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    【考研类试卷】考研数学一(高等数学)模拟试卷195及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学一(高等数学)模拟试卷195及答案解析.doc

    1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 195 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 (xa),则 (分数:2.00)A.eB.e 2C.1D.e 123.设 f(x)在 x=a 处二阶可导,则 (分数:2.00)A.f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D.12f“(a)4.设 f(x)连续可导,g(x)在 x=0 的邻域内连续,且 g(0)=1,f(x)=sin2x+ 0 x g(xt)dt,则( )(分数:2.00)A.x=0 为 f(x)的极大点B

    2、.x=0 为 f(x)的极小点C.(0,f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 非极值点,(0,f(0)非 y=f(x)的拐点5.设 (分数:2.00)A.1B.2C.D.二、填空题(总题数:5,分数:10.00)6.当 x0 时,xsinxcos2xcx k ,则 c= 1,k= 2(分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_7.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2),f(0)=0,又在(1,1)内 f(x)=|x|,则 f(72)= 1(分数:2.00)填空项 1:_8.设 f(x)为连续函数,且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx,则 f(x)= 1(分数:2.00)

    3、填空项 1:_9.I(x)= 0 x (分数:2.00)填空项 1:_10.设 y(x)为微分方程 y“4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1,y(0)=2 的特解,则 0 1 y(x)dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:19,分数:40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12. (分数:2.00)_13.的间断点并判断其类型 (分数:2.00)_14.设 f(x)在0,1上二阶可导,且|f“(x)|1(x0,1),又 f(0)=f(1),证明:|f(x)|12(x0,1)(分数:2.00)_设 f(x)在a,a(a0)上有四阶连续的导数

    4、, (分数:4.00)(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式;(分数:2.00)_(2).证明:存在 1 , 2 a,a,使得 a 5 f (4) ( 1 )=60 a a f(x)dx,a 4 f (4) ( 1 )=120f( 2 )(分数:2.00)_15.设 f(x)在a,b上连续,且 f“(x)0,对任意的 x 1 ,x 2 a,b及 01,证明: fx 1 +(1)x 2 f(x 1 )+(1)f(x 2 )(分数:2.00)_16.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1,证明:对任意的 a0,b0,存在,(0,1),使得 (分

    5、数:2.00)_17. (分数:2.00)_18.设 f(x)在a,b上连续且单调增加,证明: a b xf(x)dx (分数:2.00)_19.令 f(x)=xx,求极限 (分数:2.00)_20.求过直线 (分数:2.00)_21.设 z=z(x,y)满足 证明: (分数:2.00)_22.设 f(x)在0,a(a0)上非负、二阶可导,且 f(0)=0,f“(x)0,( )为 y=f(x),y=0,x=a 围成区域的形心,证明: (分数:2.00)_23.设 f(x,y,z)连续,为曲面 2z=x 2 +y 2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧,计算 (分数:2.00)_24.设函

    6、数 u(x,y),v(x,y)在 D:x 2 +y 2 1 上一阶连续可偏导,又 f(x,y)=v(x,y)i+u(x,y)j,g(x,y)=( )j, 且在区域 D 的边界上有 u(x,y)1,v(x,y)y,求 (分数:2.00)_25.设 0a n 1n,级数 (分数:2.00)_设 a n = 0 4 tan n xdx(分数:4.00)(1).求 (分数:2.00)_(2).证明:对任意常数 0, (分数:2.00)_26.求幂级数 (分数:2.00)_27.某人的食量是 2500 卡天,其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中,他所消耗的为 16卡千克天乘以他的体重假设以

    7、脂肪形式储存的热量百分之百有效,而一千克脂肪含热量 10000 卡,求该人体重怎样随时间变化(分数:2.00)_考研数学一(高等数学)模拟试卷 195 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 (xa),则 (分数:2.00)A.eB.e 2C.1D.e 12 解析:解析:因为 ,所以 =0 于是 3.设 f(x)在 x=a 处二阶可导,则 (分数:2.00)A.f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D.12f“(a) 解析:解析:4.设 f(x)

    8、连续可导,g(x)在 x=0 的邻域内连续,且 g(0)=1,f(x)=sin2x+ 0 x g(xt)dt,则( )(分数:2.00)A.x=0 为 f(x)的极大点 B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0,f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 非极值点,(0,f(0)非 y=f(x)的拐点解析:解析:由 0 x g(xt)dt 0 x g(u)du 得 f(x)=sin2x+ 0 x g(u)du,f(0)=0, 5.设 (分数:2.00)A.1B.2 C.D.解析:解析: = 0 2 d 0 a r dr= 0 a (a 2 r 2 ) 12 d(a 2 r 2 ) 二、填空题(总

