1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 197 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他3.设 f(x)在 x=a 处的左、右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续4.设函数 f(x)满
2、足关系 f“(x)+f 2 (x)=x，且 f(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点5.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“2y3y=(2x+1)e x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e xB.x 2 e xC.x 2 (ax+b)e xD.x(ax+b)e x二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6. （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1
3、:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.y= （分数：2.00）填空项 1:_10.设直线 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且 f(x)=a0，令 a n = f(k) 0 n f(x)dx证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_14.求函数 y=ln(x+ （分数：2.00）_15.f(x)在1，1上三阶连续可导，且 f(1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在
4、(1，1)，使得f“()=3（分数：2.00）_16.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_设函数 f(x)= （分数：6.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：2.00）_(2).求 f(x)；（分数：2.00）_(3).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性（分数：2.00）_17.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x，+h)=f(x)+f(x+h)h(01)证明： （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续且单调减少证明：
5、当 0k1 时， 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_20.设 A(1，0，4)，：3x4y+z+10=0，L： （分数：2.00）_21.求函数 u=x+y+z 在沿球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 上的点(x 0 ，y 0 ，z 0 )的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?（分数：2.00）_22.计算二重积分 I= 0 1 dx （分数：2.00）_23.设 f(x)连续，F(t)= z 2 +f(x 2 +y 2 )dv，其中 V=(x，y，z)|x 2 +y 2 t 2 ，0zh(t0)，求 （分数：2.00）_
6、24.设 L 为曲线|x|+|y|=1 的逆时针方向，计算 （分数：2.00）_25.设 a n = 0 1 x 2 (1x) n dx，讨论级数 （分数：2.00）_26.设 a n+1 a n b n+1 b n (n=1，2，；a n 0，b n 0)，证明： (1)若级数 b n 收敛，则级数 a n 收敛； (2)若级数 a n 发散，则级数 （分数：2.00）_27.将函数 f(x)=arctan （分数：2.00）_28.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cms外力为 392cms 2 ，问运动开
7、始 1min 后的速度是多少?（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 197 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析： 因为 f(0)=f(0)=0，所以 f“(0)=2，于是3.设 f(x)在 x=a 处的左、右导数都
8、存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以4.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f 2 (x)=x，且 f(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 f(0)=0 得 f“(0)=0，f“(x)=12f(x)f“(x)，f“(0)=10，由极限保号性，存在0，当 0|x| 时，f“(x)0，再由 f“(0)=0，得5.二
9、阶常系数非齐次线性微分方程 y“2y3y=(2x+1)e x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e xB.x 2 e xC.x 2 (ax+b)e xD.x(ax+b)e x 解析：解析：方程 y“2y3y=(2x+1)e x 的特征方程为 2 23=0，特征值为 1 =1， 2 =3，故方程 y“2y=3y=(2x+1)e x 的特解形式为 x(ax+b)e x ，选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 7.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）
10、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f“(a)2f 2 (a)）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9.y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设直线 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x3y+z+2=0）解析：解析：所求平面的法向量为 n=1，0，12，1，1=1，3，1，又平面过点(1，2，3)，则所求平面方程为 ：(x1)3(y2)+(z3)=0，即 ：x3y+z+2=011.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
11、析：解析：三、解答题(总题数：18，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且 f(x)=a0，令 a n = f(k) 0 n f(x)dx证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少 又因为 a n+1 a n =f(n+1) n n+1 f(x)dx=f(n+1)f()0(n，n+1)，所以a n 单调减少 因为 a n = k k+1 f(k)f(x)dx+f(n)，而 k k+1 f(k)f(x)dx0(k=1，2?，n1)且 f(x)
