1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 5及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2B.等于 0C.为D.不存在但不为3.设 （分数：2.00）A.b=4dB.b=一 4dC.a=4cD.a=一 4c4.设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n成立B.b n c n 对任意 n成立C.D.5.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是 （分数：2.00）A.
2、B.C.D.6.设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n )单调，则f(x n )收敛C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛7.当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x 2 ln(1一 bx)是等价无穷小，则（分数：2.00）A.a=1，b=B.a=1，b=C.a=一 1，b=D.a=一 1，b=8.极限 （分数：2.00）A.1B.eC.e a-b D.e b-a 9.已知极限 （分数：2.00）A.k=2，c=B.k=2，c=C.k=
3、3，c=D.k=3，c=二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 a是非零常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_16.求 （分数：2.00）填空项 1:_17.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_18.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_19.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.
4、00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_21.设 f(x)= （分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.设 x 1 =10， （分数：2.00）_设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n (n=1，2，)（分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_(2).计算 （分数：2.00）_25.求极限 （分数：2.00）_26.证明：对任意的正整数 n，都有 （分数：2.00）_27.设 a n = （分数：2.00）_28.求极限 （分数：2.00）_29.求极限 （分数：2.00）_30.设函数 f(x)
5、=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k的值（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 5答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2B.等于 0C.为D.不存在但不为 解析：解析：3.设 （分数：2.00）A.b=4dB.b=一 4dC.a=4cD.a=一 4c 解析：解析：4.设a n ，b n ，c n
6、均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n成立B.b n c n 对任意 n成立C.D. 解析：解析：由于 即极限5.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：直接法 由于6.设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n )单调，则f(x n )收敛 C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛解析：解析：由于 f(x)在(一，+)上单调有界，若x n 单调，则f(x n )是单调有界数列，故
7、f(x n )收敛， 事实上(A)(C)(D)都是错误的，若令 ，显然 ，即x n 收敛，令 ，显然f(x)在(一，+)上单调有界，但f(x n )不收敛 由于 f(x n )= ，所以 7.当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x 2 ln(1一 bx)是等价无穷小，则（分数：2.00）A.a=1，b= B.a=1，b=C.a=一 1，b=D.a=一 1，b=解析：解析：由于当 x0 时，f(x)=xsinax 与 y(x)=x 2 ln(1一 bx)是等价无穷小，则 8.极限 （分数：2.00）A.1B.eC.e a-b D.e b-a 解析：解析：由于 9.已知极限 （分数
8、：2.00）A.k=2，c=B.k=2，c=C.k=3，c=D.k=3，c= 解析：解析：二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 f(x)=11.设 a是非零常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2a ）解析：解析：12.已知当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 x0 时 则13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 6 ）解析：解析：由于 =6，则 14.设 （分数：2.
9、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：由于 又 15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：32）解析：解析：16.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：17.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 x0 时，In(1+x)x，1 一 cos 则19.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：12，分数：24.00)20.
10、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：21.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)= 知，f(x)= =1一 x，又 (x)0，则 (x)= )解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 x 1 =10， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用数学归纳法证明数列x n 单调减 由 x 1 =10， ，知 x 1 x 2 即 n=1时，有 x n x n+1 设 n=k时，不等式 x n x n+1 成立由 x k+1 = 可知，n=k+l
11、时 x n x n+1 也成立，因而对一切的自然数 x n x n+1 总成立 又 x n 0 (n=1，2，)即x n 下有界，由单调有界准则可知原数列有极限，设 ，等式 x n+1 = 两边取极限得 a= ，即 a=3，一2(与题设不符，舍去) 故 )解析：设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n (n=1，2，)（分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用归纳法证明x n 单调下降且有下界 由 0x 1 ，得 0x 2 =sinx 1 x 1 ； 设 0x n ，则 0x n+1 =sinx n x n ； 所以x n 单调下降且有下界，
12、故 存在 记 得 a=sina， 所以 a=0，即 )解析：(2).计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 又由(I) ，所以 )解析：25.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.证明：对任意的正整数 n，都有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据拉格朗日中值定理，存在 (n，n+1)，使得 所以 )解析：27.设 a n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 n1 时，由(I)知 )解析：28.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
