1、考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编 4及答案解析(总分:74.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:16,分数:32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 (分数:2.00)A.f(x)的导数存在,且 f“(a)0B.f(x)取得极大值C.f(x)取得极小值D.f(x)的导数不存在3.设 f(x)可导且 f“(x 0 )= (分数:2.00)A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小C.比x 低价的无穷小D.比x 高阶的无穷小4.设 y=f(x)是方程 f“一 2y“+4y=0的一个解,且 f(x 0 )0,f“(x 0
2、 )=0,则函数 f(x)在点 x 0 处(分数:2.00)A.取得极大值B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少5.当 x0 时,曲线 y= (分数:2.00)A.有且仅有水平渐近线B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线,也有铅直渐近线D.既无水平渐近线,也无铅直渐近线6.已知函数 f(x)具有任意阶导数,且 f“(x)=f(x) 2 ,则当 n为大于 2的正整数时,f(x)的 n阶导数 f (n) (x)为(分数:2.00)A.n!f(x) n+1 B.nf(x) n+1 C.f(x) 2n D.n!f(x) 2n 7.已知 f(x)在 x=0的某个邻域内连续,且 f(0)
3、=0 (分数:2.00)A.不可导B.可导且 f“(0)0C.取得极大值D.取得极小值8.曲线 (分数:2.00)A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线9.设 f(x)=3x 3 +x 2 x,则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n为(分数:2.00)A.0B.1C.2D.310.设在0,1上 f“(x)0,则 f“(0),f(1),f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是(分数:2.00)A.f“(1)f“(0)f(1)一 f(0)B.f“(1)f(1)一 f(0)f“(0)C.f(1)一 f(0)f“(1)f“(0)D.f“(
4、1)f(0)一 f(1)f“(0)11.设 f(x)可导,F(x)=f(x)(1+sinx),则 f(0)=0是 F(x)在 x=0处可导的(分数:2.00)A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件又非必要条件12.设 f(x)有二阶连续导数,且 f“(0)=0, (分数:2.00)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点13.函数 f(x)=(x 2 一 x一 2)x 3 一 x不可导点的个数是(分数:2.0
5、0)A.3B.2C.1D.014.设 f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0,则当 axb 时,有(分数:2.00)A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)g(b)f(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)15.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图形如图 21 所示,则导函数 y=f“(x)的图形为(见图22) (分数:2.00)A.B.C.D.16.设 f(0)=0,则 f(x)在点 x=0可导的充要条件为 (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:9,分数:18.0
6、0)17.当 x= 1时,函数 y=x2 x 取得极小值(分数:2.00)填空项 1:_18.若 f(t)= (分数:2.00)填空项 1:_19.已知 f“(3)=2,则 (分数:2.00)填空项 1:_20.设 ,则 (分数:2.00)填空项 1:_21.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cos(xy)=0确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_22.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_23.对数螺线 P=e 在点(,)= (分数:2.00)填空项 1:_24.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_25.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分
7、数:24.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_27.设函数 f(x)在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个 x,函数 f(x)的值都在开区间(0,1)内,且 f“(x)1,证明:在(0,1)区间内有且仅有一个 x,使得 f(x)=x(分数:2.00)_28.设不恒为常数的函数 f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且 f(a)=f(b)证明在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f“()0(分数:2.00)_29.求 (分数:2.00)_30.设 f“(x)0,f(0)=0,证明对任何 x 1 0,x 2 0,有 f(x 1 +x 2 )f(x 1 )
8、+f(x 2 )(分数:2.00)_31.设在0,+)上函数 f(x)有连续导数,且 f“(x)k0,f(0)0,证明 f(x)在(0,+)内有且仅有一个零点(分数:2.00)_32.设 bae,证明 a b b a (分数:2.00)_假设函数 f(x)和 g(x)在a,b上存在二阶导数,并且 g“(x)0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:(分数:4.00)(1).在开区间(a,b)内 g(x)0;(分数:2.00)_(2).在开区间(a,b)内至少存在一点 ,使 (分数:2.00)_33.设 f(x)在0,1上具有二阶导数,且满足条件f(x)a,f“(z)b,其中 a,b