12、=a0，所以存在 X0，当xX 时，f(x)0 由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，+)，故 a n f(n)0，所以 a n 存在 由 a n =f(1)+f(2) 1 2 f(x)dx+f(n) n1 n f(x)dx， 而 f(k) k1 k f(x)dx0(k=2，3，n)，所以 a n f(1)，从而 0 )解析：14.求函数 y=ln(x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=ln(x+ )， 因为 f(x) =f(x)， 所以函数 y=ln(x+ )为奇函数，于是 即函数 y=ln(x+ )解析：15.f(x)在1，1上三阶连续可导，且 f(1)=0，f
13、(1)=1，f(0)=0证明：存在 (1，1)，使得f“()=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(1)=f(0)+f(0)(10)+ (10) 3 ， 1 (1，0)， f(1)=f(0)+f(0)(10)+ (10) 3 ， 2 (0，1)， 两式相减得 f“( 1 )+f“( 2 )=6 因为 f(x)在1，1上三阶连续可导，所以 f“(x)在 1 ， 2 上连续，由连续函数最值定理，f“(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf“( 1 )+f“( 2 )2M，即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理，存在 1 ， 2 )解析：16.设 f(
14、x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，则 (x)在0，+)内可导， 又 (0)=1，(x)=e x f(x)f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1， 所以有 f(x)e x (x0)解析：设函数 f(x)= （分数：6.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性（分数
15、：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 )解析：17.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x，+h)=f(x)+f(x+h)h(01)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ h 2 ，其中 介于 x 与 x+h 之间 由已知条件得 f(x+h)h=f(x)h+ h 2 ，或 f(x+h)f(x)= h， 两边同除以 h，得 )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(x 2 e x )=(x 2 +2x)e x ， )解析：19.设 f(x)在0，1上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0
16、k f(x)dxk 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx= 0 k f(x)dxk 0 k f(x)dx+ k 1 f(x)dx =(1k) 0 k f(x)dxk k 1 f(x)dx=k(1k)f( 1 )f( 2 ) 其中 1 0，k， 2 k，1因为 0k1 且 f(x)单调减少， 所以 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx=k(1k)f( 1 )f( 2 )0，故 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx 方法二 0 k f(x)dx )解析：20.设 A(1，0，4)，：3x4y+z+10=0
17、，L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过 A(1，0，4)且与平面 ：3x4y+z+10=0 平行的平面方程为 1 ：3(x+1)4y+(z4)一 0，即 1 ：3x4y+z1=0 代入 1 ：3x4y+z1=0，得 t=16， 则直线 L与 1 的交点为 M 0 (15，19，32)，所求直线的方向向量为 S=16，19，28，所求直线为 )解析：21.求函数 u=x+y+z 在沿球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 上的点(x 0 ，y 0 ，z 0 )的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：球面
18、x 2 +y 2 +z 2 =1 在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的外法向量为 n=2x 0 ，2y 0 ，2z 0 ， 方向余弦为 cos= =x 0 ，cos=y 0 ，cos=z 0 ， 又 =1，所求的方向导数为 =x 0 +y 0 +z 0 令 F=x+y+z+(x 2 +y 2 +z 2 1)， 当(x，y，z)=( )时，方向导数取最大值 ；当(x，y，z)=( )时，方向导数取最小值 )解析：22.计算二重积分 I= 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)连续，F(t)= z 2 +f(x 2 +y 2 )dv，其中 V=(x
19、，y，z)|x 2 +y 2 t 2 ，0zh(t0)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(t)= 0 2 d 0 t rdr 0 h z 2 +f(r 2 )dz=2 0 t r +hf(r 2 )dr， )解析：24.设 L 为曲线|x|+|y|=1 的逆时针方向，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 C：x 2 +4y 2 =r 2 (r0)逆时针且 C 在曲线 L 内，则有 )解析：25.设 a n = 0 1 x 2 (1x) n dx，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a n = 0 1 x 2 (1x) n dx 1 0 (1t)
20、2 t n (dt) 0 1 (t n+2 2t n+1 +t n )dt 因为 a n 2n 3 且 2n 3 收敛，所以 a n 收敛 )解析：26.设 a n+1 a n b n+1 b n (n=1，2，；a n 0，b n 0)，证明： (1)若级数 b n 收敛，则级数 a n 收敛； (2)若级数 a n 发散，则级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 a n+1 a n b n+1 b n ，得 a n+1 b n+1 a n b n ，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则， )解析：27.将函数 f(x)=arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确
21、答案：f(0)=4，f(x)= (1) n x 2n (1x1)， 由逐项可积性得 f(x)f(0)= 0 x f(x)dx= x 2n+1 所以 f(x)= )解析：28.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cms外力为 392cms 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 F=ktv，因为当 t=10 时，v=50，F=392，所以 k=196，从而F=196tv，又因为 F=mdvdt，所以 dvdt=196tv，分离变量得 vdv=196tdt， 所以 12v 2 =98t 2 +C，由 v| t=10 =50，得 C=8550， )解析：
