1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 195 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.e 123.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D.12f“(a)4.设 f(x)连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 g(0)=1，f(x)=sin2x+ 0 x g(xt)dt，则( )（分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B
2、.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 非极值点，(0，f(0)非 y=f(x)的拐点5.设 （分数：2.00）A.1B.2C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.当 x0 时，xsinxcos2xcx k ，则 c= 1，k= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(1，1)内 f(x)=|x|，则 f(72)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)= 1（分数：2.00）
3、填空项 1:_9.I(x)= 0 x （分数：2.00）填空项 1:_10.设 y(x)为微分方程 y“4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12. （分数：2.00）_13.的间断点并判断其类型 （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f“(x)|1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：|f(x)|12(x0，1)（分数：2.00）_设 f(x)在a，a(a0)上有四阶连续的导数
4、， （分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；（分数：2.00）_(2).证明：存在 1 ， 2 a，a，使得 a 5 f (4) ( 1 )=60 a a f(x)dx，a 4 f (4) ( 1 )=120f( 2 )（分数：2.00）_15.设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明： fx 1 +(1)x 2 f(x 1 )+(1)f(x 2 )（分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分
5、数：2.00）_17. （分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： a b xf(x)dx （分数：2.00）_19.令 f(x)=xx，求极限 （分数：2.00）_20.求过直线 （分数：2.00）_21.设 z=z(x，y)满足 证明： （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，( )为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_23.设 f(x，y，z)连续，为曲面 2z=x 2 +y 2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧，计算 （分数：2.00）_24.设函
6、数 u(x，y)，v(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 上一阶连续可偏导，又 f(x，y)=v(x，y)i+u(x，y)j，g(x，y)=( )j， 且在区域 D 的边界上有 u(x，y)1，v(x，y)y，求 （分数：2.00）_25.设 0a n 1n，级数 （分数：2.00）_设 a n = 0 4 tan n xdx（分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).证明：对任意常数 0， （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.某人的食量是 2500 卡天，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16卡千克天乘以他的体重假设以
7、脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 195 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.e 12 解析：解析：因为 ，所以 =0 于是 3.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D.12f“(a) 解析：解析：4.设 f(x)
8、连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 g(0)=1，f(x)=sin2x+ 0 x g(xt)dt，则( )（分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点 B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 非极值点，(0，f(0)非 y=f(x)的拐点解析：解析：由 0 x g(xt)dt 0 x g(u)du 得 f(x)=sin2x+ 0 x g(u)du，f(0)=0， 5.设 （分数：2.00）A.1B.2 C.D.解析：解析： = 0 2 d 0 a r dr= 0 a (a 2 r 2 ) 12 d(a 2 r 2 ) 二、填空题(总
9、题数：5，分数：10.00)6.当 x0 时，xsinxcos2xcx k ，则 c= 1，k= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：136）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为 x0 时，sinx=x +o(x 3 )， cos2x=1 +o(x 2 )=12x 2 +o(x 2 )， sinxcos2x=x x 3 +o(x 3 )， 所以 xsinxcos2x= x 3 +o(x 3 ) 7.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(1，1)内 f(x)=|x|，则 f(72)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
10、案：18）解析：解析：因为在(1，1)内 f(x)=|x|， 所以在(1，1)内 f(x) 由 f(0)=0 得 f(x)8.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cosxxsinx+C）解析：解析：由 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 0 1 f(xt)d(xt)=xf(x)+x 2 sinx，即 0 x f(t)dt=xf(x)+x 2 sinx，两边求导得 f(x)=2sinxxcosx，积分得 f(x)=cosxxsinx+C9.I(x)= 0 x （分数：
11、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：令 I(x)= =0，得 x=12，当 x1，12)时，I(x)0，当 x(12，1时，I(x)0，所以 x=12 为 I(x)在1，1上的最小值点，又 I(1)= 0 1 du=ln(u 2 u+1)| 0 1 =0， I(1)= 0 1 10.设 y(x)为微分方程 y“4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12(e 2 1)）解析：解析：y“4y+4y=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x ，
12、由初始条件 y(0)=1，y(0)=2 得 C 1 =1，C 2 =0，则 y=e 2x ， 于是 0 1 y(x)dx=12 0 2 e x dx=12e x | 0 2 =12(e 2 1)三、解答题(总题数：19，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 0 1 (1u)sinxudu= sinx， 1 2 (u1)sinxudu )解析：13.的间断点并判断其类型 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x=0，1，2，及 x=1 当 x=0 时，f(00)= (x 2
