1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 192 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 x dt 0 t tln(1+u 2 )du，g(x)= （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小3.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4. （分数：2.00）填空项 1:_5.设函数 y=f( )满足 f(x)=arctan （分数：2.00）填空项
2、 1:_6.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(sin 2 x)=xsinx，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 a 2ln2 （分数：2.00）填空项 1:_9.设连续函数 f(x)，f(0)=0，F(t)= z 2 +f(x 2 +y 2 )dxdydz， t ：x 2 +y 2 t 2 ，0z1，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 L 是从点(0，0)到点(2，0)的有向弧段 y=x(2x)，则 L (ye x e y +y)dx+(xe y +e x )dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 yy“2(y) 2 =0 的通解为 1
3、（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13. （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(12)=1，f(1)=0证明：（分数：4.00）(1).存在 (12，1)，使得 f()=；（分数：2.00）_(2).对任意的 k(，+)，存在 (0，)，使得 f()kf()=1（分数：2.00）_15.设 f(x)Ca，b，在(a
4、，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 =(e a +e b )f()+f()（分数：2.00）_16.设 f(x)，g(3x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f + (n)f (b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 f()g()=f“()g“()（分数：2.00）_17.设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)（分数：2.00）_18.设 f(x)连续，且 f(x)=2 0 x f(xt)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.0
5、0）_19.设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(，+)有|f(x)+f(x)|1证明：|f(x)|1（分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (tt 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_设直线 L： （分数：4.00）(1).求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面；（分数：2.00）_(2).求该旋转曲面界于 z=0 与 z=1 之间的几何体的体积（分数：2.00）_22.设 f(x，y)= （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2
6、+z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_25.计算 I= L （分数：2.00）_26.求函数 f(x)=ln(1x2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_27.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y 2 之积成反比，比例系数为 k= （分数：2.00）_28.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 192
7、答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 x dt 0 t tln(1+u 2 )du，g(x)= （分数：2.00）A.低阶无穷小 B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小解析：解析： 得 n=5，x0 时，f(x)115x 5 ； 3.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： 时，f(x)=0，其中 kZ，则 f(x)，(A)不对； 设 f(x)= f(x)=0，(B)不对； 设 f(x)
8、=x，二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：13）解析：解析： 0 x sin(xt) 2 dt x 0 sinu 2 (du)= 0 x sinu 2 du，则 5.设函数 y=f( )满足 f(x)=arctan （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23）解析：解析：6.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x4）解析：解析： 曲线 y=7.设 f(sin 2 x)=xsinx，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arcsin 2 ）解析：解析：
9、8.设 a 2ln2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析： 9.设连续函数 f(x)，f(0)=0，F(t)= z 2 +f(x 2 +y 2 )dxdydz， t ：x 2 +y 2 t 2 ，0z1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：F(t)= z 2 +f(x 2 +y 2 )dxdydz= 0 1 dz 0 2 d 0 t z 2 +f(r 2 )rdr =2 0 1 dz 0 t z 2 +f(r 2 )rdr=2 0 t +rf(r 2 )dr 10.设 L 是从点(0，0)到点(2，0)的有向弧段
10、y=x(2x)，则 L (ye x e y +y)dx+(xe y +e x )dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23）解析：解析：P(x，y)=ye x e y +y，Q(x，y)=xe y +e x ， 令 L 0 ：y=0(起点 x=2，终点 x=0)，则 L (ye x e y +y)dx+(xe y +e x )dy=( )(ye x e y +y)dx+(xe y +e x )dy， 而 (ye x e y +y)dx+(xe y +e x )dy = dxdy= 0 2 dx 0 x(2x) dy= 0 2 x(2x)dx=43， (ye x e
11、y +y)dx+(xe y +e x )dy= 2 0 =dx=2， 于是 L (ye x e y +y)dx+(xe y +e x )dy= 11.微分方程 yy“2(y) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 或者1y=C 1 x+C 2）解析：解析：令 y=p，得 y“=pdpdy，代入原方程得 当 p=0 时，y=C； 三、解答题(总题数：19，分数：40.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与
12、 e f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 0，1，因为 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加， 所以当xx 0 时，有 故 f(x 0 )f(x) f(x 0 )， 令 xx 0 ，由夹逼定理得 f(x 0 0)=f(x 0 )； 当 xx 0 时，有 )解析：设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(12)=1，f(1)=0证明：（分数：4.00）(1).存在 (12，1)，使得 f()=；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)x，(x)在0，1上连
13、续，(12)=120，(1)=10，由零点定理，存在 (12，1)，使得 ()=0，即 f()=)解析：(2).对任意的 k(，+)，存在 (0，)，使得 f()kf()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=e kx (x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F()=0，整理得 f()kf()=1)解析：15.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 =(e a +e b )f()+f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x
14、)=e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 =e f()+f()， 再由 f(a)=f(b)=1，得 =e f()+f()， 从而 )解析：16.设 f(x)，g(3x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f + (n)f (b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 f()g()=f“()g“()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f + (a)0，f (b)0， 由 f + (a)0，存在 x 1 (a，b)，使得 f(x 1 )f(a)=0； 由 f (b)0，存在 x 2 (a，b)，
15、使得 f(x 2 )f(b)=0， 因为 f(x 1 )f(x 2 )0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0 令 h(x)=f(x)g(x)，显然 h(x)在a，b上连续，由 h(a)=h(c)=h(b)=0， 存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h( 1 )=h( 2 )=0， 令(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：17.设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数
16、互为倒数，所以 (y)=1f(x)，)解析：18.设 f(x)连续，且 f(x)=2 0 x f(xt)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(xt)dt )解析：19.设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(，+)有|f(x)+f(x)|1证明：|f(x)|1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，则 (x)=e x f(x)+f(x)， 由|f(x)+f(x)|1 得|(x)|e x ，又由 f(x)有界得 ()=0，则 (x)=(x)()= x (x)dx，两边取绝对值得 e x |f(x)| x |(
17、x)|dx x e x dx=e x ，所以|f(x)|1)解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (tt 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，令 f(x)=(xx 2 )sin 2n x=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)，当0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0(除 x=k(k=1，2，)外 f(x)0)，于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当 X0，1时，(xx 2 )sin
18、2n x(xx 2 )x 2n =x 2n+1 x 2n+2 ， 于是 f(x)f(1)= 0 1 (xx 2 )sin 2n xdx 0 1 (x 2n+1 x 2n+2 )dx )解析：设直线 L： （分数：4.00）(1).求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记直线 L 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面为，设 M(x，y，z)为曲面上的一点，过点 M 作与 z 轴垂直的平面，交直线 L 及 z 轴于点 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)及 T(0，0，z)， 由|M 0 T|=|MT|得x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 ， 注意到 M 0
19、 L，则 )解析：(2).求该旋转曲面界于 z=0 与 z=1 之间的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一对任意的 z0，1，截口面积为 A(z)=(x 2 +y 2 )=(5z 2 +8z+5)， 则 V= 0 1 A(z)dz= 0 1 (5z 2 +8z+5)dz=323 )解析：22.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：0|f(x，y)|xy|， 即 f(x，y)在(0，0)处连续 f x (0，0)=0，同理 f y (0，0)=0， 即 f(x，y)在(0，0)处可偏导 )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
20、解析：24.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设球面 S：x 2 +y 2 +(za) 2 =R 2 ， 得球面 S 在定球内的部分在 xOy 面上的投影区域为 D xy ：x 2 +y 2 R 2 4a 2 (4a 2 R 2 )， 球面 S 在定球内的方程为 S：z=a 令 S(R)=4R )解析：25.计算 I= L （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 L r ：x 2 +y 2 =r 2 ，其中 r0，L r 在 L 内方向取
21、逆时针，由格林公式得 其中 D 为 L 与 L r 所围成的平面区域，则 )解析：26.求函数 f(x)=ln(1x2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=ln(1x2x 2 )=ln(x+1)(12x)=ln(1+x)+ln(12x)， 因为 ln(1+x)= x n (1x1)， ln(12x)= x n (12x12)， )解析：27.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y 2 之积成反比，比例系数为 k= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 p(2)=0，所以 C 1 =0，故 y=p= 因为 y(0)=2，所以 C 2 =0，故曲线方程为 y= )解析：28.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻细菌总数为 S，则有 dSdt=kS，S(0)=100，S(24)=400， dSdt=kS S=Ce kt ，C=100，k= )解析：