    9、题数:5,分数:10.00)6.当 x0 时,xsinxcos2xcx k ,则 c= 1,k= 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:136)填空项 1:_ (正确答案:3)解析:解析:因为 x0 时,sinx=x +o(x 3 ), cos2x=1 +o(x 2 )=12x 2 +o(x 2 ), sinxcos2x=x x 3 +o(x 3 ), 所以 xsinxcos2x= x 3 +o(x 3 ) 7.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2),f(0)=0,又在(1,1)内 f(x)=|x|,则 f(72)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答

    10、案:18)解析:解析:因为在(1,1)内 f(x)=|x|, 所以在(1,1)内 f(x) 由 f(0)=0 得 f(x)8.设 f(x)为连续函数,且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:cosxxsinx+C)解析:解析:由 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx,得 0 1 f(xt)d(xt)=xf(x)+x 2 sinx,即 0 x f(t)dt=xf(x)+x 2 sinx,两边求导得 f(x)=2sinxxcosx,积分得 f(x)=cosxxsinx+C9.I(x)= 0 x (分数:

    11、2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:ln3)解析:解析:令 I(x)= =0,得 x=12,当 x1,12)时,I(x)0,当 x(12,1时,I(x)0,所以 x=12 为 I(x)在1,1上的最小值点,又 I(1)= 0 1 du=ln(u 2 u+1)| 0 1 =0, I(1)= 0 1 10.设 y(x)为微分方程 y“4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1,y(0)=2 的特解,则 0 1 y(x)dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:12(e 2 1))解析:解析:y“4y+4y=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x ,

    12、由初始条件 y(0)=1,y(0)=2 得 C 1 =1,C 2 =0,则 y=e 2x , 于是 0 1 y(x)dx=12 0 2 e x dx=12e x | 0 2 =12(e 2 1)三、解答题(总题数:19,分数:40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:12. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 因为 0 1 (1u)sinxudu= sinx, 1 2 (u1)sinxudu )解析:13.的间断点并判断其类型 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(x)的间断点为 x=0,1,2,及 x=1 当 x=0 时,f(00)= (x 2

    13、1)=1, f(0+0) =sin1,则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x=1时, f(x)=2,则 x=1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 x=k(k=2,3,)时, f(x)=,则 x=k(k=2,3,)为函数 f(x)的第二类间断点 当 x=1 时,因为 )解析:14.设 f(x)在0,1上二阶可导,且|f“(x)|1(x0,1),又 f(0)=f(1),证明:|f(x)|12(x0,1)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由泰勒公式得 f(0)=f(x)f(x)x+ f“( 1 )x 2 , 1 (0,x), f(1)=f(x)+f(x)

    14、(1x)+ f“( 2 )(1x) 2 , 2 (x,1), 两式相减,得 f(x)=12f“( 1 )x 2 f“( 2 )(1x) 2 两边取绝对值,再由|f“(x)|1,得 |f(x)|12x 2 +(1x) 2 =(x )解析:设 f(x)在a,a(a0)上有四阶连续的导数, (分数:4.00)(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(x)x 3 存在,得 f(0)=0,f(0)=0,f“(0)=0, 则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 )解析:(2).证明:存在 1 , 2 a,a,使得 a 5 f (4) (

    15、1 )=60 a a f(x)dx,a 4 f (4) ( 1 )=120f( 2 )(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:上式两边积分得 a a f(x)dx=124 a a f (4) ()x 4 dx 因为 f (4) (x)在a,a上为连续函数,所以 f (4) (x)在a,a上取到最大值 M 和最小值 m,于是有 mx 4 f (4) ()x 4 Mx 4 , 两边在a,a上积分得 2m5a 5 a a f (4) ()x 4 dx2M5a 5 , 从而 ma 5 60124 a a f (4) ()x 4 dxMa 5 60,或 ma 5 60 a a f(x)dxMa 5 6

