1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 203 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在|xx 0 | 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在|xx 0 | 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 f(x)存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且f(x 0 )= D.若 f(x)在 x 0 的去心
2、邻域内可导，在 x 0 处连续且 3.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)+f(t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 2 f 2 (t)dt4.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导5.设幂级数 a n (x2) n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）A.2B.4C.D.无法确定二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_7.设
3、f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.设直线 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 L 为从点 A(0，1，1)到点 B(1，0，2)的直线段，则 L (x+y+z)ds= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13. （分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15.设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0
4、)，对任意的 x n ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_16.设 x=x(t)由 sint 1 xt （分数：2.00）_17.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f“(x)f(x)=0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_19.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_20.设 f
5、(lnx)= （分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： |f(x)| （分数：2.00）_22.求曲线 y=3|x 2 1|与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：4.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：2.00）_(2).求曲面 S 界于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_23.计算 I= xydxdy，其中 D 由 y=x，y= （分数：2.00）_24.计算曲面积分 (x 3 +z)dydz+(y 3 +x
6、)dzdx+dxdy，其中是曲线 （分数：2.00）_25.设 f(x)在(，+)内一阶连续可导，且 f(x)x=1证明： (1) n f(1n)收敛，而 （分数：2.00）_26.设 a n = 0 4 tan n xdx，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：2.00）_27.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x) （分数：4.00）(1).求 f(x)；（分数：2.00）_(2).证明：当 x0 时，e x
7、 f(x)1（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 203 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在|xx 0 | 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在|xx 0 | 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 f(x)存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且f(x 0 )=
8、 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 解析：解析：设 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x 0 0，因为 f(x)不存在，所以f(x)在 x 0 处不连续，(A)不对； 同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x 0 0，因为 f(x)在 x 0 处不连续，所以 f(x)在 x 0 处也不可导，(B)不对； 因为 =f()，其中 介于 x 0 与 x 之间，且 f(x)存在， 所以 f()也存在，即 f(x)在 x 0 处可导且 f(x 0 )= f(x)，选(C)； 3.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )
9、（分数：2.00）A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)+f(t)dt C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 2 f 2 (t)dt解析：解析：因为 tf(t)f(t)为偶函数，所以 0 x tf(t)f(t)dt 为奇函数，(A)不对； 因为 f(t 2 )为偶函数，所以 0 x f(t 2 )dt 为奇函数，(C)不对；因为不确定 f 2 (t)的奇偶性，所以(D)不对；令 F(x)= 0 x tf(t)+f(t)dt， F(x)= 0 x tf(t)+f(t)dt= 0 x (u)f(u)+f(u)(du)=F(x)，选(B)4.设 f(x，y)= （分数：2.
10、00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解析：因为 f(x，y)=0=f(0，0)，所以 f(x，y)在(0，0)处连续； 所以 f x (0，0)=0，根据对称性，f y (0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导； 得 f(x，y)在(0，0)处可微； 5.设幂级数 a n (x2) n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）A.2 B.4C.D.无法确定解析：解析：因为 a n (x2) n 在 x=6 处条件收敛，所以级数 a n x n 的收敛半径为 R=4，又因为级数 a n x n 有相同的收敛半径，所以 x n 的收敛
11、半径为 R=4，于是 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*=12(x2)）解析：解析：由 =1 得 f(2)=32，且 f(2)=12，则曲线 y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y7.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续， 于是 f(10)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=18. （分数：2.00）填空项 1:_ （
12、正确答案：正确答案：176）解析：解析： 所以 0 2 ( )dx= 0 1 xdx+ 1 2 x 2 dx= 9.设直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：过直线 的平面束为(x+2yz2)+k(2xy+z3)=0，即(1+2k)x+(2k)y+(k1)z23k=0，由1+2k，2k，k11，1，1=0，得 k=1，则投影直线为 s=1，1，11，3，2=5，1，4，对称式方程为 L： 令 M 0 ，M 1 的坐标分别为(1，0，1)，(1，2，1)， 10.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2
