1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 206 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=一 2C.a=0，b=一 3D.a=0，b=33.设 （分数：2.00）A.一 1B.0C.1D.24.若正项级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不确定二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1 （分数：2
2、.00）填空项 1:_6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9. 0 x 5 e x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.一平面经过点 M 1 (2，1，3)及点 M 2 (3，4，一 1)，且与平面 3xy+6z 一 6=0 垂直，则该平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)满足(1+x 2 )y =xy 且 y(0)=1，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或
3、演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.讨论 f(x)= （分数：2.00）_16.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_17.求下列不定积分： （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.设 f(x)在区间a，b上阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 a b f(x)dx=(ba) （分数：2.00）_21.设 z= （分数：2.00）_22.设 =x yz ，求 d（分数：2.00）_23.求 （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.判断
4、级数 （分数：2.00）_27.求微分方程 xy +(1 一 x)y=e 2x (x0)的满足 （分数：2.00）_28.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 206 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（分数：2.00）A.
5、a=1，b=2B.a=一 1，b=一 2C.a=0，b=一 3 D.a=0，b=3解析：解析：f (x)=3x 2 +2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值一 2，所以 3.设 （分数：2.00）A.一 1B.0C.1D.2 解析：解析：P(x，y)=4.若正项级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性不确定解析：解析：因为 收敛，于是二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.= 1 （分
6、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9. 0 x 5 e x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 0 x 5 e x2 = 0 x 4 e x2 d(x 2 )= 0 x 2 e x dx= 10.一平面经过点 M 1 (2，1，3)及点 M 2 (3，4，一 1)，且与平面 3xy+6z 一 6=0 垂直，则该平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7x 一 9y 一 5z+10=0）解析：解析：
7、=1，3，一 4，因为所求平面平行于向量11.设 y=y(x)满足(1+x 2 )y =xy 且 y(0)=1，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将原方程变量分离得 dx，积分得 lny= ，再由 y(0)=1 得 y=三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.讨论 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =f(
8、0) 所以 f(x)在 x=0 处连续 则 f (0)= )解析：16.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得 ln（1 )=ln(x+1)一 lnx=(1)一(0)= ()= (01)，由 )解析：17.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (12)sin 4 xcos 3 xdx=sin 4 x(1sin 2 x)d(sinx) =(sin 4 xsin 6 x)d(sinx)= )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正
9、确答案：因为 ln(x+ )为奇函数， )解析：20.设 f(x)在区间a，b上阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 a b f(x)dx=(ba) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt，则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取 x 0 = ，由泰勒公式得 F(a)=F(x 0 )+F (x 0 )(a 一 x 0 )+ (a 一 x 0 ) 3 ， 1 (a，x 0 )， F(b)=F(x 0 )+F (x 0 )(b 一 x 0 )+ (b 一 x 0 ) 3 ， 2 (x 0 ，b)， 两式相减得 F(b)一 F(a)=F (x 0 )(b 一
10、 a)+ F ( 1 )+F ( 2 )，即 a b f(x)=(b 一 a) f ( 1 )+f ( 2 )， 因为 f (x)在a，b上连续，所以存在 1 ， 2 (a，b)，使得 f ()= f ( 1 )+f ( 2 )，从而 a b f(x)dx=(b 一 a) )解析：21.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 =x yz ，求 d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 0 =(x，y) x2， y2，则 )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (02，
11、0r)，则 )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：补充曲面 0 ：z=4(x 2 +4y 2 4)，取该曲面的下侧， )解析：26.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= 为单调减少的数列，又 收敛，因为 发散，故级数 )解析：27.求微分方程 xy +(1 一 x)y=e 2x (x0)的满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 y + ， 通解为 y= 由 )解析：28.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 ，于是有 r=ktC 0 ，由 r(0)=r 0 ，r(3)= ，得 C 0 =r 0 ，k= ，于是 r= )解析：
