析：14.求 y=f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =，所以 y=f(x)没有水平渐近线， 由 =得 x=0 为铅直渐近线，由 =得 x=2 为铅直渐近线， )解析：15.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f ()=一f()cot（分数：2.00
10、）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)sinx，(0)=()=0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得 ()=0， 而 (x)=f (x)sinx+f(x)cosx， 于是 f ()sin+f()cos=0，故 f ()=一 f()cot)解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求arcsinxarccosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.讨论反常积分 0 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 1 1 (x+x)e x dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由定积分的奇偶性得 1 1 (x
11、x)e x dx= 1 1 xe x dx=2 0 1 xe x dx =一 2 0 1 xd(e x )=一 2xe x 0 1 +2 0 1 e x dx =2e 1 2e x 0 1 =2一 )解析：20.设 f(x)= 1 1 (1t)dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当一 1x0 时，f(x)= 1 x (1 一t)dt= 1 x (t+1)dt= ； 当x0 时，f(x)= 1 0 (t+1)dt+ 0 x (1 一 t)dt= ， 故所求的面积为 )解析：21.设 z=z(x，y)是由 =0 所确定的二
12、元函数，其中 F 连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =0 两边对 x 求偏导得 故 )解析：22.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x，y)= 显然 f(x，y)在点(0，0)处连续，但 不存在，所以f(x，y)在点(0，0)处对 x 不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导 所以f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且 f x (0，0)=f y (0，0)=0 因为 )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由奇偶性得 (xy 2 +x 2 )dxdy=
13、x 2 dxdy， 令 (0，0r2sin)，则 x 2 dxdy= 0 d 0 2sin r 3 cos 2 dr=4 0 sin 4 cos 2 d = )解析：24.计算 I= y 2 d，其中 D 由 x=一 2，y=2，x 轴及曲线 x= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.计算 (zy)xdydz+(x 一 y)dxdy，其中为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 1 ：z=0( +y 2 1)取下侧， 2 ：z=3( +y 2 1 取上侧， )解析：26.设级数 收敛，又 a n b n c n (n=1，2，)证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 a n b n c n ，得 0b n 一 a n c n 一 a n ，因为 (c n a n )收敛，根据正项级数的比较审敛法得 (b n 一 a n )收敛，又 b n =(b n 一 a n )a n ，则 )解析：27.求微分方程(y 一 x 3 )dx 一 2xdy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(yx 3 )dx 一 2xdy=0，得 x 2 ， 则 y= 即原方程的通解为 y= )解析：
