1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 200 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f(x)0B.f“(x)0，f(x)0C.f“(x)0，f(x)0D.f“(x)0，f(x)03.设 k0，则函数 f(x)=lnx （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4.设 = 0 5x sinttdt，= 0 sinx (
2、1+t) 1t dt，则当 x0 时，两个无穷小的关系是( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx1=0 确定，求 dy| x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8.设点 M 1 (1，1，2)，M 2 (1，0，3)，M 3 (2，1，2)，则点 M 3 到向量 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 z=f(x，y)二
3、阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_10.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12. （分数：2.00）_13. （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_16.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 3x+k=0 根的个数（分数：2.00）_17.计算 0 （分数：2.00）_设 S(x)= 0 x |cost|dt（分数：4.00）(1).证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)：（分数：2.00）_(2).求
4、 （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，且 f(1)f(0)=1证明： 0 1 f 2 (x)dx1（分数：2.00）_20.设 ：x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在(，)内有连续的导数且 x 2 (t)+y 2 (t)0，f(x，y)在 D 内有连续的偏导数若 P 0 是函数 f(x，y)在 上的极值点，证明：f(x，y)在点 P 0 沿 的切线方向的方向导数为零（分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.交换积分次序并计算 0
5、 a dx 0 x （分数：2.00）_23.设 f(x)二阶连续可导，且曲线积3f(x)2f(x)+xe 2x ydx+f(x)dy 与路径无关，求 f(x)（分数：2.00）_24.设u n ，c n 为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n c n+1 u n+1 0，且 1c n 发散，则 u n 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 c n c n+1 a(a0)，且 1c n 收敛，则 （分数：2.00）_设 f(x)= （分数：4.00）(1).求 f(x)满足的微分方程；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_25.将函数 f(x)=x
6、1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数（分数：2.00）_26.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)f(x)ydx+f(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解（分数：2.00）_27.早晨开始下雪，整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 200 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
7、项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f(x)0 B.f“(x)0，f(x)0C.f“(x)0，f(x)0D.f“(x)0，f(x)0解析：解析：因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，f“(x)=f“(x)，即 f(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，得当 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，选(A)3.设 k0，则函数 f(x)=lnx （分数：2.00）A.0 个B.
8、1 个C.2 个 D.3 个解析：解析：函数 f(x)的定义域为(0，+)，由 f(x)= =0 得 x=e，当 0xe 时，f(x)0；当xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又4.设 = 0 5x sinttdt，= 0 sinx (1+t) 1t dt，则当 x0 时，两个无穷小的关系是( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：因为二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_
9、 （正确答案：正确答案：1）解析：解析：6.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx1=0 确定，求 dy| x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2dx）解析：解析：当 x=0 时，y=1，将 ye xy +xcosx1=0 两边对 x 求导得 e xy +ye xy (y+x 7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8.设点 M 1 (1，1，2)，M 2 (1，0，3)，M 3 (2，1，2)，则点 M 3 到向量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： =6，5，1， 由点 M
10、1 ，M 2 ，M 3 构成的三角形的面积为 设所求距离为 d，又 9.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +xy+1）解析：解析：由 =2y+(x)，因为 f y (x，0)=x，所以 (x)=x，即 10.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12p12）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1，2时有 11x，
11、则 1 1 2 1xdx， 当 x2，3时有121x，则 12 2 3 1xdx， 当 xn，n+1时有 1n1x，则 1n n n+1 1xdx， 从而有 1+ 1 n+1 1xdx=ln(n+1) 又当 x1，2时，121x，则 12 1 2 1xdx， 当 x2，3时，131x，则 13 2 3 1xdx， 当 xn1，n时，1n1x，则 1n n1 n 1xdx， 从而有 1+ 1+ 1 n 1xdx=1+lnn， 故 ln(n+1) 由夹逼定理得 )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 1x (x1)， 由 f(x)=e lnxx 得 f(x)=
12、e lnxx ，令 f(x)=0 得 x=e 当 x(0，e)时，f(x)0；当 x(e，+)时，f(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大值点， )解析：15.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一令 f(x)=( +1)ln(1+x)2arctanx，f(0)=0 对( +1)x 2 2x+ 1，因为=44( +10， 所以( 10，从而 f(x)0(x0) 方法二令 f(x)=arctanx，F(x)=ln(1+x)， 显然 f(0)=0，F(0)=0 由柯西中值定理，存在(0，x)，使得 为 (x)在(0，+)内的最大值点，最大值为 )解析：16.就 k
13、 的不同取值情况，确定方程 x 3 3x+k=0 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 3 3x+k， f(x)=， )解析：17.计算 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 S(x)= 0 x |cost|dt（分数：4.00）(1).证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 nx(n+1) 时， 0 n2 |cost|dt 0 x |cost|dt 0 (n+1) |cost|dt， 0 n |cost|dt=n 0 |cost|dt=n 2 2 |cost|dt=2n 0 2
14、costdt=2n， 0 (n+1) |cost|dt=2(n+1)，则 2nS(x)2(n+1)解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 nx(n+1)，得 )解析：18.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T， 因为 f(x)0，所以 0 nT f(t)dt 0 x f(t)dt 0 (n+1)T f(t)dt， 即 n 0 T f(t)dt 0 x f(t)dt(n+1) 0 T f(t)dt，由 注意到当 x+时，n+，且 )解析：19.设 f
15、(x)在0，1上连续，且 f(1)f(0)=1证明： 0 1 f 2 (x)dx1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1=f(1)f(0)= 0 1 f(x)dx， 得 1 2 =1=( 0 1 f(x)dx) 2 0 1 1 2 dxf 2 (x)dx= 0 1 f 2 (x)dx，即 0 1 f 2 (x)dx1)解析：20.设 ：x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在(，)内有连续的导数且 x 2 (t)+y 2 (t)0，f(x，y)在 D 内有连续的偏导数若 P 0 是函数 f(x，y)在 上的极值点，证明：f(x，y)在点 P
16、0 沿 的切线方向的方向导数为零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 cos，cos 为切线 r 的方向余弦 当(x，y) 时，f(x，y)为t 的一元函数 fx(t)，t(t)，记 P 0 对应的参数为 t 0 因为 t 0 为一元函数 fx(t)，y(t)的极值点，所以 ddtfx(t)，y(t) =0 在点 P 0 处的切向量为x(t 0 )，y(t 0 )，其对应的单位向量为 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)|0x1，0yx，D 2 =(x，y)|0xy，0y1，则 )解析：22.交换积分次序并计算 0 a dx 0 x
17、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 于是 0 a dx 0 x )解析：23.设 f(x)二阶连续可导，且曲线积3f(x)2f(x)+xe 2x ydx+f(x)dy 与路径无关，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线积分与路径无关，所以有 f“(x)=3f(x)2f(x)+xe 2x ，即 f“(x)3f(x)+2f(x)=xe 2x ， 由特征方程 2 3+2=0 得 1 =1， 2 =2， 则方程 f“(x)3f(x)+2f(x)=0 的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x ， 令特解 f 0 (x)=x(ax+b)e 2x ，代入原微分
18、方程得a=12，b=1， 故所求 f(x)=C 1 e x +C 1 e 2x +( )解析：24.设u n ，c n 为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n c n+1 u n+1 0，且 1c n 发散，则 u n 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 c n c n+1 a(a0)，且 1c n 收敛，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 c n 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 c n u n c n+1 u n+1 0，于是 c n u n c n+1 u n+1 c n u n c 1 u 1 0， 从而 u n c 1 u 1
19、1c n 因为 1c n 发散，所以 u n 也发散 (2)因为对所有 n 满足 c n c n+1 a，则 c n u n c n+1 u n+1 au n+1 ，即 c n u n (c n+1 +a)u n+1 ，所以 u n+1 u n ， )解析：设 f(x)= （分数：4.00）(1).求 f(x)满足的微分方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =f(x)+xe x 则 f(x)满足的微分方程为 f(x)f(x)=xe x ， f(x)=xe x e dx dx+Ce dx =e x ( +C) 因为 a 0 =1，所以 f(0)=1，从而 C=1，于是 f(x)=e
20、x ( )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.将函数 f(x)=x1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)进行偶延拓和周期延拓， a 0 =22 0 2 f(x)dx= 0 2 (x1)dx=0， b n =0(n=1，2，)，于是 f(x) )解析：26.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)f(x)ydx+f(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P(x，y)=xy(x+y)f(x)y，Q(x，y)=f(x)+x 2 y，因为xy(x+y)f(x)ydx+f(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，所以 )解析：27.早晨开始下雪，整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(tT)，又 bH(t)s=ct，)解析：
