1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 6及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)为连续函数，则 等于 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设曲线 L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第象限内的点 M和第象限内的点 N，为 L上从点 M到点 N的一段弧，则下列积分小于零的是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.如图，正方形(x，y)x1，y1被其对角线划分为四个区域 D k (k=1，2，3，4)， ，则 = （分
2、数：2.00）A.I 1 B.I 2 C.I 3D.I 4 5.设 L 1 ：x 2 +y 2 =1，L 2 ：x 2 +y 2 =2，L 3 ：x 2 +2y 2 =2，L 4 ：2x 2 +y 2 =2为四条逆时针方向的平面曲线记 （分数：2.00）A.I 1 B.I 2 C.I 3 D.I 4 6.设 f(x，y)是连续函数，则 = （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 D是第一象限中由曲线 2xy=1，4xy=1 与直线 y=x， 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D上连续，则 = （分数：2.00）A.B.C.D.8.设常数 k0，则级数 （分数：2.00）A.发散B.绝对收
3、敛C.条件收敛D.收敛或者发散与 k的取值有关9.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不能确定10.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 为常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与口取值有关12.已知级数 ，则级数 （分数：2.00）A.3B.7C.8D.9二、填空题(总题数：7，分数：14.00)13.设是锥面 的下侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设曲面：x+y+z=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设曲面是 的上侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_16
4、.已知曲线 L的方程为 y=1一x(x一 1，1)，起点是(一 1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分 L xydx+x 2 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 L是柱面 x 2 +y 2 =1与平面 z=x+y的交线，从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 L是柱面 x 2 +y 2 =1与平面 y+z=0的交线，从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 是由平面 x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：2
5、1，分数：42.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_21.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_22.设在上半平面 D=(x，y)y0)内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t -2 f(x，y)证明：对 D内的任意分段光滑的有向简单闭线 L，都有 （分数：2.00）_23.计算曲面积分 其中为曲面 （分数：2.00）_24.计算曲线积分 L sin2xdx+2(x 2 -1)ydy，其中 L是曲线 y=sinx上从点(0，0)到点(，0)的一段（分数：2.00）_25.设 =(x，
6、y，z)x 2 +y 2 +z 2 1)，则 （分数：2.00）_26.已知曲线 L： （分数：2.00）_27.计算曲面积分 （分数：2.00）_28.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 x1)，则 的形心的竖坐标 （分数：2.00）_29.设 P为椭球面 S：x 2 +y 2 +z 2 一 yz=1上的动点，若 S在点 P处的切平面与 xOy面垂直，求点 P的轨迹 C，并计算曲面积分 （分数：2.00）_30.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中 D=(x，y) 0x1，0y1)，计算二重积分 （分数：2.00）_31.设=(x，y，z
7、)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 （分数：2.00）_32.已知 L是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x到点(2，0)，再沿圆周 x 2 +y 2 =4到点(0，2)的曲线段计算曲线积分 I= L 3x 2 ydx+(x 3 +x一 2y)dy（分数：2.00）_设直线 L过 A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将 L绕 z轴旋转一周得到曲面与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 （分数：4.00）(1).求曲面的方程；（分数：2.00）_(2).求 的形心坐标（分数：2.00）_33.设为曲面 z=x 2 +y 2 (z1)的上侧，计算曲面积分 （分数：2.0
8、0）_34.已知曲线 L的方程为 ，起点为 ，终点为 （分数：2.00）_35.求幂级数 （分数：2.00）_36.求幂级数 （分数：2.00）_37.设 f(x)是周期为 2的周期函数，它在区间(一 1，1上的定义为 （分数：2.00）_38.将函数 （分数：2.00）_39.求幂级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 6答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)为连续函数，则 等于 （分数：2.00）A.B
9、.C. D.解析：解析：3.设曲线 L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第象限内的点 M和第象限内的点 N，为 L上从点 M到点 N的一段弧，则下列积分小于零的是 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：如右图，设 M(x 1 ，y 1 )，N(x 2 ，y 2 )， 4.如图，正方形(x，y)x1，y1被其对角线划分为四个区域 D k (k=1，2，3，4)， ，则 = （分数：2.00）A.I 1 B.I 2 C.I 3D.I 4 解析：解析：由于 D 2 ，D 4 关于 x轴对称，而被积函数 ycosx是关于 y的奇函数，所以，I 2 =I 4 =0在 D 1
10、 内 ycosx0，而在 D 3 内 ycosx0，则 I 1 0，I 3 0，故应选(A)5.设 L 1 ：x 2 +y 2 =1，L 2 ：x 2 +y 2 =2，L 3 ：x 2 +2y 2 =2，L 4 ：2x 2 +y 2 =2为四条逆时针方向的平面曲线记 （分数：2.00）A.I 1 B.I 2 C.I 3 D.I 4 解析：解析：由格林公式得 其中 D i 为 L i 围成的平面域(i=1，2，3，4) 6.设 f(x，y)是连续函数，则 = （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：累次积分 所对应的二重积分的积分域如图，7.设 D是第一象限中由曲线 2xy=1，4xy=
11、1 与直线 y=x， 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D上连续，则 = （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题设知积分域 D如下图所示，曲线 2xy=1，4xy=1 在极坐标下方程分别为 2r 2 cossin=1，4r 2 cossin=1 故应选(B) 8.设常数 k0，则级数 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛 D.收敛或者发散与 k的取值有关解析：解析：9.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.收敛性不能确定解析：解析：由于10.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：11.设 为
12、常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.收敛性与口取值有关解析：解析：12.已知级数 ，则级数 （分数：2.00）A.3B.7C.8 D.9解析：解析：二、填空题(总题数：7，分数：14.00)13.设是锥面 的下侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：14.设曲面：x+y+z=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 x关于变量 x是奇函数，而积分曲面：x+y+z=1 关于 yOz面对称，则 由于y关于变量 x，y，z 都是偶函数，而曲面：x+y+z=1 关于三个坐标面 xOy面
13、，yOz面，zOx 面都对称，则 其中 1 为在第一卦限内的部分，即：x+y+z=1，(x0，y0，z0) 计算 有以下三种方法： 15.设曲面是 的上侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：令 S“为 xOy面上圆 x 2 +y 2 4 的下侧，则 16.已知曲线 L的方程为 y=1一x(x一 1，1)，起点是(一 1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分 L xydx+x 2 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：17.设 L是柱面 x 2 +y 2 =1与平面 z=x+y的交线，从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时
14、针方向，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：记平面 z=x+y包含在柱面 x 2 +y 2 =1内的部分上侧为 S，其法线向量为 n=一 1，一 1，1 18.设 L是柱面 x 2 +y 2 =1与平面 y+z=0的交线，从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：柱面 x 2 +y 2 =1与平面 y+z=0的交线的参数方程为 19.设 是由平面 x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：
15、由变量的对称性知三、解答题(总题数：21，分数：42.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：21.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设在上半平面 D=(x，y)y0)内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t -2 f(x，y)证明：对 D内的任意分段光滑的有向简单闭线 L，都有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由格林公式知，对 D内的任意有向简单闭曲线 L， 的充分必要条件是：对任意(x，y)D，有 由于对任意的(x，y)D 及
16、 t0 都有 f(tx，ty)=t -2 f(x，y) 两边对 t求导，得 xf 1 “(tx，ty)+yf 2 “(tx，ty)=一 2t -3 f(x，y) 令 t=1，得 2f(x，y)+xf 1 “(x，y)+yf 2 “(x，y)=0 即 所以 )解析：23.计算曲面积分 其中为曲面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算曲线积分 L sin2xdx+2(x 2 -1)ydy，其中 L是曲线 y=sinx上从点(0，0)到点(，0)的一段（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1)，则 （分数：
17、2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：利用直角坐标系下的“先二后一”26.已知曲线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：27.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 为单位球面 x 2 +y 2 +z 2 =1的外侧，则 )解析：28.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 x1)，则 的形心的竖坐标 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：29.设 P为椭球面 S：x 2 +y 2 +z 2 一 yz=1上的动点，若 S在点 P处的切平面与 xOy面垂直，求点 P的轨迹 C，并计算曲面积分 （分数：2.00）_正
18、确答案：(正确答案：椭球面 S上点 P(x，y，z)处的法向量是 n=2x，2yz，2zy 点 P处的切平面与 xOy面垂直的充要条件是 n.k=0(k=0，0，1) )解析：30.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中 D=(x，y) 0x1，0y1)，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(1，y)=0，f(x，1)=0，所以 f y “(1，y)=0，f x “(x，1)=0 从而 )解析：31.设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：32
19、.已知 L是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x到点(2，0)，再沿圆周 x 2 +y 2 =4到点(0，2)的曲线段计算曲线积分 I= L 3x 2 ydx+(x 3 +x一 2y)dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 L 1 为有向线段 x=0，y 从 2到 0；由 L与 L 1 围成的平面区域记为 D根据格林公式，得 )解析：设直线 L过 A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将 L绕 z轴旋转一周得到曲面与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 （分数：4.00）(1).求曲面的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 的形心
20、坐标（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设为曲面 z=x 2 +y 2 (z1)的上侧，计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 S为平面 z=1包含在曲面 z=x 2 +y 2 之内部分的下侧，则 )解析：34.已知曲线 L的方程为 ，起点为 ，终点为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 L： 的参数方程为 )解析：35.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.设 f(x)是周期为 2的周期函数，它在区间(一 1，1上的定义为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：由傅里叶级数的收敛定理知，在 x=1处收敛于38.将函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
