1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 207 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=一 1C.a=2，b=1D.a=一 2，b=一 13.设 L 为由 y 2 =x3 及 x=2 围成的区域的边界，取逆时针方向，则 （分数：2.00）A.一 2B.2C.D.04.设级数 发散(a n 0)，令 S n =a
2、 1 +a 2 +a n ，则 （分数：2.00）A.发散B.收敛于C.收敛于 0D.敛散性不确定二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)连续，且 F(x)= a x f(t)dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 e xy 一 sin(xy)=e 在点(0，1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 y=(3x+2) （分数：2.00）填空项 1:_9.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21 在点(1，一 2，2)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 y=2e x +e
3、x sinx 为 y +py +qy +ry=0 的特解，则该方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.设 f(x)= （分数：2.00）_15.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.设 f(x)=xe 2x +2 0 1 f(x)dx，求 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_19.求 2
4、 2 (3x+1)max2，x 2 dx（分数：2.00）_20.求曲线 y=cosx （分数：2.00）_21.设 y=y(x)，z=z(x)由 （分数：2.00）_22.求函数 = （分数：2.00）_23.设 D=(x，y)0x1，0y ，求 （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.计算 I= （分数：2.00）_26.判断级数 （分数：2.00）_27.求微分方程(y+ （分数：2.00）_28.设 f(x)在0，1上连续且满足，f(0)=1，f (x)一 f(x)=a(x 一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最
5、小，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 207 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=一 1 C.a=2，b=1D.a=一 2，b=一 1解析：解析：由 y=x 2 +ax+b 得 y =2xa， 2y=xy 3 一 1 两边对 x 求导得 2y y 3 3xy 2 y
6、 ，解得 y = ， 因为两曲线在点(1，一 1)处切线相同，所以 3.设 L 为由 y 2 =x3 及 x=2 围成的区域的边界，取逆时针方向，则 （分数：2.00）A.一 2B.2 C.D.0解析：解析：取 C：x 2 +y 2 =r 2 (其中 r0，C r 在 L 内，取逆时针)， P(x，y)= 设由 L 及 C r 所围成的区域为 D r ，由 C r 围成的区域为 D 0 ，由格林公式得 4.设级数 发散(a n 0)，令 S n =a 1 +a 2 +a n ，则 （分数：2.00）A.发散B.收敛于 C.收敛于 0D.敛散性不确定解析：解析：因为正项级数 =+二、填空题(总题
7、数：6，分数：12.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.设 f(x)连续，且 F(x)= a x f(t)dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2 f(a)）解析：解析：7.曲线 e xy 一 sin(xy)=e 在点(0，1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=(*1)x1）解析：解析：e xy sin(xy)=e 两边对 x 求导得 e xy (1+y )一 cos(xy)(y+xy )=0，将x=0，y=1 代入得 y (0)= 1，所求的切线为 y 一 1
8、=( 一 1)x，即 y=( 8.曲线 y=(3x+2) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=3x5）解析：解析：由9.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21 在点(1，一 2，2)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：n=2x，4y，6z (1，2，2) =2，一 8，12，法线方程为 10.设 y=2e x +e x sinx 为 y +py +qy +ry=0 的特解，则该方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 一 2y +2y=0）解析：解析：三阶常系数齐次线性微分方程的特征
9、值为 1 =一 1， 2，3 =1i，特征方程为(+1)( 一 1 一 i)( 一 1+i)=0，整理得 3 一 2 +2=0，所求方程为 y 一 2y +2y=0三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(0)=f(00)=0，f(0+0)= =0 由 f(0 一 0)=f(0+0)=f(0)得 f(x)在 x=0处连续： 由
10、 =0 得 f (0)=0 )解析：15.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanxax，由 f (x)= ，由 f (x)= 为 f(x)的最大点，由 =一，f(0)=0 得方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有唯一实根，位于 )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)=xe 2x +2 0 1 f(x)dx，求 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答
11、案：令 A= 0 1 f(x)dx，f(x)=xe 2x +2 0 1 f(x)dx 两边积分得 A= 0 1 xe 2x dx2A，解得 A= 0 1 f(x)dx=一 0 1 xe 2x dx=一 0 1 xd(e 2x )=一 )解析：19.求 2 2 (3x+1)max2，x 2 dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 2 2(3x+1)max2，x 2 dx= 2 2 max2，x 2 dx=2 0 2 max2，x 2 dx， 由 max2，x 2 = 得 2 2 (3x+1)max2，x 2 dx= )解析：20.求曲线 y=cosx （分数：2.00）_正确答案：(
12、正确答案：V x = 取x，x+dx ，则 dV y =2xcosxdx， )解析：21.设 y=y(x)，z=z(x)由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边对 x 求导得 )解析：22.求函数 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： x 2 yz 的梯度为 l=x，z，y， 梯度的方向余弦为 故所求的方向导数为 )解析：23.设 D=(x，y)0x1，0y ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 )解析：25.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 1 ：z=1(x 2 +
13、y 2 1)取下侧， 2 ：z=2(x 2 +y 2 4)取上侧， = 1 2 e z dz 0 2 d 0 z dr=2 1 2 ze z dz=2(z1)e z 1 2 =2e 2 )解析：26.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 又当 n 充分大时， 单调减少，且 =0 所以级数 )解析：27.求微分方程(y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(y )dx 一 xdy=0，得 令 = =lnx+lnC， 即+ =Cx，将初始条件 y(1)=0 代入得 C=1 由 ，即满足初始条件的特解为 y= )解析：28.设 f(x)在0，1上连续且满足，f(0)=1，f (x)一 f(x)=a(x 一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f (x)一 f(x)=a(x 一 1)得 f(x)=a(x 一 1)e 1dx dx+Ce dx =Ce x ax 由 f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=e x 一 ax V(a)= 0 1 f 2 (x)dx= ， 由 V (a)=(一 2+ )=0 得 a=3，因为 V (a)= )解析：