13、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：由 t0 时，tln(1+t)=tt +o(t 2 )12t 2 (t0)， 由积分中值定理得 f(x，y)da、dy=f(，)t 2 ，其中()D 11.设 L 为从点 A(0，1，1)到点 B(1，0，2)的直线段，则 L (x+y+z)ds= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：18，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
14、ln(1+x)(ax+bx 2 )=x +o(x 2 )(ax+bx 2 ) =(1a)x(b+ )x 2 +o(x 2 )， )解析：15.设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 x n ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n+1 x n =f(x n )f(x n1 )=f( n )(x n x n1 )，因为 f(x)0，所以 x n+1 x n 与 x n x n1 同号，故x n 单调 |x n |=|f(x n1 )|=|f(x 1 )+ f(x)dx| |f(x 1 )|+| f(x)dx|
15、f(x 1 )|+ + dx=|f(x 1 )|+k， 即x n 有界，于是 x n 存在， 根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 x n+1 =f(x n )两边令 n，得 )解析：16.设 x=x(t)由 sint 1 xt （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 t=0 代入 sint 1 xt du=0 得 1 t du=0， 再由 0得 x=1， sint 1 xt du=0 两边对 t 求导得 cost 1)=0，从而 dxdt| t=0 =e+1， cost 1)=0 两边再对 t 求导得 )解析：17.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2
16、.00）_正确答案：(正确答案： 得 f(0)=f(0)=0， 则 y=f(x)在点(0，f(0)处的曲率为 K= )解析：18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f“(x)f(x)=0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)+f(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=e x f“(x)f(x)且 e x 0，所以方程 f“(c)f(c)=0 在(0，1)内有根)解析：19.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f“(
17、x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Yf(x)=f(x)(Xx)， 令 Y=0 得u=x ，由泰勒公式得 f(u)=12f“( 1 )u 2 ，其中 1 介于 0 与 u 之间， f(x)=12f“( 2 )x 2 ，其中 2 介于 0 与 x 之间， )解析：20.设 f(lnx)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 lnx=t，则 f(t)= ，当 t0 时，f(t)=t+C 1 ；当 t0 时，f(t)=e t +C 2
18、 显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1 =1+C 2 ，故 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： |f(x)| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以|f(x)|在a，b上连续，令|f(c)|= |f(x)| 根据积分中值定理， a b f(x)dx=f()，其中 a，b 由积分基本定理，f(c)=f()+ c f(x)dx，取绝对值得 |f(c)|f()|+| c f(x)dx|f()|+ a b |f(x)|dx，即 )解析：22.求曲线 y=3|x 2 1|与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋
19、转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积 当x0 时， 对x，x+dx 0，1，dV 1 =3 2 3(x 2 +2) 2 dx=(2x 2 x 4 +8)dx， V 1 = 0 1 dV 1 = 0 1 (2x 2 x 4 +8)dx=12715； 对x，x+dx )解析：设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：4.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =1，1，1，直线 AB 的方程为 =y1=z1。 设对任意的M(x
20、，y，z)S，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，T(0，0，z)，由|MT|=|M 0 T|，得 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 ， 因为 M 0 在直线 AB 上，所以有 =y 0 1=z1， )解析：(2).求曲面 S 界于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x 2 +y 2 )=(2z 2 2z+1)， 于是 V= 0 1 A(z)dx=23)解析：23.计算 I= xydxdy，其中 D 由 y=x
21、，y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 分成两部分 D 1 ，D 2 ，其中 D 1 =(x，y)0x1， )解析：24.计算曲面积分 (x 3 +z)dydz+(y 3 +x)dzdx+dxdy，其中是曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面：z=1x 2 y 2 (z0)，补充曲面 0 ：z=0(x 2 +y 2 1)，取下侧，由高斯公式得 =3 0 2 d 0 1 r 3 (1r 3 )dr=2 )解析：25.设 f(x)在(，+)内一阶连续可导，且 f(x)x=1证明： (1) n f(1n)收敛，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f(
22、x)=f(0)=1，所以存在 0，当|x| 时，f(x)0， 于是存在 N0，当 nN 时，1n， 由莱布尼兹审敛法知 (1) n f(1n)收敛， 因为n时，f(1n)=f()1n1n 且 1n 发散，所以 )解析：26.设 a n = 0 4 tan n xdx，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 a n +a n+2 = 0 4 sec 2 xtan n xdx= ，a n +a n2 = 0 4 sec 2 xtan n2 xdx= ，得 (1)当 0 时，因为级数 a n n 收敛； (2)当 0 时，因为级数 )解析：27.设二阶常系数线性微分方
23、程 y“+ay+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=e 2x +(1+x)e x 代入原方程得 (4+2a+b)e 2x +(3+2a+b)e x +(1+a+b)xe x =ce x ，则有 )解析：设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x) （分数：4.00）(1).求 f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x+1)f(x)+(x+1)f(x)= 0 x f(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f“(x)=(x+2)f(x) 再由 f(0)=1，f(0)+f(0)=0，得 f(0)=1，所以 C=1，于是 f(x)= )解析：(2).证明：当 x0 时，e x f(x)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1 令 g(x)=f(x)e x ，g(0)=0，g(x)=f(x)+e x = e x 0， )解析：
