1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 204 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f(x)在 x=0 处连续3. （分数：2.00）A.等于 0B.大于 0C.小于 0D.不能确定4.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可
2、微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微5.设 f(x)= （分数：2.00）A.12B.12C.34D.34二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.在 x=0 处连续，则 a= 1，b= 2， （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.设 F(x)= 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2 ，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.
3、曲线 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.没曲线 L： （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13. （分数：2.00）_14.确定常数 a，b，c，使得 （分数：2.00）_15.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_16.设 x 3 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_17.设 f(x)= （分数：2.00）_18.设 f(x)=3x 2 +Ax 3 (x0)，A
4、 为正常数，问：A 至少为多少时，f(x)20?（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 0 1 f(t)dt=0，证明：存在 (0，1)，使得 f()= 0 f(t)dt（分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： 0 1 f(x 2 )dxf(13)（分数：2.00）_22.求椭圆 =1 与椭圆 （分数：2.00）_设曲面： （分数：4.00）(1).求曲面上与 平行的切平面方程；（分数：2.00）_(2).求曲面与平面丌的最短和最长距离（分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.
5、计算曲线积 C xyzdz，其中 C： （分数：2.00）_25.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 f(x)x=0证明：级数 （分数：2.00）_26.设 a 0 =1，a 1 =2，a 2 =72a n+1 =(1+ )a n (n2)证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：2.00）_27.设 u=f( )且二阶连续可导，又 （分数：2.00）_设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 3s 2 f(a)f(1)若 f(1)=12，求：（分数：4.00）(1).f(x)；
6、（分数：2.00）_(2).f(x)的极值（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 204 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f(x)在 x=0 处连续 解析：解析：显然 f(x)在 x=0 处连续，因为 所以 f(x)在 x=0 处可导，当 x0 时，f(x) 当x0 时，f(x)=arctan3. （分数：2.00）A.等于 0
7、B.大于 0 C.小于 0D.不能确定解析：解析：4.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微 D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微解析：解析：因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)5.设 f(x)= （分数：2.00）A.12B.12C
8、.34 D.34解析：解析：对函数 f(x)进行偶延拓，使 f(x)在(1，1)上为偶函数，再进行周期为 2 的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅里叶级数的和函数为 S(x)，则二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.在 x=0 处连续，则 a= 1，b= 2， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析： f(0)=3，7.设 F(x)= 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2 ，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_
9、（正确答案：正确答案：12）解析：解析：F(x)=x 2 0 x f(t)dt 0 x t 2 f(t)dt，F(x)=2x 0 x f(t)dt， 因为当 x0时，F(x)x 2 ，所以 F(x)x 2 =1 8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析： 9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 消去 z 得 x 2 +y 2 =2x，所以曲线 在 xOy 平面上的投影曲线为 10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(0)2）解析：解析： 0 r tf(r 2 t 2 )
10、dt=12 0 r f(r 2 t 2 )d(r 2 t 2 )=12 f(u)du， cos(x+y)d=r 2 cos(+)， 11.没曲线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2a 3）解析：解析： L (x 2 +2y 2 +z)ds= L (x 2 +2y 2 )ds= L (x 2 +y 2 +z 2 )ds = L a 2 ds=a 2 L ds=2a 3三、解答题(总题数：18，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ln(1+ax)=ax +o(x 2 )，e
11、 bx =1+bx+ +o(x 2 )，cosx=1 +o(x 2 )得 ln(1+ax)e bx +cosx=(ab)x x 2 +o(x 2 )， )解析：14.确定常数 a，b，c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 a=b3=13； )解析：15.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：16.设 x 3 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 令 dydx=(x 2 y)(xy) 2 =0 得
12、y=x 2 ，代入 x 3 3xy+y 3 =3 得 x=1 或 x= 因为 d 2 ydx 2 | x=1 =10，所以 x=1为极小值点，极小值为 y=1； 因为 d 2 ydx 2 =10，所以 x= 为极大值点，极大值为 y= )解析：17.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即 由 f(x)在 x=0 处可导，得 b=1，即)解析：18.设 f(x)=3x 2 +Ax 3 (x0)，A 为正常数，问：A 至少为多少时，f(x)20?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)20 等价于 A20x 3 3x
13、5 ， 令 (x)=20x 3 3x 5 ，由 (x)=60x 2 15x 4 =0，得 x=2， “(x)=120x60x 3 ，因为 “(2)=2400，所以 x=2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20)解析：19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 0 1 f(t)dt=0，证明：存在 (0，1)，使得 f()= 0 f(t)dt（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x 0 x f(t)dt， 因为 (0)=(1)=0，所以存在 (0，1)，使得 ()=0， 而 (x)=e x f(x) 0 x f
14、(t)dt且 e x 0，故 f()= 0 f(t)dt)解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： 0 1 f(x 2 )dxf(13)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 其中 介于了 13 与 t 之间，从而 f(x 2 )f(13)+f(13)(x 2 )解析：22.求椭圆 =1 与椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积则第一象限围成的面积为 )解析：设曲面： （分数：4.00）(1).求曲面上与 平行的切
15、平面方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，令 F(x，y，z) 则切平面的法向量为n=x 0 ，2y 0 ，z 0 2， 因为切平面与平面丌平行，所以 x 0 2=2y 0 2=z 0 2，令 x 0 2=2y 0 2=z 0 2=t 得 x 0 =2t，y 0 =t，z 0 =2t，将其代入曲面方程，得 t=12，所以切点为(1，12，1)及(1，12，1)，平行于平面 的切平面为 1 ：2(x1)+2(y )+(z1)=0，即 ：2x+2y+z4=0 ：2(x+1)+2(y+ )解析：(2).求曲面与平面丌的最短和最长距离（分数
16、：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：24.计算曲线积 C xyzdz，其中 C： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 n=0，1，1，cos=0，cos= ：z=y(x，y)D xy )，其中 D xy ：x 2 +2y 2 1， )解析：25.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 f(x)x=0证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0，得 f(0)=0，f(0)=0由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ x 2 ，其中 介于 0 与 x 之间 又 f“(x)在 x
17、=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有|f“(x)|M，其中 M0 为 f“(x)在该闭区间上的上界 所以对充分大的 n，有 )解析：26.设 a 0 =1，a 1 =2，a 2 =72a n+1 =(1+ )a n (n2)证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 得幂级数的收敛半径 R=1，所以当|x|1 时，幂级数 a n x n 收敛由 a n+1 =(1+ )a n ，得 a n =76(1) n (n+1)(n3)，所以 S(x)= a n x n =12x+ (1) n (n+1)x n ， )解析：27.设 u=f( )且二阶连续可导，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 3s 2 f(a)f(1)若 f(1)=12，求：（分数：4.00）(1).f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知， 1 a f 2 (x)dx=3a 2 f(a)f(1)，两边对 a 求导，得 3f 2 (a)=2af(a)+a 2 f(a) )解析：(2).f(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