    16、0, 于是m60a 5 a a f(x)dxM, 根据介值定理,存在 1 a,a,使得 f (4) ( 1 )=60a 5 a a f(x)dx,或 a 5 f (4) ( 1 )=60 a a f(x)dx 再由积分中值定理,存在 2 a,a,使得 a 5 f (4) ( 1 )=60 a a f(x)dx=120af( 2 ),即 a 4 f (4) ( 1 )=120f( 2 )解析:15.设 f(x)在a,b上连续,且 f“(x)0,对任意的 x 1 ,x 2 a,b及 01,证明: fx 1 +(1)x 2 f(x 1 )+(1)f(x 2 )(分数:2.00)_正确答案:(正确答案

    17、:令 x 0 =x 1 +(1)x 2 ,则 x 0 a,b,由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )+ (xx 0 ) 2 ,其中 介于 x 0 与 x 之间, 因为 f“(x)0,所以 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 ), )解析:16.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1,证明:对任意的 a0,b0,存在,(0,1),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在0,1上连续,f(0)=0,f(1)=1,且 f(0) f(1),所以由端点介值定理,存在 c(0,1),使得 f(c)=

    18、 由微分中值定理,存在 (0,c),(c,1),使得)解析:17. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18.设 f(x)在a,b上连续且单调增加,证明: a b xf(x)dx (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方法一 因为 f(x)在a,b上单调增加,所以 a b (x)dx0, 故 a b xf(x)dx f(x)dx 方法二令 (x)= a x tf(t)dt a x f(t)dt,显然 (a)=0 (x)=xf(x)=12 a x f(t)dt f(x)=12(xa)f(x) a xf(t) dt =12 a x f(x)dt a x f(x)dt=12 a

    19、x f(x)f(t)dt0 得 (b)(a)=0,所以 a b xf(x)dx )解析:19.令 f(x)=xx,求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为x+m=x+m(其中 m 为整数),所以 f(x)=xx是以 1 为周期的函数,又xx,故 f(x)0,且 f(x)在0,1上的表达式为 f(x)= 对充分大的 x,存在自然数 n,使得nxn+1,则 0 n f(x)dx 0 x f(x)dx 0 n+1 f(x)dx, 而 0 n f(x)dx=n 0 1 f(x)dx=n 0 1 xdx=n2,同理 0 n+1 f(x)dx= 显然当 x+时,n,由夹逼定理得 )解析:20

    20、.求过直线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:过直线 的平面束方程为 :(3x2y+2)+(x2yz+6)=0, 或:(3+)x2(1+)yz+2+6=0,点(1,2,1)到平面 的距离为 )解析:21.设 z=z(x,y)满足 证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.设 f(x)在0,a(a0)上非负、二阶可导,且 f(0)=0,f“(x)0,( )为 y=f(x),y=0,x=a 围成区域的形心,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 令 (x)= 0 x (t )f(t)dt,(0)=0,(x)= 0 x f(t)dt,(0)=0, “(x)

    21、= 0x因为 f“(x)0,所以 f(x)单调增加,所以 “(x)0由 (x)0(x0) )解析:23.设 f(x,y,z)连续,为曲面 2z=x 2 +y 2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧,计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:曲面 2z=x 2 +y 2 上任一点(x,y,z)指向上侧的法向量为 n=x,y,1,法向量的方向余弦为 则 yf(x,y,z)+xdydz+xf(x,y,z)+ydzdx+2xyf(x,y,z)+zdxdy = (yf(x,y,z)+xcos+xf(x,y,z)+ycos+2xyf(x,y,z)+zcosdS 所以原式=12 )解析:24.设

    22、函数 u(x,y),v(x,y)在 D:x 2 +y 2 1 上一阶连续可偏导,又 f(x,y)=v(x,y)i+u(x,y)j,g(x,y)=( )j, 且在区域 D 的边界上有 u(x,y)1,v(x,y)y,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:25.设 0a n 1n,级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: (1) n a n 2 一定收敛 由 0a n 1n,得 0a n 2 1n 2 ,又 (1) n a n 2 绝对收敛,所以 )解析:设 a n = 0 4 tan n xdx(分数:4.00)(1).求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:a

    23、n +a n+2 )解析:(2).证明:对任意常数 0, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.求幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 =0,得收敛半径 R=+,该幂级数的收敛区间为(,+), )解析:27.某人的食量是 2500 卡天,其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中,他所消耗的为 16卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效,而一千克脂肪含热量 10000 卡,求该人体重怎样随时间变化(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:输入率为 2500 卡天,输出率为(1200+16w),其中 w 为体重, 根据题意得dwdt= ,w(0)=w 0 , )解析:


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