1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 205 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt，则( )（分数：2.00）A.a=13，b=1，c=0B.a=13，b=1，c=0C.a=13，b=1，c=0D.a=0，b=2，c=03.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.若由曲线 y=2 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3
2、围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.Lf(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 f(x)在(，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)满足等式 xf(x)f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_8.
3、设函数 z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y+1)=1+2x+3y+o()，其中 = （分数：2.00）填空项 1:_9.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_10. L |y|ds= 1，其中 L：(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 =y 2 )(a0)（分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.确定 a，b，使得 x(a+bcosx)sinx
4、当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_16.设 f(x)= （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=2，f(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有目仅有一个根
5、（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)=53证明：存在 (0，2)，使得f“()=2（分数：2.00）_20.设 f(x)= 0 x e cost dt，求 0 f(x)cosxdx（分数：2.00）_21.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： (ba)f( ) a b f(x)dx （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_设直线 L： （分数：4.00）(1).求直线 L 在平面 上的投影直线 L 0 ；（分数：2.00）_(2).求 L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程（分数：2.00）_23.计算
6、 （分数：2.00）_24.计 L yzdx+3xzdyxydz，其中 L： （分数：2.00）_25.讨论级数 （分数：2.00）_26.设 y=y(x)满足 y=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：2.00）_27.设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数 (1)将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：2.00）_设函数 f(x)满足 xf(x)2f(x)=x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：4.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：2.00）_
7、(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 205 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt，则( )（分数：2.00）A.a=13，b=1，c=0B.a=13，b=1，c=0C.a=13，b=1，c=0D.a=0，b=2，c=0 解析：解析：因为 x0 时，ax 3 +bx 2 +cx 0
8、ln(1+2x) sintdt， 3.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)不对，如 存在，但 f(x)在 x=1 处不连续，所以也不可导； (B)不对，因为 存在只能保证 f(x)在 x=1 处右导数存在； 不一定存在，于是 f(x)在 x=1 处不一定右可导，也不一定可导；4.若由曲线 y=2 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：曲线 y=2 )处的切线方程为 由于切线位于曲线 y=2 的上方，所以由曲线 y=2，切线及
9、x=1，x=3 围成的面积为 当 t(0，2)时，S(t)0；当 t(2，3)时，S(t)0，则当 t=2 时，S(t)取最小值， 此时切线方程为5.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.Lf(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解析：若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 =0，因为 M 0 为最大值点，所以ACB 2
10、非负，而在 D 内有 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 f(x)在(，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 由 f(x)f(x1)=f()，其中 介于 x1 与 x 之间，令 x，由 f(x)f(x1)= 7.设 f(x)满足等式 xf(x)f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 1 f(z)dz=xf(x)| 0 1 0 1 xf(x)dx=f(1) 0 1 f(x)+ dx 于是 0 1 f(x)dx=2 8.设函数 z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，
11、y+1)=1+2x+3y+o()，其中 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+3yz2=0）解析：解析：由 f(x，y+1)=1+2x+3y+o()得 f(x，y)在点(0，1)处可微，且 而曲面：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为 n=( 9.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2）解析：解析： 得 I= 10. L |y|ds= 1，其中 L：(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 =y 2 )(a0)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
12、2a 2 (2 ）解析：解析：L 的极坐标形式为 L：r 2 =a 2 cos2，ds= d 11.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由y= x+o(x)得函数 y=y(x)可微且 y= ，积分得 因为 y(1)=1，所以C=0，三、解答题(总题数：18，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.确定 a，b，使得 x(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=x(a+bcosx)sinx， y=1+bsin 2 x(a+
13、bcosx)cosx， y“=bsin2x+ sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x， y“=acosx+4bcos2x， 显然 y(0)=0，y“(0)=0， 所以令y(0)=y“(0)=0 得 )解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a
