1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 8及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：28，分数：56.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线也有铅直渐近线3.设 f(x)= （分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小4.设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.一 1D.一 25.设在区间a，b上 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0
2、，令 S 1 = ，S 2 =f(b)(b一 a)，S 3 = （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3 B.S 2 S 1 S 3 C.S 3 S 1 S 2 D.S 2 S 3 S 1 6.若 f(一 x)=f(x)，(一x+)，在(一，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)07.设随机变量 X的密度函数是 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)是 X的分布函数，则对任意实数 a，有（分数：2.00）A.B.C.F(一 a)=F(a
3、)D.F(一 a)=2F(a)一 18.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则（分数：2.00）A.PX+Y0=B.PX+Y1=C.PXY0)=D.PXY1=9.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x在点 x 0 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则（分数：2.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D.dyy010.设函数 u(x，y)=(x+y)+(xy)+ ，其中 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（分数：2.00）A.B.C.D.11.设 f(x)
4、为连续函数，F(t)= （分数：2.00）A.2f(2)B.f(2)C.一 f(2)D.012.设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有f(x)x 2 ，则,x=0 必是f(x)（分数：2.00）A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0D.可导的点，且 f“(0)013.已知 f(x)在 x=0某邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“(x)0C.取得极大值D.取得极小值14.设 f(x)的导数在 x=a处连续，又 （分数：2.00）A.x=a是 f(x)的极小值点B.x=a是 f(x)的极大值点C.(a，f
5、(a)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=a不是 f(x)的极值点，(a，f(a)也不是曲线 y=f(x)的拐点15.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则（分数：2.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数16.设 f(x)处处可导，则 （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 f(x)有连续导数，f(0)=0，f“(0)0，F(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.3D.418.设 f(x)在 x=a处可导，
6、则 （分数：2.00）A.f“(a)B.2f“(a)C.0D.f“(2a)19.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2C.e x +ln2D.e 2x +ln220.设 f(x)和 (x)在(一，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则（分数：2.00）A.f(x)必有间断点B.(x) 2 必有间断点C.f(x)必有间断点D.必有间断点21.若 f(x)=一 f(一 x)，在(0，+)内，f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(一，0)内（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)
7、0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)022.设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列选项正确的是（分数：2.00）A.f“(x 0 )是 f“(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点23.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）A.xf(x 2 )B.一 xf(x 2 )C.2xf(x 2 )D.一 2xf(x 2 )24.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 （分数：2.00）A.0个B.1个C.2个D.无穷多
8、个25.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f“(0)存在，则函数 g(x)=（分数：2.00）A.在 x=0处，左极限不存在B.有跳跃间断点 x=0C.在 x=0处，右极限不存在D.有可去间断点 x=026.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则（分数：2.00）A.当 mn 时，必有行列式AB0B.当 mn 时，必有行列式AB=0C.当 nm 时，必有行列式AB0D.当 nm 时，必有行列式AB=027.设有向量组 1 =(1，一 1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，一2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)则该向量组的极大无关组是（
9、分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 B. 1 ， 2 ， 4 C. 1 ， 2 ， 5 D. 1 ， 2 ， 4 ， 5 28.设 n阶矩阵 A非奇异(n2)，A * 是矩阵 A的伴随矩阵，则(A * ) * 等于（分数：2.00）A.A n-1 AB.A n+1 AC.A n-2 AD.A n+2 A二、填空题(总题数：10，分数：20.00)29.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_30.若随机变量 X服从均值为 2，方差为 2 的正态分布，且 P2X4=03，则 PX0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_31.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_32.设 D=(x，y
10、)x 2 +y 2 x+y+1，则 （分数：2.00）填空项 1:_33.设 D是由直线 x=一 2，y=0，y=2 以及曲线 x= 所围成的平面域，则 （分数：2.00）填空项 1:_34.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_35.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_36.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_37.设区域 D为 x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_38.设 l为椭圆 ，其周长记为 a，则 （分数：2.00）填空项 1:_考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 8答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：28，
11、分数：56.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线也有铅直渐近线 解析：解析：因为 ，则原曲线有水平渐近线 y=1，又3.设 f(x)= （分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：4.设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.一 1D.一 2 解析：解析：5.设在区间a，b上 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 S 1 = ，S 2 =f
12、(b)(b一 a)，S 3 = （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3 B.S 2 S 1 S 3 C.S 3 S 1 S 2 D.S 2 S 3 S 1 解析：解析：由题设可知，在a，b上，f(x)0 单调减，曲线 y=f(x)上凹，如图 14S 1 表示 y=f(x)和x=a，x=b 及 x轴围成曲边梯形面积，S 2 表示矩形 abBC的面积，S 3 表示梯形 AabB的面积由图 14可知，S 2 S 1 S 3 故应选(B) 6.若 f(一 x)=f(x)，(一x+)，在(一，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B
13、.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：由 f(-x)=f(x)知，f(x)为偶函数，而由在(一，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0 知在(一，0)内，y=f(x)的图形下凹单调增，则如图 15 可知，f(x)在(0，+)内，f“(x)0，f“(x)0，则应选(C)7.设随机变量 X的密度函数是 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)是 X的分布函数，则对任意实数 a，有（分数：2.00）A.B. C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)一 1解析：解析：由 (一 x)=(x)知，(x)为偶函数其图形关于 y轴对
14、称，如图 16 由几何意义可知，F(一 a)=S 1 8.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则（分数：2.00）A.PX+Y0=B.PX+Y1= C.PXY0)=D.PXY1=解析：解析：由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态，则 由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，则其小于均值的概率为 ，则9.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x在点 x 0 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则（分数：2.00）A.0dyy B.0ydy
15、C.ydy0D.dyy0解析：解析：令 f(x)=x 2 ，在(0，+)上，f“(x)=2x0，f“(x)=20，以 x 0 =1，则 dy=2x， y=f(1+x)一 f(1)=(1+x) 2 一 1 2 =2x+(x) 2 由于x0，则 0dyy，从而(B)(C)(D)均不正确，故应选(A)10.设函数 u(x，y)=(x+y)+(xy)+ ，其中 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：令 (x)=x 2 ，(x)0 则 u(x，y)=(x+y) 2 +(xy) 2 =2x 2 +2y 2 那么， 11.设 f(x)为连续函数，F(t)= （分
16、数：2.00）A.2f(2)B.f(2) C.一 f(2)D.0解析：解析：令 f(x)1，则12.设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有f(x)x 2 ，则,x=0 必是f(x)（分数：2.00）A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0 D.可导的点，且 f“(0)0解析：解析：令 f(x)=x 3 ，显然 x(一 ，)时，f(x)=x 3 x 3 且 f“(x)=3x 2 ，f“(0)=0，则(A)(B)(D) 均不正确，故应选(C)13.已知 f(x)在 x=0某邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f
17、“(x)0C.取得极大值D.取得极小值 解析：解析：由于当 x0 时，1 一 cosx 14.设 f(x)的导数在 x=a处连续，又 （分数：2.00）A.x=a是 f(x)的极小值点B.x=a是 f(x)的极大值点 C.(a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=a不是 f(x)的极值点，(a，f(a)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：若取 f“(x)=一(x 一 a)，即令 f(x)= ，则显然 f(x)符合原题条件，f(x)=一 (x一 a) 2 在 x=0取极大值，且(a，f(a)也不是 y=一 15.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则（分数：2.00
18、）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数解析：解析：令 f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x+1 显然 f(x)是偶函数，周期函数，但 F(x)不是奇函数，也不是周期函数，则(B)(C)均不正确 若令 f(x)=x，F(x)=16.设 f(x)处处可导，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：令 f(x)=x，则 f“(x)1 则(B)和(D)均不正确 若令 f(x)=x 2 ，则 f“(x)=2x 17.设 f(
