1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 198 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若3.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可
2、导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点5.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)= 0
3、 x f(xt)dt，G(x)= 0 1 xg(xt)出，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小6.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 3 (x)B.C 1 1 (x) 2 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x) 3 (x)D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)
4、，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10.点 M(3，1，2)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设 a0，x 1 0，且定义 x n+1 =
5、14(3x n + )(n=1，2，)，证明： （分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明： f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且 f(a)=f(
6、b)=0， a b f(x)dx=0证明：（分数：8.00）(1).存在 c(a，b)，使得 f(c)=0；（分数：2.00）_(2).存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f( i )+f( i )=0(i=1，2)；（分数：2.00）_(3).存在 (a，b)，使得 f“()=f()；（分数：2.00）_(4).存在 (a，b)，使得 f“()3f()+2f()=0（分数：2.00）_18. 0 1 x 4 （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上连续且|f(x)|M证明：| 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_21.某 f 家生
7、产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 =2402p 1 ，q 2 =10005p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 )，问 f 家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?（分数：2.00）_22.计算 0 1 dx （分数：2.00）_23.设 ：x 2 +y 2 +z 2 1，证明： （分数：2.00）_24.位于点(0，1)，的质点 A 对质点 M 的引力大小为 kr 2 (其中常数 k0，且 r=|AM|)，质点 M 沿曲线L：y= （分数：2.00）_25
8、.设na n 收敛，且 n(a n a n1 )收敛，证明：级数 （分数：2.00）_26.证明 S(x)= （分数：2.00）_27.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 198 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题正确的是( )（
9、分数：2.00）A.若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续 C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若解析：解析：令 f(x)= 显然|f(x)|1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对；令 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)部是间断的，故(C)不对；令 f(x)= f(0+h)f(0h)=0，但 f(x)在 x=0 处不连续，(D)不对；若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)=f(a)，又0|f(x
10、)|f(a)|f(x)f(a)|，根据夹逼定理，3.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导 解析：解析：令 f(x)=4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，
11、b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点 解析：解析：令 f(x)=5.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)= 0 x f(xt)dt，G(x)= 0 1 xg(xt)出，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 解析：解析：F(x)= 0 x f(xt)dt= 0 x f(xt)d(xt) 0 x f(u)du， G(x)= 0 1 xg(xt)dt 0 x g(u)du，则 6.设 1 (x)，
12、 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 3 (x)B.C 1 1 (x) 2 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x) 3 (x)D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1 解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1 (x) 3 (x)，
13、 2 (x) 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y“+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x) 3 (x)+C 2 2 (x) 3 (x)+ 3 (x) 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1C 1 C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：14）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：当 x=0
14、时，t=0；当 t=0 时，由 y+e y =1，得 y=0 方程 y+e y =ln(e+t 2 )两边对 t求导数，得 9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10.点 M(3，1，2)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直线的方向向量为 S=1，1，12，1，1=0，3，3，显然直线经过点 M 0 (1，1，1)， s=3，6，6，则点 M(3，1，2)到直线 11.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:
15、_ （正确答案：正确答案：f+xf“+x y1 g 1 +yx y1 lnxg 1 +yx 2y1 lnxg“ 11 +2y 2 x y1 g“ 12 +2x y+1 lnxg“ 21 +4xyg“ 22）解析：解析：由 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yx y1 g 1 (x y ，x 2 +y 2 )+2xg 2 (x y ，x 2 +y 2 ) 12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3e）解析：解析：令 S(x)= x n (x+)， = x n +(x+1)e x =(x 2 +x+1)e x 于是
16、三、解答题(总题数：16，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 a0，x 1 0，且定义 x n+1 =14(3x n + )(n=1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有 从而 x n+1 x n =14( 0(n=2，3，)， 故x n n=2 单调减少，再由 x n 0(n=2，3，)，则 x n 存在， 令 x n =A，等式 x n+1 =14(3x n + )两边令 n得 )解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)在a，b上
17、连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 两式相加得 f(a)+f(b)2f( f“( 1 )+f“( 2 ) 因为 f“(x)在(a，b)内连续，所以 f“(x)在 1 ， 2 上连续从而f“(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 m M， 由介值定理，存在 1 ， 2 )解析：17.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明： f(k 1 x 1
18、+k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n ，显然 x 0 a，b 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )， 分别取 x=x i (i=1，2，n)，得 由 k i 0(i=1，2，n)，上述各式分别乘以 k i (i=1，2，n)，得 )解析：设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0证明：（分数：8.00）(1).
19、存在 c(a，b)，使得 f(c)=0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(x)=f(x)故存在 c(a，b)，使得 a b f(x)dx=F(b)F(a)=F(c)(ba)=f(c)(ba)=0，即 f(c)=0)解析：(2).存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f( i )+f( i )=0(i=1，2)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=e x f(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)
20、，使得 h( 1 )=h( 2 )=0， 而 h(x)=e x f(x)+f(x)且 e x 0，所以f( i )+f( i )=0(i=1，2)解析：(3).存在 (a，b)，使得 f“()=f()；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (z)=e x f(x)+f(x)，( 1 )，( 2 )=0，由罗尔定理，存在( 1 ， 2 ) )解析：(4).存在 (a，b)，使得 f“()3f()+2f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)=e x f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 g( 1 )=
21、g( 2 )=0， 而 g(x)=e x f(x)f(x)且 e x 0，所以 f( 1 )f( 1 )=0，f( 2 )f( 2 )=0 令 (x)=e 2x f(x)f(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：18. 0 1 x 4 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= =x，当 1x2 时， )解析：20.设 f(x)在0，1上连续且|f(x)|M证明：| 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.某 f 家生产的一种产品同时在两
22、个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 =2402p 1 ，q 2 =10005p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 )，问 f 家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：p 1 =1205q 1 ，p 2 =20020q 2 收入函数为 R=p 1 q 1 +p 2 q 2 ， 总利润函数为 L=RC=(1205q 1 )q 1 +(20020q2)q 2 35+40(q 1 +q 2 )， )解析：22.计算 0 1 dx （分数：2.00
23、）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 ：x 2 +y 2 +z 2 1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x，y，z)=x+2y2z+5， 因为 f x =10，f y =20，f z =20，所以 f(x，y，z)在区域 的边界 x 2 +y 2 +z 2 =1 上取到最大值和最小值 令 F(x，y，z，)=x+2y2z+5+(x 2 +y 2 +z 2 1)， 因为 f(P 1 )=8，f(P 2 )=2，所以 在 上的最大值与最小值分别为 2 和 ，于是 )解析：24.位于点(0，1)，的质点 A 对质点 M 的引力大小为 kr 2 (其中常数 k0，且
24、r=|AM|)，质点 M 沿曲线L：y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：任取 M(x，y)L，r= 两质点的引力大小为|F|=kr 2 = 则F=|F|F 0 则 W= L P(x，y)dx+Q(x，y)dy， 所以曲线积分与路径无关，从而 )解析：25.设na n 收敛，且 n(a n a n1 )收敛，证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S n =a 1 +a 2 +a n ，S n+1 =(a 1 a 0 )+2(a 2 a 1 )+(n+1)(a n+1 a n )， 则 S n+1 =(n+1)a n+1 S n a 0 ，因为 n(a n a n1
25、 )收敛且数列na n 收敛， 所以 (n+1)a n+1 都存在，于是 S n 存在，根据级数收敛的定义， )解析：26.证明 S(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然级数的收敛域为(，+)， 显然 S(x)满足微分方程 y (4) y=0。 y (4) y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e x +C 3 cosx+C 4 sinx， 由 S(0)=1，S(0)=S“(0)=S“(0)=0 得 C 1 =14C 2 =14，C 3 =12，C 4 =0，故和函数为 S(x)= )解析：27.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 0 x f(t)dt= 0 x dt， 由 y(0)=1，得 C=1，所以 )解析：
