1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 4及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f“(a)0B.f(x)取得极大值C.f(x)取得极小值D.f(x)的导数不存在3.设 f(x)可导且 f“(x 0 )= （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小C.比x 低价的无穷小D.比x 高阶的无穷小4.设 y=f(x)是方程 f“一 2y“+4y=0的一个解，且 f(x 0 )0，f“(x 0
2、 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少5.当 x0 时，曲线 y= （分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线6.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则当 n为大于 2的正整数时，f(x)的 n阶导数 f (n) (x)为（分数：2.00）A.n!f(x) n+1 B.nf(x) n+1 C.f(x) 2n D.n!f(x) 2n 7.已知 f(x)在 x=0的某个邻域内连续，且 f(0)
3、=0 （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“(0)0C.取得极大值D.取得极小值8.曲线 （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线9.设 f(x)=3x 3 +x 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n为（分数：2.00）A.0B.1C.2D.310.设在0，1上 f“(x)0，则 f“(0)，f(1)，f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)一 f(0)B.f“(1)f(1)一 f(0)f“(0)C.f(1)一 f(0)f“(1)f“(0)D.f“(
4、1)f(0)一 f(1)f“(0)11.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0是 F(x)在 x=0处可导的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件又非必要条件12.设 f(x)有二阶连续导数，且 f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点13.函数 f(x)=(x 2 一 x一 2)x 3 一 x不可导点的个数是（分数：2.0
5、0）A.3B.2C.1D.014.设 f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0，则当 axb 时，有（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)g(b)f(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)15.设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图 21 所示，则导函数 y=f“(x)的图形为(见图22) （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0可导的充要条件为 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.0
6、0)17.当 x= 1时，函数 y=x2 x 取得极小值（分数：2.00）填空项 1:_18.若 f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 f“(3)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cos(xy)=0确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_23.对数螺线 P=e 在点(，)= （分数：2.00）填空项 1:_24.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_25.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分
7、数：24.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_27.设函数 f(x)在闭区间0，1上可微，对于0，1上的每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0，1)内，且 f“(x)1，证明：在(0，1)区间内有且仅有一个 x，使得 f(x)=x（分数：2.00）_28.设不恒为常数的函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)证明在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()0（分数：2.00）_29.求 （分数：2.00）_30.设 f“(x)0，f(0)=0，证明对任何 x 1 0，x 2 0，有 f(x 1 +x 2 )f(x 1 )
8、+f(x 2 )（分数：2.00）_31.设在0，+)上函数 f(x)有连续导数，且 f“(x)k0，f(0)0，证明 f(x)在(0，+)内有且仅有一个零点（分数：2.00）_32.设 bae，证明 a b b a （分数：2.00）_假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：（分数：4.00）(1).在开区间(a，b)内 g(x)0；（分数：2.00）_(2).在开区间(a,b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_33.设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件f(x)a，f“(z)b，其中 a，b
9、 都是非负常数，c是(0，1)内任一点，证明f“(c)2a+ （分数：2.00）_34.试证：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2.00）_设 y=f(x)在(一 1，1)内具有二阶连续导数且 f“(x)0，试证：（分数：4.00）(1).对于(一 1，1)内的任一 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf“(x)x)成立；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 4答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项
10、中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f“(a)0B.f(x)取得极大值 C.f(x)取得极小值D.f(x)的导数不存在解析：解析：由于 =一 10由极限的保号性可知，存在 a点的某去心邻域，在此去心邻域内 3.设 f(x)可导且 f“(x 0 )= （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小 C.比x 低价的无穷小D.比x 高阶的无穷小解析：解析：由于 f(x)在 x 0 点的微分 dy=f“(x 0 )dx=f“(x 0 )x= ，则 4.设 y=f(x)是方程 f“一 2y“+4y=0的一个解，且
11、 f(x 0 )0，f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处（分数：2.00）A.取得极大值 B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少解析：解析：由原题可知 f“(x)一 2f“(x)+4f(x)0，令 x=x 0 ，则 f“(x 0 )一 2f“(x 0 )+4f(x 0 )=0，又 f“(x 0 )=0，f(x 0 )0，则 f“(x 0 )=一 4f(x 0 )0，由此可知 f(x)在 x 0 取极大值5.当 x0 时，曲线 y= （分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线 B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近
12、线解析：解析：由于 ，而 ，则曲线 y=xsin6.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则当 n为大于 2的正整数时，f(x)的 n阶导数 f (n) (x)为（分数：2.00）A.n!f(x) n+1 B.nf(x) n+1 C.f(x) 2n D.n!f(x) 2n 解析：解析：由 f“(x)=f(x) 2 知，f“(x)=2f(x)f“(x)=2f(x) 3 ，f“(x)=23f 2 (x)f“(x)=123f 4 (x)=3!f(x) 4 ，f (n) (x)=n!?f(x) n+1 7.已知 f(x)在 x=0的某个邻域内连续，且 f(0)=0 （分数：
13、2.00）A.不可导B.可导且 f“(0)0C.取得极大值D.取得极小值 解析：解析：由于 ，由极限的保号性可知存在 x=0的某个去心邻域，在此去心邻域内8.曲线 （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线 解析：解析：由 及 可知，曲线9.设 f(x)=3x 3 +x 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n为（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：由于 3x 3 任意阶可导，则只需考查 x 2 x令 (x)=x 2 x，则 10.设在0，1上 f“(x)0，则 f“(0)，f(1)，f(1)一 f(0)或
14、f(0)一 f(1)的大小顺序是（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)一 f(0)B.f“(1)f(1)一 f(0)f“(0) C.f(1)一 f(0)f“(1)f“(0)D.f“(1)f(0)一 f(1)f“(0)解析：解析：由 f“(x)0，则 f“(x)在0，1上单调增，又由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f“(c)(0c1)则 f“(1)f“(c)f“(0)，即 f“(1)f(1)一 f(0)f“(0)11.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0是 F(x)在 x=0处可导的（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分条件但非必要条
15、件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件又非必要条件解析：解析：由于 F(x)=f(x)+f(x)sinx，而 f(x)可导，则 F(x)在 x=0点的可导性与 f(x)sinx相同令 (x)=f(x)sinx，由导数定义知12.设 f(x)有二阶连续导数，且 f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由于 ，由极限的保号性知，存在 x=0的去心邻域，在此去心邻域内13.函数 f(x)=(x 2 一
16、x一 2)x 3 一 x不可导点的个数是（分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：由导数定义知x在 x=0不可导，而 xx在 x=0可导，f(x)=(x 2 一 x一 2)x 3 一x=(x 一 2)(x+1)xx 一 1x+1，则 f(x)在 x=0和 x=1不可导，故应选(B).14.设 f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0，则当 axb 时，有（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)g(b)f(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析：15.设
17、函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图 21 所示，则导函数 y=f“(x)的图形为(见图22) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 f(x)的图形可看出，当 x0 时，f(x)严格单调增，则当 x0 时，f“(x)0，因此(A)，(C)肯定不正确，只能在(B)和(D)中选又由 f(x)的图形可看出，当 x0 时，f(x)由增变减再变增，因此在 x0 处，f“(x)应由正变负再变正，由 f“(x)的圈形可看出应选(D)16.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0可导的充要条件为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若 存在，则二、填空题(总题数：9
18、，分数：18.00)17.当 x= 1时，函数 y=x2 x 取得极小值（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y“=2 x +x2 x ln22 x (1+xln2)令 y“=0得 x= ，且当 x 时，y“0；当x 时，y“0，则在 x= 18.若 f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1+2t)e 2t）解析：解析：由于 f(t)= 19.已知 f“(3)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：20.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析
19、： 代入上式得21.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cos(xy)=0确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 e x+y +cos(xy)=0两边对 x求导得 e x+y (1+y“)一 sin(xy)(y+xy“)=0 解得 y“= 22.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式=23.对数螺线 P=e 在点(，)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对数螺线 =e 的参数方程为 切线斜率为 时， ，x=0，所求切线方程为： 24.= 1 （分数：2.0
20、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：25.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：11，分数：24.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：27.设函数 f(x)在闭区间0，1上可微，对于0，1上的每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0，1)内，且 f“(x)1，证明：在(0，1)区间内有且仅有一个 x，使得 f(x)=x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)一 x由原题设可知 F(x)在0，1上连续，又 F(0)=f(0)0，F(1)=f(1)一 10，由连续函数
21、介值定理可知， x(0，1)，使 F(x)=0，即 f(x)=x 以下证明唯一性：用反证法，假设使得 f(x)=x的 x不唯一，则至少应有两个，不妨设为 x 1 和 x 2 ，(不妨设 x 1 x 2 )由罗尔定理可知 )解析：28.设不恒为常数的函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)证明在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(a)=f(b)且 f(x)在a，b上不恒为常数，则 c(a，b)，使 f(c)f(a) 若 f(c)f(a)，在a，c上应用拉格朗日中值定理，则 (a，c)，使 若
22、f(c)f(a)，在c，b上应用拉格朗日中值定理，则 ，使 )解析：29.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由洛必达法则知， 原式= )解析：30.设 f“(x)0，f(0)=0，证明对任何 x 1 0，x 2 0，有 f(x 1 +x 2 )f(x 1 )+f(x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由拉格朗日中值定理知 f(x 1 )一 f(0)=x 1 f“( 1 )，(0 1 x 1 ) f(x 1 +x 2 )一 f(x 2 )=x 1 f“( 2 )，(x 2 2 x 1 +x 2 ) 不妨设 x 1 x 2 ，从而有 1 2 ，由于 f“(x)0，则 f“
23、(x)单调减，故 f“( 2 )f“( 1 )，而 x 1 0，所以 f(x 1 +x 2 )一 f(x 2 )f(x 1 )一 f(0) 又 f(0)=0，则 f(x 1 +x 2 )f(x 1 )+f(x 2 )解析：31.设在0，+)上函数 f(x)有连续导数，且 f“(x)k0，f(0)0，证明 f(x)在(0，+)内有且仅有一个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在0，+)上，由 f“(x)k，得 即 f(x)kx+f(0)取 x 1 0，有 f(x 1 ) =0因 f(x 1 )0，由题设 f(0)0，则 )解析：32.设 bae，证明 a b b a （分数：2.00）
24、_正确答案：(正确答案：要证 a b b a ，只须证 blnaalnb 令 f(x)=xlnaalnx (xa) )解析：假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：（分数：4.00）(1).在开区间(a，b)内 g(x)0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法若 c(a，b)，使 g(c)=0，则由罗尔定理知 1 (a，c)， 2 (c，b)，使 g“( 1 )=g“( 2 )=0，从而 )解析：(2).在开区间(a,b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f
25、(x)g“(x)一 f“(x)g(x) 由 f(a)=f(b)=g(a)一 g(b)=0知，(a)=(b)=0，由罗尔定理知 (a，b)，使 “()=0，即 f()g“()一 g()f“()=0， )解析：33.设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件f(x)a，f“(z)b，其中 a，b 都是非负常数，c是(0，1)内任一点，证明f“(c)2a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=f(c)+f“(c)(xc)+ 其中 =c+(xc)，01在上式中分别令 x=0，x=1 得 两式相减得 于是 由于 c(0，1)，(1 一 c) 2 +c 2 1 故 )解析：34.试证：
26、当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x 2 一 1)lnx一(x 一 1) 2 ，易知 (1)=0， “(x)=2xlnx+x 一 一 2(x一 1)=2xlnxx+2一 “(1)=0 “(x)=21nx+21+ )解析：设 y=f(x)在(一 1，1)内具有二阶连续导数且 f“(x)0，试证：（分数：4.00）(1).对于(一 1，1)内的任一 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf“(x)x)成立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：任给非零 x(一 1，1)，由拉格朗日中值定理得 f(x)=f(0)+xf“(x)x) (0(x)1) 因为 f“(x)在(一 1，1)内连续且 f“(x)0，所以 f“(x)在(一 1，1)内不变号，不妨设f“(x)0，则 f“(x)在(一 1，1)内严格单增，故 (x)唯一)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：