13、1)=1， f(0+0) =sin1，则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x=1时， f(x)=2，则 x=1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 x=k(k=2，3，)时， f(x)=，则 x=k(k=2，3，)为函数 f(x)的第二类间断点 当 x=1 时，因为 )解析：14.设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f“(x)|1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：|f(x)|12(x0，1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)=f(x)f(x)x+ f“( 1 )x 2 ， 1 (0，x)， f(1)=f(x)+f(x)
14、(1x)+ f“( 2 )(1x) 2 ， 2 (x，1)， 两式相减，得 f(x)=12f“( 1 )x 2 f“( 2 )(1x) 2 两边取绝对值，再由|f“(x)|1，得 |f(x)|12x 2 +(1x) 2 =(x )解析：设 f(x)在a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)x 3 存在，得 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=0， 则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 )解析：(2).证明：存在 1 ， 2 a，a，使得 a 5 f (4) (
15、1 )=60 a a f(x)dx，a 4 f (4) ( 1 )=120f( 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：上式两边积分得 a a f(x)dx=124 a a f (4) ()x 4 dx 因为 f (4) (x)在a，a上为连续函数，所以 f (4) (x)在a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx 4 f (4) ()x 4 Mx 4 ， 两边在a，a上积分得 2m5a 5 a a f (4) ()x 4 dx2M5a 5 ， 从而 ma 5 60124 a a f (4) ()x 4 dxMa 5 60，或 ma 5 60 a a f(x)dxMa 5 6
16、0， 于是m60a 5 a a f(x)dxM， 根据介值定理，存在 1 a，a，使得 f (4) ( 1 )=60a 5 a a f(x)dx，或 a 5 f (4) ( 1 )=60 a a f(x)dx 再由积分中值定理，存在 2 a，a，使得 a 5 f (4) ( 1 )=60 a a f(x)dx=120af( 2 )，即 a 4 f (4) ( 1 )=120f( 2 )解析：15.设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明： fx 1 +(1)x 2 f(x 1 )+(1)f(x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
17、：令 x 0 =x 1 +(1)x 2 ，则 x 0 a，b，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )+ (xx 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间， 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )， )解析：16.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且 f(0) f(1)，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=
18、 由微分中值定理，存在 (0，c)，(c，1)，使得)解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： a b xf(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 因为 f(x)在a，b上单调增加，所以 a b (x)dx0， 故 a b xf(x)dx f(x)dx 方法二令 (x)= a x tf(t)dt a x f(t)dt，显然 (a)=0 (x)=xf(x)=12 a x f(t)dt f(x)=12(xa)f(x) a xf(t) dt =12 a x f(x)dt a x f(x)dt=12 a
19、x f(x)f(t)dt0 得 (b)(a)=0，所以 a b xf(x)dx )解析：19.令 f(x)=xx，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为x+m=x+m(其中 m 为整数)，所以 f(x)=xx是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)= 对充分大的 x，存在自然数 n，使得nxn+1，则 0 n f(x)dx 0 x f(x)dx 0 n+1 f(x)dx， 而 0 n f(x)dx=n 0 1 f(x)dx=n 0 1 xdx=n2，同理 0 n+1 f(x)dx= 显然当 x+时，n，由夹逼定理得 )解析：20
20、.求过直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过直线 的平面束方程为 ：(3x2y+2)+(x2yz+6)=0， 或：(3+)x2(1+)yz+2+6=0，点(1，2，1)到平面 的距离为 )解析：21.设 z=z(x，y)满足 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，( )为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 (x)= 0 x (t )f(t)dt，(0)=0，(x)= 0 x f(t)dt，(0)=0， “(x)
21、= 0x因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，所以 “(x)0由 (x)0(x0) )解析：23.设 f(x，y，z)连续，为曲面 2z=x 2 +y 2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面 2z=x 2 +y 2 上任一点(x，y，z)指向上侧的法向量为 n=x，y，1，法向量的方向余弦为 则 yf(x，y，z)+xdydz+xf(x，y，z)+ydzdx+2xyf(x，y，z)+zdxdy = (yf(x，y，z)+xcos+xf(x，y，z)+ycos+2xyf(x，y，z)+zcosdS 所以原式=12 )解析：24.设
22、函数 u(x，y)，v(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 上一阶连续可偏导，又 f(x，y)=v(x，y)i+u(x，y)j，g(x，y)=( )j， 且在区域 D 的边界上有 u(x，y)1，v(x，y)y，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 0a n 1n，级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1) n a n 2 一定收敛 由 0a n 1n，得 0a n 2 1n 2 ，又 (1) n a n 2 绝对收敛，所以 )解析：设 a n = 0 4 tan n xdx（分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a
23、n +a n+2 )解析：(2).证明：对任意常数 0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0，得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(，+)， )解析：27.某人的食量是 2500 卡天，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：输入率为 2500 卡天，输出率为(1200+16w)，其中 w 为体重， 根据题意得dwdt= ，w(0)=w 0 ， )解析：