9、 都是非负常数,c是(0,1)内任一点,证明f“(c)2a+ (分数:2.00)_34.试证:当 x0 时,(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 (分数:2.00)_设 y=f(x)在(一 1,1)内具有二阶连续导数且 f“(x)0,试证:(分数:4.00)(1).对于(一 1,1)内的任一 x0,存在唯一的 (x)(0,1),使 f(x)=f(0)+xf“(x)x)成立;(分数:2.00)_(2). (分数:2.00)_考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编 4答案解析(总分:74.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:16,分数:32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项
10、中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 (分数:2.00)A.f(x)的导数存在,且 f“(a)0B.f(x)取得极大值 C.f(x)取得极小值D.f(x)的导数不存在解析:解析:由于 =一 10由极限的保号性可知,存在 a点的某去心邻域,在此去心邻域内 3.设 f(x)可导且 f“(x 0 )= (分数:2.00)A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小 C.比x 低价的无穷小D.比x 高阶的无穷小解析:解析:由于 f(x)在 x 0 点的微分 dy=f“(x 0 )dx=f“(x 0 )x= ,则 4.设 y=f(x)是方程 f“一 2y“+4y=0的一个解,且
11、 f(x 0 )0,f“(x 0 )=0,则函数 f(x)在点 x 0 处(分数:2.00)A.取得极大值 B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少解析:解析:由原题可知 f“(x)一 2f“(x)+4f(x)0,令 x=x 0 ,则 f“(x 0 )一 2f“(x 0 )+4f(x 0 )=0,又 f“(x 0 )=0,f(x 0 )0,则 f“(x 0 )=一 4f(x 0 )0,由此可知 f(x)在 x 0 取极大值5.当 x0 时,曲线 y= (分数:2.00)A.有且仅有水平渐近线 B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线,也有铅直渐近线D.既无水平渐近线,也无铅直渐近
12、线解析:解析:由于 ,而 ,则曲线 y=xsin6.已知函数 f(x)具有任意阶导数,且 f“(x)=f(x) 2 ,则当 n为大于 2的正整数时,f(x)的 n阶导数 f (n) (x)为(分数:2.00)A.n!f(x) n+1 B.nf(x) n+1 C.f(x) 2n D.n!f(x) 2n 解析:解析:由 f“(x)=f(x) 2 知,f“(x)=2f(x)f“(x)=2f(x) 3 ,f“(x)=23f 2 (x)f“(x)=123f 4 (x)=3!f(x) 4 ,f (n) (x)=n!?f(x) n+1 7.已知 f(x)在 x=0的某个邻域内连续,且 f(0)=0 (分数:
13、2.00)A.不可导B.可导且 f“(0)0C.取得极大值D.取得极小值 解析:解析:由于 ,由极限的保号性可知存在 x=0的某个去心邻域,在此去心邻域内8.曲线 (分数:2.00)A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线 解析:解析:由 及 可知,曲线9.设 f(x)=3x 3 +x 2 x,则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n为(分数:2.00)A.0B.1C.2 D.3解析:解析:由于 3x 3 任意阶可导,则只需考查 x 2 x令 (x)=x 2 x,则 10.设在0,1上 f“(x)0,则 f“(0),f(1),f(1)一 f(0)或
14、f(0)一 f(1)的大小顺序是(分数:2.00)A.f“(1)f“(0)f(1)一 f(0)B.f“(1)f(1)一 f(0)f“(0) C.f(1)一 f(0)f“(1)f“(0)D.f“(1)f(0)一 f(1)f“(0)解析:解析:由 f“(x)0,则 f“(x)在0,1上单调增,又由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f“(c)(0c1)则 f“(1)f“(c)f“(0),即 f“(1)f(1)一 f(0)f“(0)11.设 f(x)可导,F(x)=f(x)(1+sinx),则 f(0)=0是 F(x)在 x=0处可导的(分数:2.00)A.充分必要条件 B.充分条件但非必要条
15、件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件又非必要条件解析:解析:由于 F(x)=f(x)+f(x)sinx,而 f(x)可导,则 F(x)在 x=0点的可导性与 f(x)sinx相同令 (x)=f(x)sinx,由导数定义知12.设 f(x)有二阶连续导数,且 f“(0)=0, (分数:2.00)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析:由于 ,由极限的保号性知,存在 x=0的去心邻域,在此去心邻域内13.函数 f(x)=(x 2 一
16、x一 2)x 3 一 x不可导点的个数是(分数:2.00)A.3B.2 C.1D.0解析:解析:由导数定义知x在 x=0不可导,而 xx在 x=0可导,f(x)=(x 2 一 x一 2)x 3 一x=(x 一 2)(x+1)xx 一 1x+1,则 f(x)在 x=0和 x=1不可导,故应选(B).14.设 f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0,则当 axb 时,有(分数:2.00)A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)g(b)f(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析:解析:15.设
17、函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图形如图 21 所示,则导函数 y=f“(x)的图形为(见图22) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:由 f(x)的图形可看出,当 x0 时,f(x)严格单调增,则当 x0 时,f“(x)0,因此(A),(C)肯定不正确,只能在(B)和(D)中选又由 f(x)的图形可看出,当 x0 时,f(x)由增变减再变增,因此在 x0 处,f“(x)应由正变负再变正,由 f“(x)的圈形可看出应选(D)16.设 f(0)=0,则 f(x)在点 x=0可导的充要条件为 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:若 存在,则二、填空题(总题数:9
18、,分数:18.00)17.当 x= 1时,函数 y=x2 x 取得极小值(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:y“=2 x +x2 x ln22 x (1+xln2)令 y“=0得 x= ,且当 x 时,y“0;当x 时,y“0,则在 x= 18.若 f(t)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(1+2t)e 2t)解析:解析:由于 f(t)= 19.已知 f“(3)=2,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 1)解析:解析:20.设 ,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析
