1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 7及答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设有直线 则 L 1 与 L 2 的夹角为 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设有直线 L： （分数：2.00）A.平行于 B.在 上C.垂直于 D.与 斜交4.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4平行的切线（分数：2.00）A.只有 1条B.只有 2条C.至少有 3条D.不存在5.二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y
2、 0 )处两个偏导数 f x “(x 0 ，y 0 )，f y “(x 0 ，y 0 )存在是 f(x，y)在该点连续的（分数：2.00）A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件6.已知 （分数：2.00）A.一 1B.0C.1D.27.二元函数 （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在8.设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 f x “(0，0)=3，f y “(0，0)=1，则（分数：2.00）A.B.曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0)的法向量为3
3、，1，1C.曲线D.曲线9.考虑二元函数的下面 4条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“PQ”表示可由性质 P推出性质 Q，则有（分数：2.00）A.B.C.D.10.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：2.00）A.点(0，0)不是 f(x，y)的极值点B.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点C.点(0，0)是 f(x，y)的极小值点D.根据所给条件无法判断点(0，0)是
4、否为 f(x，y)的极值点二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.与两直线 及 （分数：2.00）填空项 1:_12.过点 M(1，2，一 1)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知两条直线的方程是 （分数：2.00）填空项 1:_14.设(ab)c=2，则(a+b)(b+c)(c+a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设一平面经过原点及(6，一 3，2)，且与平面 4xy+2z=8垂直，则此平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.点(2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0的距离 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.已知曲面 z=4一
5、x 2 一 y 2 上点 P处的切平面平行于平面 2x+2y+z一 1=0，则点 P的坐标是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.由方程 （分数：2.00）填空项 1:_19.由曲线 绕 y轴旋转一周得到的旋转面在点 （分数：2.00）填空项 1:_20.曲面 ze x +2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 ，则 在点 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：46.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.已知 A点和 B点的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)线段 AB绕 Z轴旋
6、转一周所成的旋转曲面为S，求由 S及两平面 z=0，z=1 所围成立体的体积（分数：2.00）_24.求直线 L： （分数：2.00）_椭球面 S 1 是椭圆 绕 x轴旋转而成，圆锥面 S 2 是由过点(4，0)且与椭圆 （分数：4.00）(1).求 S 1 及 S 2 的方程；（分数：2.00）_(2).求 S 1 与 S 2 之间的立体体积（分数：2.00）_25.设 f和 g为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，求 （分数：2.00）_26.设 ，其中 f和 g具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_27.设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可
7、导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_28.设 z=f(2xy，ysinx)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_29.设 n是曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u= （分数：2.00）_30.函数 u=ln(x 2 +y 2 +z 2 )在点 M(1，2，一 2)处的梯度 （分数：2.00）_31.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_32.设 u=f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx，其中 f
8、， 都具有一阶连续偏导数，且 0，求 （分数：2.00）_33.函数 （分数：2.00）_34.设变换 可把方程 简化为 （分数：2.00）_35.设直线 l： （分数：2.00）_36.设 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）_37.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_38.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21在点(1，一 2，2)处的法线方程为_（分数：2.00）_39.设 ，其中 f具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.
9、00）_40.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1， ，(x)=f(x，f(x，x)求 （分数：2.00）_设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)x 2 +y 2 一xy75)，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x 2 一 y 2 +xy（分数：4.00）(1).设 M(x 0 ，y 0 )为区域 D上的一个点，问 h(x，y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为 g(x 0 ，y 0 )，试写出 g(x 0 ，y 0 )的表达式（分数：2.00）_(2).现欲利用此小山开展攀岩活动
10、，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在 D的边界曲线 x 2 +y 2 一 xy=75上找出使(1)中的 g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置（分数：2.00）_41.曲面 z=x 2 +y 2 与平面 2x+4yz=0平行的切平面方程是_（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 7答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设有直线 则 L 1 与 L 2 的夹角为 （分数：2.00）A.B.C.
11、 D.解析：解析：直线 L 1 的方向向量 S 1 =1，一 2，1)，直线 L 2 的方向向量 从而直线 L 1 和 L 2 的夹角 的余弦为 因此 3.设有直线 L： （分数：2.00）A.平行于 B.在 上C.垂直于 D.与 斜交解析：解析：由于交成直线 L的两平面的法向量与 的法向量均垂直，即 1，3，24，一 2，1 2，一 1，一 104，一 2，1 故 的法向量与 L的方向向量平行，因此直线 L垂直于 4.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4平行的切线（分数：2.00）A.只有 1条B.只有 2条 C.至少有 3条D.不存在解析：解
12、析：曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的切线向量为 =1，一 2t，3t 2 ) 而平面 x+2y+z=4的法线向量为 n=1，2，1 由题设知 n，则 n=1-4t+3t 2 =0 此方程只有两个实根，所以所求切线只有两条5.二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处两个偏导数 f x “(x 0 ，y 0 )，f y “(x 0 ，y 0 )存在是 f(x，y)在该点连续的（分数：2.00）A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件 解析：解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在
13、”；“偏导数存在”亦未必“连续”，所以应选(D)6.已知 （分数：2.00）A.一 1B.0C.1D.2 解析：解析：令 由于 Pdx+Qdy为某个函数的全微分，则7.二元函数 （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在解析：解析：令 y=kx，则 当 k不同时， 便不同，故极限 不存在，因而 f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知 8.设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 f x “(0，0)=3，f y “(0，0)=1，则（分数：2.00）A.B.曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0
14、)的法向量为3，1，1C.曲线 D.曲线解析：解析：曲线 的参数方程为 9.考虑二元函数的下面 4条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“PQ”表示可由性质 P推出性质 Q，则有（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续是 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微的充分条件，而 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )可微是 f(x，y)
15、在点(x 0 ，y 0 )处连续的充分条件，故应选(A)10.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：2.00）A.点(0，0)不是 f(x，y)的极值点 B.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点C.点(0，0)是 f(x，y)的极小值点D.根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点解析：解析：由 f(x，y)在点(0，0)的连续性及 知 f(0，0)=0 且 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.与两直线 及 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x-y+z=0）解析：解析：所求平面法向量可取为12.过点 M(1，2
16、，一 1)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 3y一 z+4=0）解析：解析：直线13.已知两条直线的方程是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 3y+z+2=0）解析：解析：平面过直线 L 1 ，则过 L 1 上的点(1，2，3)；平面的法向量 n既垂直于 L 1 ，又垂直于 L 2 ，则可取 14.设(ab)c=2，则(a+b)(b+c)(c+a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：(a+b)(b+c)*(c+a)=(a+b)b*(c+a)+(a+b)c*a=(ab)*c+(bc)*
17、a=(ab)*c+(ab)*c=415.设一平面经过原点及(6，一 3，2)，且与平面 4xy+2z=8垂直，则此平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+2y 一 3z=0）解析：解析：设 M(x，y，z)是所求平面上任一点，则向量x，y，z，6，一 3，2)以及向量4，一 1，2)共面，故16.点(2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0的距离 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由点到平面距离公式知17.已知曲面 z=4一 x 2 一 y 2 上点 P处的切平面平行于平面 2x+2y+z一 1=0，则点 P的坐
18、标是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，2)）解析：解析：设 P点的坐标为(x 0 ，y 0 ，z 0 )，则曲面在 P点的法向量为 n=一 2x 0 ，一 2y 0 ，一1 又因为切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，则 18.由方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 由隐函数求导法求出19.由曲线 绕 y轴旋转一周得到的旋转面在点 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：旋转面方程为 3(x 2 +z 2 )+2y 2 =12 令 F(x，y，z)=3(x 2 +z 2 )+2y
19、2 一 12=0 则 F x “=6x，F y “=4y，F z “=6z 从而所得旋转面在点 处向外侧的法向量为 20.曲面 ze x +2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+y 一 4=0）解析：解析：令 F(x，y，z)=ze z +2xy一 3 则 F x “=2y，F z “=1一 e z ，F y “=2x 曲面 ze z +2xy=3在点(1，2，0)处的法向量为 n=4，2，0 故所求切平面方程为 4(x一 1)+2(y一 2)=0 即 2x+y一 4=021.设 ，则 在点 （分数：2.00）填空项 1:
20、_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：22，分数：46.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.已知 A点和 B点的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)线段 AB绕 Z轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由 S及两平面 z=0，z=1 所围成立体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过 A(1，0，0)和 B(0，1，1)的直线方程为 在 z轴上截距为 z的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 z轴交于点 Q(0，0，z)，与 AB交于点 M(1一 z，z，z)，故截面圆半径 从而截面面积 S(z)=(12z+2z 2
21、 ) 旋转体的体积 )解析：24.求直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：点(1，0，1)在 l上，所以该点也在平面 1 上，于是 1 的方程可设为 1 ：A(x-1)+B(y-0)+C(z 一 1)=0 1 的法向量应与 l的方向向量垂直又应与平面 的法向量垂直，故有 A+B-C=0；A-B+2C=0 由此解得 A：B：C=一 1：3：2，于是 1 的方程为 x-3y-2z+1=0 (*) 从而 l 0 的方程为 设 l 0 绕 y轴旋转一周所成的曲面为 S，点 P(x p ，y p ，z p )S，对于固定的 y p =y )解析：椭球面 S 1 是椭圆 绕 x轴旋转而成，
22、圆锥面 S 2 是由过点(4，0)且与椭圆 （分数：4.00）(1).求 S 1 及 S 2 的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：椭球面 S 1 的方程为 设切点为(x 0 ，y 0 )，则 在(x 0 ，y 0 )处的切线方程为 将 x=4，y=0 代入切线方程得 x 0 =1，从而 所以切线方程为 ，从而圆锥面 S 2 的方程为 )解析：(2).求 S 1 与 S 2 之间的立体体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 1 与 S 2 之间的体积等于一个底面半径为 、高为 3的锥体体积 与部分椭球体体积 V之差，其中 故所求体积为 )解析：25.设 f和 g为连续可微
23、函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据复合函数求导公式有 )解析：26.设 ，其中 f和 g具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数求导公式得 )解析：27.设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 z=f(2xy，ysinx)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数求导法则得 )解析：29.设 n是曲面 2x 2 +3y 2
24、+z 2 =6在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6在点 P(1，1，1)处指向外侧的法向量为 n=4i+6j+2k 单位化后得 )解析：30.函数 u=ln(x 2 +y 2 +z 2 )在点 M(1，2，一 2)处的梯度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：31.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 e x siny=u，x 2 +y 2 =v，则 )解析：32.设 u=f(
25、x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：34.设变换 可把方程 简化为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 将上述结果代入原方程并整理得 )解析：35.设直线 l： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面 z=x 2 +y 2 在点(1，一 2，5)处的法向量为 n=2，一 4，一 1 于是切平面方程为 2(x 一 1)一 4(y+2)一(z 一 5)=0 2x-4yz一 5=0 由 )解析：
26、36.设 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：yf“(xy)+“(x+y)+y“(x+y)解析：解析：由复合函数求导法知37.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 两端对 x求导得 )解析：38.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21在点(1，一 2，2)处的法线方程为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：令 F(x，y，z)=x 2
27、 +2y 2 +3z 2 一 21 则 F x “(1，一 2，2)=1，F y “(1，一 2，2)=一4，F z “(1，一 2，2)=6 故所求法线方程为 39.设 ，其中 f具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：40.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1， ，(x)=f(x，f(x，x)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)=f(1，f(1，1)=f(1，1)=1 )解析：设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)x 2 +y 2 一xy75
28、)，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x 2 一 y 2 +xy（分数：4.00）(1).设 M(x 0 ，y 0 )为区域 D上的一个点，问 h(x，y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为 g(x 0 ，y 0 )，试写出 g(x 0 ，y 0 )的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由梯度的几何意义知，h(x，y)在点 M(x 0 ，y 0 )处沿梯度 方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以 )解析：(2).现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在 D的边界曲线 x 2 +
29、y 2 一 xy=75上找出使(1)中的 g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x，y)=g 2 (x，y)=5x 2 +5y 2 一 8xy 由题意，只需求 f(x，y)在约束条件75一 x 2 -y 2 +xy=0下的最大值点令 L(x，y，)=5x 2 +5y 2 一 8xy+(75 一 x 2 一 y 2 +xy)则 式与式相加可得 (x+y)(2 一 )=0 从而得 y=一 x或 =2 若 =2，则由式得 y=x，再由式得 若 y=一 x，则由式得 x=5，y=5 于是得到四个可能的极值点 )解析：41.曲面 z=x 2 +y 2 与平面 2x+4yz=0平行的切平面方程是_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：2x+4yz=5)解析：解析：曲面 z=x 2 +y 2 在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处切平面的法向量为 n 1 =2x 0 ，2y 0 ，一 1 而平面 2x+4y一 z=0的法向量为 n 2 =2，4，一 1由题设知 n 1 n 2 ，则