19、x)有连续导数，f(0)=0，f“(0)0，F(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：由 f(0)=0，f“(0)0取 f(x)=x 则 18.设 f(x)在 x=a处可导，则 （分数：2.00）A.f“(a)B.2f“(a) C.0D.f“(2a)解析：解析：令 f(x)=x，则19.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2 C.e x +ln2D.e 2x +ln2解析：解析：由 f(x)=20.设 f(x)和 (x)在(一，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则（分数：2.00）A.f
20、(x)必有间断点B.(x) 2 必有间断点C.f(x)必有间断点D.必有间断点 解析：解析：令 21.若 f(x)=一 f(一 x)，在(0，+)内，f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(一，0)内（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：由原题设可令 f(x)=x 3 ，显然 f(x)符合原题条件，而在(一，0)内，f“(x)=3x 2 0，f“(x)=6x0则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)22.设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列选
21、项正确的是（分数：2.00）A.f“(x 0 )是 f“(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点 解析：解析：由题设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0 可令 f(x)=(xx 0 ) 3 显然此 f(x)符合原题条件，而 f“(x)=3(xx 0 ) 2 显然 f“(x 0 )是 f“(x)极小值而不是极大值，则(A)不正确，又 f(x 0 )=0，而在 x 0 任何邻域内 f(x)可正也可负，从而 f(x 0 )不是 f(x)的极值点，因此(B)和(C)也不正确
22、，故应选(D)23.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）A.xf(x 2 ) B.一 xf(x 2 )C.2xf(x 2 )D.一 2xf(x 2 )解析：解析：令 f(x)1，则24.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 （分数：2.00）A.0个B.1个 C.2个D.无穷多个解析：解析：由题设条件，可令 f(x)1，此时方程 =0变为(xa)+(x 一 b)=0，即 2x一(a+b)=0该方程在(a，b)内有且仅有一个实根 x=25.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f“(0)存在，则函数 g(x)=（分数：2.00）A.在 x=0处，左极限不存在B.有跳跃
23、间断点 x=0C.在 x=0处，右极限不存在D.有可去间断点 x=0 解析：解析：令 f(x)=x，显然 f(x)满足原题条件，而 g(x)=26.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则（分数：2.00）A.当 mn 时，必有行列式AB0B.当 mn 时，必有行列式AB=0 C.当 nm 时，必有行列式AB0D.当 nm 时，必有行列式AB=0解析：解析：用排除法： 当 mn 时，若 A= ，B=3，4，则有AB= =0，故(A)不对； 当nm 时，若 A=1 2，B= ，则有AB=0，故(C)不对； 当 nm 时，若 A=1 2，B=27.设有向量组 1 =(1，一 1，2，4)， 2 =
24、(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，一2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)则该向量组的极大无关组是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 B. 1 ， 2 ， 4 C. 1 ， 2 ， 5 D. 1 ， 2 ， 4 ， 5 解析：解析：观察易知 3 =3 1 + 2 ， 5 =2 1 + 2 故(A)(C)都是线性相关组，(A)(C)都不对当(C)组线性相关时，(D)组也线性相关，故(D)也不对，于是只有(B)正确28.设 n阶矩阵 A非奇异(n2)，A * 是矩阵 A的伴随矩阵，则(A * ) * 等于（分数：2.00）A.A n-1 AB.A n+1
25、AC.A n-2 A D.A n+2 A解析：解析：令 A= ，显然 A符合原题条件，由伴随矩阵定义易知 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)29.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题常规的求解方法是先把 根号里面配方，再用三角代换，但计算量较大，实际上，本题根据定积分几何意义立刻知道应填 事实上，该积分在几何上表示单位圆(x 一 1) 2 +y 2 1面积的 ，如图 11 30.若随机变量 X服从均值为 2，方差为 2 的正态分布，且 P2X4=03，则 PX0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析
26、：解析：由于正态分布的密度函数是关于均值 x=2对称由图 12 易知 PX0=S 2 =05 一 S 1 =0503=02 31.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：事实上，在几何上原题中积分应等于球体 x 2 +y 2 +z 2 a 2 的体积的一半，因此应为*32.设 D=(x，y)x 2 +y 2 x+y+1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：33.设 D是由直线 x=一 2，y=0，y=2 以及曲线 x= 所围成的平面域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：积分
27、域 D如图 13 所示，由图 13 不难看出 ，积分域 D的面积 S D 应为正方形面积减去半圆面积，即 因此， 34.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于 x 4 sinx为奇函数，且积分区间一 ，关于原点对称35.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：原式=36.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：37.设区域 D为 x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于本题积分域为 x 2 +y 2 R 2 ，由 x和 y的对称性知 38.设 l为椭圆 ，其周长记为 a，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12a）解析：解析：由于 l关于 y轴对称，且 2xy是 x的奇函数，则 ，又因为 l的方程可改写为 3x 2 +4y 2 =12 则 原式=