19、: 代入上式得21.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cos(xy)=0确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:方程 e x+y +cos(xy)=0两边对 x求导得 e x+y (1+y“)一 sin(xy)(y+xy“)=0 解得 y“= 22.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:原式=23.对数螺线 P=e 在点(,)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:对数螺线 =e 的参数方程为 切线斜率为 时, ,x=0,所求切线方程为: 24.= 1 (分数:2.0
20、0)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:25.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:三、解答题(总题数:11,分数:24.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:27.设函数 f(x)在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个 x,函数 f(x)的值都在开区间(0,1)内,且 f“(x)1,证明:在(0,1)区间内有且仅有一个 x,使得 f(x)=x(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=f(x)一 x由原题设可知 F(x)在0,1上连续,又 F(0)=f(0)0,F(1)=f(1)一 10,由连续函数
21、介值定理可知, x(0,1),使 F(x)=0,即 f(x)=x 以下证明唯一性:用反证法,假设使得 f(x)=x的 x不唯一,则至少应有两个,不妨设为 x 1 和 x 2 ,(不妨设 x 1 x 2 )由罗尔定理可知 )解析:28.设不恒为常数的函数 f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且 f(a)=f(b)证明在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f“()0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(a)=f(b)且 f(x)在a,b上不恒为常数,则 c(a,b),使 f(c)f(a) 若 f(c)f(a),在a,c上应用拉格朗日中值定理,则 (a,c),使 若
22、f(c)f(a),在c,b上应用拉格朗日中值定理,则 ,使 )解析:29.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由洛必达法则知, 原式= )解析:30.设 f“(x)0,f(0)=0,证明对任何 x 1 0,x 2 0,有 f(x 1 +x 2 )f(x 1 )+f(x 2 )(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由拉格朗日中值定理知 f(x 1 )一 f(0)=x 1 f“( 1 ),(0 1 x 1 ) f(x 1 +x 2 )一 f(x 2 )=x 1 f“( 2 ),(x 2 2 x 1 +x 2 ) 不妨设 x 1 x 2 ,从而有 1 2 ,由于 f“(x)0,则 f“
23、(x)单调减,故 f“( 2 )f“( 1 ),而 x 1 0,所以 f(x 1 +x 2 )一 f(x 2 )f(x 1 )一 f(0) 又 f(0)=0,则 f(x 1 +x 2 )f(x 1 )+f(x 2 )解析:31.设在0,+)上函数 f(x)有连续导数,且 f“(x)k0,f(0)0,证明 f(x)在(0,+)内有且仅有一个零点(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:在0,+)上,由 f“(x)k,得 即 f(x)kx+f(0)取 x 1 0,有 f(x 1 ) =0因 f(x 1 )0,由题设 f(0)0,则 )解析:32.设 bae,证明 a b b a (分数:2.00)
24、_正确答案:(正确答案:要证 a b b a ,只须证 blnaalnb 令 f(x)=xlnaalnx (xa) )解析:假设函数 f(x)和 g(x)在a,b上存在二阶导数,并且 g“(x)0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:(分数:4.00)(1).在开区间(a,b)内 g(x)0;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:反证法若 c(a,b),使 g(c)=0,则由罗尔定理知 1 (a,c), 2 (c,b),使 g“( 1 )=g“( 2 )=0,从而 )解析:(2).在开区间(a,b)内至少存在一点 ,使 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=f
25、(x)g“(x)一 f“(x)g(x) 由 f(a)=f(b)=g(a)一 g(b)=0知,(a)=(b)=0,由罗尔定理知 (a,b),使 “()=0,即 f()g“()一 g()f“()=0, )解析:33.设 f(x)在0,1上具有二阶导数,且满足条件f(x)a,f“(z)b,其中 a,b 都是非负常数,c是(0,1)内任一点,证明f“(c)2a+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(x)=f(c)+f“(c)(xc)+ 其中 =c+(xc),01在上式中分别令 x=0,x=1 得 两式相减得 于是 由于 c(0,1),(1 一 c) 2 +c 2 1 故 )解析:34.试证:
26、当 x0 时,(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=(x 2 一 1)lnx一(x 一 1) 2 ,易知 (1)=0, “(x)=2xlnx+x 一 一 2(x一 1)=2xlnxx+2一 “(1)=0 “(x)=21nx+21+ )解析:设 y=f(x)在(一 1,1)内具有二阶连续导数且 f“(x)0,试证:(分数:4.00)(1).对于(一 1,1)内的任一 x0,存在唯一的 (x)(0,1),使 f(x)=f(0)+xf“(x)x)成立;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:任给非零 x(一 1,1),由拉格朗日中值定理得 f(x)=f(0)+xf“(x)x) (0(x)1) 因为 f“(x)在(一 1,1)内连续且 f“(x)0,所以 f“(x)在(一 1,1)内不变号,不妨设f“(x)0,则 f“(x)在(一 1,1)内严格单增,故 (x)唯一)解析:(2). (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由泰勒公式得 )解析: