1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 194 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 在(，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b03.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 （分数：2.00）A.1B.12C.13D.144.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=
2、f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点5. （分数：2.00）A.L 1 L 3B.L 1 L 2C.L 2 L 3D.L 1 L 26.设 D=(x，y)|0x，0y，则 （分数：2.00）A.B.52C.53D.547.设场 A=x 3 +2y，y 3 +2z，z 3 +2x，曲面 S：x 2 +y 2 +z 2 =2z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为( )（分数：2.00）A.32B.32C.325D.325二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8. （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)=x 2 （分数：2
3、.00）填空项 1:_10.设xf(x)dx=arcsinx+c，则dxf(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(x)=1，则 2 2 （分数：2.00）填空项 1:_12.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14. （分数：2.00）_15.求 f(x)的间断点并分类 （分数：2.00）_16.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单
4、位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f(x)|a，|f“(x)|b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：4.00）(1).写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（分数：2.00）_(2).证明：|f(c)|2a+ （分数：2.00）_17.设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)（分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(
5、1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()=2f()1（分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： ( 0 1 dxf(x)( 0 1 f(x)dx)(m+M) 2 4mM（分数：2.00）_21.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：4.00）(1).若 x （分数：2.00）_(2).若 （分
6、数：2.00）_22.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 P(y) （分数：2.00）_23.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_24.设 L 是不经过点(2，0)，(2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算 （分数：2.00）_25.设 a n 收敛，举例说明级数 a n 2 不一定收敛；若 a n 是正项收敛级数，证明 （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.0
7、0）_27.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 194 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 在(，+)内连续，且 （分数
8、：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解析：因为 f(x)= 在(，+)内连续，所以 a0，又因为3.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 （分数：2.00）A.1B.12C.13 D.14解析：解析：令 f(a)f(0)=f()a，即 arctana= a，或者 2 = 1， 4.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值 B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：
9、解析： 5. （分数：2.00）A.L 1 L 3B.L 1 L 2C.L 2 L 3D.L 1 L 2 解析：解析：三条直线的方向向量为 s 1 =2，5，3，s 2 =3，3，7，s 3 =1，3，1(2，1，1=2，1，5， 因为 s 1 s 2 =0，所以 L 1 L 2 ，选(D)6.设 D=(x，y)|0x，0y，则 （分数：2.00）A.B.52 C.53D.54解析：解析：根据对称性，令 D 1 =(x，y)|10x，0yx， 7.设场 A=x 3 +2y，y 3 +2z，z 3 +2x，曲面 S：x 2 +y 2 +z 2 =2z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为( )
10、（分数：2.00）A.32B.32C.325D.325 解析：解析：= (x 3 +2y)dydz+(y 3 +2z)dzdx+(z 3 +2x)dxdy 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：因为 x0 时， 1x2，9.设 f(x)=x 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x(1+4x)e 8x）解析：解析：由 f(x) 10.设xf(x)dx=arcsinx+c，则dxf(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：13(1x 2 ) 32 +C）解析：解析
11、：由xf(x)dx=arcsinx+C 得 11.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(x)=1，则 2 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：12.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“3y“+4y2y=0）解析：解析：特征值为 1 =1， 2，3 =1i，特征方程为(1)(1+i)(1i)=0，即 3 3 2 +42=0，所求方程为 y“3y“+4y2y=0三、解答题(总题数：17，分数：36.00)13.解答题解答
12、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求 f(x)的间断点并分类 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=k(k=0，1，2，)及 x=1 为 f(x)的间断点 因为 f(00)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点； =2 得 x=2 为可去间断点； 当 x=k(k=1，3，4，)时， 由 f(x)=得 x=k(k=1，3，4，)为第二类间断点； 由 )解析：16.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分
13、数：2.00）_正确答案：(正确答案：设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S(0)=0，S(1)=1，S(1)=0由泰勒公式 S(12)=S(0)+ 14，S(12)=S(1)+ 14， 1 (0，12)， 2 (12，1) 两式相减，得 S“( 2 )S“( 1 )=8 )解析：设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f(x)|a，|f“(x)|b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：4.00）(1).写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=f(c)+f(c)(xc)+ )解析：(2).
14、证明：|f(c)|2a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别令 x=0，x=1，得 f(0)=f(c)f(c)c+ c 2 ， 1 (0，c)， f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ (1c) 2 ， 2 (c，1)， 两式相减，得 f(c)=f(1)f(0)+ (1c) 2 ，利用已知条件，得 |f(c)|2a+ c 2 +(1c) 2 ， 因为 c 2 +(1c) 2 1，所以|f(c)|2a+ )解析：17.设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 ab
15、，由微分中值定理，存在 1 (0，a)， 2 (b，a+b)，使得 )解析：18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()=2f()1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x1) 2 f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x1)f(x)+(x1) 2 f“(x)，所以 2(1)f()+(1) 2 f“()=0，整理得 f“()= )解析：19
16、. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： ( 0 1 dxf(x)( 0 1 f(x)dx)(m+M) 2 4mM（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0mf(x)M，所以 f(x)m0，f(x)M0，从而 两边积分得 0 1 f(x)dx+Mm 0 1 1f(x)dxM+m， 因为 0 1 f(x)dx+Mm 0 1 1f(x)dx )解析：21.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b
17、f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 ) 取 x 0 = a b x(z)dx，因为 (x)0，所以 a(z)x(x)b(x)，又 a b (x)dx=1， 于是有 a a b x(x)dx=x 0 b把 x 0 = a b x(x)dx 代入(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)+f(x 0 )x(x)x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间口，6上积分，得 a b f(z)(x)dxf a b x(
18、x)dx)解析：设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：4.00）(1).若 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 从而 )解析：22.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 P(y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得 方程 u=(u)+ y x P(t)dt 两边对 x 及y 求偏导，得 )解析：23.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有
19、界闭区域 D 上连续，g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故mf(x，y)M又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y) 积分得 由介值定理，存在(，)D，使得 )解析：24.设 L 是不经过点(2，0)，(2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =I 1 +I 2 显然曲线积分 I 1 ，I 2 都满足柯西一黎曼条件 (1)当(2，0)，(20)都在 L 所围成的
20、区域之外时，I 1 =I 2 =0因此 I=0； (2)当(2，0)，(2，0)都在 L 所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以 r 1 ，r 2 为半径的圆 C 1 ，C 2 ，使它们都在 L 内，则 )解析：25.设 a n 收敛，举例说明级数 a n 2 不一定收敛；若 a n 是正项收敛级数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 a n = 由交错级数的莱布尼茨审敛法，级数 收敛， 取 0 =1，存在自然数 N，当 nN 时，|a n 0|1，从而 0a n 1， 当 nN 时，有 0a n 2 a n 1 )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确
21、答案：显然该幂级数的收敛区间为1，1， =xln(1x) (1x1) 则S(x)=x+(1x)ln(1x) (1x1) 当 x=1 时，S(1)= =1 )解析：27.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m 1 (t)，m 2 (t)，在时间t，t+at内有 dm 1 = =0，且满足初始条件 m 1 (0)=150， 解得 m 1 (t)=150e t5 ；在时间t，t+dt内有 )解析：