14、，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M，显然有 mf(x i )M(i=1，2，n)， 注意到 k i 0(i=1，2，n)， 所以有 k i mk i f(x i )k i M(i=1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M， 即 m M， 由介值定理，存在 a，b，使得 )解析：16.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f (0)f + (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导 令 f(x)=0得 x=
15、1，x=1e 当 x1 时，f(x)0；当1x0 时，f(x)0；当 0x1e 时，f(x)0； 当 x1e 时，f(x)0， 故 x=1 为极小值点，极小值为 f(1)=1 )解析：17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由积分中值定理得 f(2)=2 1 32 f(x)dx=f(c)，其中 c1，12， 由罗尔定理，存在 x 0 (c，2) (1，2)，使得 f(x 0 )=0 令 (x)=e x f(x)，则 (1)=(x 0 )=0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0 ) )解析：18.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f
16、(0)=2，f(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有目仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)=1 当 x0 时，f(x)f(0)=f()x，从而 f(x)f(0)+x，因为 f(0)+x=+， 所以 f(x)=+ 由 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)=20， )解析：19.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)=53证明：存在 (0，2)，使得f“()=2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一先作一个函数 P(x)=ax 3 +bx
17、 2 +cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P(1)=f(1)=0， P(2)=f(2)=53，P(1)=f(1) 令 g(x)=f(x)P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c 1 (0，1)，c 2 (1，2)，使得 g(c 1 )=g(1)=g(c 2 )=0，又存在 d 1 (c 1 ，1)，d 2 (1，c 2 )使得 g“(d 1 )=g“(d 2 )=0，再由罗尔定理，存在 (d 1 ，d 2 ) (0，2)，使得 g“()=0，而 g“(x)=f“(x)2，所以 f“()=2 方法二由泰勒公式，得 两式相减，得 23= )
18、解析：20.设 f(x)= 0 x e cost dt，求 0 f(x)cosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 f(x)cos= 0 f(x)d(sinx)=f(x)sinx| 0 0 f(x)sinxdx = 0 e cosx sinxdx=e cosx | 0 =0=e 1 e)解析：21.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： (ba)f( ) a b f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 其中 介于 x 与 之间， 因为 f“(x)0，所以有 两边积分得 令 (x)= f(x)+f(a) a x f(t)dt，且 (
19、a)=0， =12(xa)f(x)f()，其中 ax， 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调不减，于是 (x)0(axb)， 故(ba)f( ) a b f(x)dx )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设直线 L： （分数：4.00）(1).求直线 L 在平面 上的投影直线 L 0 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一令 =t，即 x=1+t，y=t，z=1t，将 x=1+t，y=t，z=1t 代入平面xy+2z1=0，解得 t=1，从而直线 L 与平面 的交点为 M 1 (2，1，0) 过直线 L 且垂直于平面 的平面法向量为 s 1 =1，
20、1，11，1，2=1，3，2，平面方程为 1 ：1(x2)3(y1)2z=0，即 1 ：x3y2z+1=0 从而直线 L 在平面 上的投影直线一般式方程为 方法二直线 L 转化成一般式方程为 过直线 L 的平面束为(xy1)+(y+z1)=0，即x+(1)y+z(+1)=0，当1，1，上1，1，2，即 =2 时，过直线 L 的平面与平面 垂直，把 =2 代入平面束方程，则与 垂直的平面方程为 1 ：x3y2z+1=0，直线 L 在平面 上的投影直线为 方法三设过直线 L 且与平面 垂直的平面方程为 1 ：A(x1)+By+C(z1)=0，则有A，B，C1，1，2，A，B，C1，1，1，即 解得
21、 A=C2，B=3C2，平面 1 ：C2(x1)+ y+C(z1)=0，即 1 ：x32z+1=0 从而 L 在平面 的投影直线为 )解析：(2).求 L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 M(x，y，z)为所求旋转曲面上任意一点，过该点作垂直于 y 轴的平面，该平面与相交于一个圆，且该平面与直线 L 及 y 轴的交点分别为 M 0 (x 0 ，y，z 0 )及 T(0，y，0)，由|M 2 T|=IMT|，得 x 0 2 +z 0 2 =x 2 +z 2 ，注意到 M 0 (x 0 ，y，z 0 )L，即 =y1=(z 0 1)1，于是 )解析：2
22、3.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计 L yzdx+3xzdyxydz，其中 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设由 L 所围成的平面为，按右手准则，取上侧 n=0，3，1，cos=0，cos= ，由斯托克斯公式得 因为 ds= dxdy，D xy ：x 2 +y 2 4y， 所以 L yzdx+3xzdyxydz=2 )解析：25.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u n = 0 1n dx，n=1，2，3， 由正项级数的比较审敛法得 )解析：26.设 y=y(x)满足 y=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：
23、2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=x+y 得 y“=1+y，再由 y(0)=1 得 y(0)=1，y“(0)=2，根据麦克劳林公式，有 )解析：27.设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数 (1)将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入原方程得 y“y=sinx，特征方程为 r 3 1=0，特征根为 r 1，2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y * =acosx+bsinx，代入方程得 a=0，b=12，故 y * =12sinx，于是方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e x sinx，由
24、初始条件得 C 1 =1，C 2 =1，满足初始条件的特解为 y=e x e x )解析：设函数 f(x)满足 xf(x)2f(x)=x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：4.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xf(x)2f(x)=x f(x) f(x)=1 f(x)=x+cx 2 设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 V(c)= 0 1 (x+cx 2 ) 2 dx 因为 V“(c)=250，所以 c=54 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 f(x)=x )解析：(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=1 x，f(0)=1，曲线 f(x)=x x 2 在原点处的切线方程为y=x， 则 A= 0 1 x(x )解析：
