1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 3及答案解析(总分：92.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，c 1 ，c 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.c 1 y 1 +c 2 y 2 +y 3B.c 1 y 1 +c 2 y 2 一(c 1 +c 2 )y 3C.c 1 y 1 +c 2 y 2 一(1 一 c 1 c 2 )y 3D.
2、c 1 y 1 +c 2 y 2 +(1一 c 1 一 c 2 )y 33.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2C.e x +ln2D.e 2x +ln24.设曲线积分 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于 （分数：2.00）A.B.C.D.5.已知函数 y=y(x)在任意点 x处的增量 （分数：2.00）A.2B.C.D.6.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是（分数：2.00）A.y“+y“-4y“一
3、 4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“一 y“一 4y“+4y=0D.y“一 y“+4y“一 4y=07.设 （分数：2.00）A.a=一 3，b=2，c=一 1B.a=3，b=2，c=一 1C.a=一 3，b=2，c=1D.a=3，b=2，c=1二、填空题(总题数：13，分数：26.00)8.微分方程 y“+ytanx=cosx的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 xy“+3y“=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=e x (C 1 sinx+C 2
4、cosx)(C 1 ，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 yy“+y“ 2 =0满足初始条件 （分数：2.00）填空项 1:_13.欧拉方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 xy“+2y=xlnx满足 （分数：2.00）填空项 1:_15.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 xy“+y=0满足条件 y(1)=1的解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay
5、“+by=0的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程y“+ay“+by=x满足条件 y(0)=2，y“(0)=0 的解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.微分方程 y“+y=e -x cosx满足条件 y(0)=0的解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0及 f“(x)+f(x)=2e x ，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.已知 y 1 =e 3x 一 xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程
6、的3个解，则该方程的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：26，分数：52.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.求微分方程 y“+6y“+(9+a 2 )y“=1的通解(一般解)，其中常数 a0（分数：2.00）_23.设函数 y=f(x)满足微分方程 y“一 3y“+2y=2e x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x 2 一 x+1在该点的切线重合，求函数 y=y(x)（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.求微分方程 y“+4y“+4y=e -2x 的通解(一般解)（分数：2.00）_
7、26.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ长度的倒数(Q 是法线与 x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x轴平行（分数：2.00）_27.求微分方程 y“+2y“一 3y=e -3x 的通解（分数：2.00）_28.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y x=1 =1的特解（分数：2.00）_29.设物体 A从点(0，1)出发，以速度大小为常数 v沿 y轴正向运动，物体 B从点(一 1，0)与 A同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A试建立物体 B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.0
8、0）_30.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)一 f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0为一全微分方程，求 f(x)及此全微分方程的通解（分数：2.00）_31.设曲线 L位于 xOy平面的第一象限内，L 上任一点 M处的切线与 y轴总相交，交点记为 A已知 ，且 L过点 （分数：2.00）_32.微分方程 y“一 2y“+2y=e x 的通解为_（分数：2.00）_33.设对任意 x0，曲线 y=f(x)上点(x，f(x)处的切线在 y轴上的截距等于 （分数：2.00）_34.设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(e x siny)满
9、足方程 （分数：2.00）_35.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群总数为 N，在 t=0时刻已掌握新技术的人数为 x 0 ，在任一时刻 t已掌握新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数 k0，求 x(t)（分数：2.00）_36.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速
10、度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y与 v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=f(v)（分数：2.00）_37.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1，过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_38.设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 S，都有 其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续一阶导数，且 （分数：2.00）_
11、39.(1)验证函数 (一x+)满足微分方程 y“+y“+y=e x (2)利用(1)的结果求幂级数 （分数：2.00）_40.设函数 y=y(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_41.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9 000 kg的飞机，着陆时的水平速度为 700 kmh 经测试，减速伞打开后，飞
12、机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 )问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?（分数：2.00）_42.微分方程 （分数：2.00）_43.求微分方程 y“一 3y“+2y=2xe x 的通解（分数：2.00）_44.已知曲线 ，其中函数 f(t)具有连续导数，且 f(0)=0，f“(t)0(0t （分数：2.00）_45.微分方程 xy“+y(1nxlny)=0满足条件 y(1)=e 3 的解为 y=_（分数：2.00）_46.设函数 f(x)在定义域 I上的导数大于零若对任意的 x 0 I，曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 x=x
13、 0 及 x轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)的表达式（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 3答案解析(总分：92.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，c 1 ，c 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.c 1 y 1 +c 2 y 2 +y 3B.c 1 y 1 +c 2 y 2 一(c
14、 1 +c 2 )y 3C.c 1 y 1 +c 2 y 2 一(1 一 c 1 c 2 )y 3D.c 1 y 1 +c 2 y 2 +(1一 c 1 一 c 2 )y 3 解析：解析：由于(D)中的 y=C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一 C 1 C 2 )y 3 =C 1 (y 1 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 3 其中 y 1 一 y 3 和 y 2 一 y 3 是对应的齐次方程的两个解，且 y 1 一 y 3 与 y 2 一 y 3 线性无关事实上，若令 A(y 1 一 y 3 )+B(y 2 y 3 )=0 即 Ay 1 +By 2 一(A+B)y 3
15、=0 由于 y 1 ，y 2 ，y 3 线性无关，则 A=0，B=0，一(A+B)=0 因此 y 1 y 3 与 y 2 一 y 3 线性无关，故 y=C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一 C 1 C 2 )y 3 是原方程通解。3.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2 C.e x +ln2D.e 2x +ln2解析：解析：等式 4.设曲线积分 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：5.已知函数 y=y(x)在任意点 x处的增量 （分数：2.00）
16、A.2B.C.D. 解析：解析：6.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是（分数：2.00）A.y“+y“-4y“一 4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“一 y“一 4y“+4y=0D.y“一 y“+4y“一 4y=0 解析：解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为 1 =1， 2，3 =2i 则其特征方程为 ( 一 1)( 2 +4)=0，故所求方程应为 y“一 y“+4y“一 4y=0 故应选(D)7.设 （分数：2.00）A.a=一 3，b=2，c=一 1 B.a=3，b=2，c=
17、一 1C.a=一 3，b=2，c=1D.a=3，b=2，c=1解析：解析：由 二、填空题(总题数：13，分数：26.00)8.微分方程 y“+ytanx=cosx的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+c)cosx）解析：解析：由线性方程通解公式得9.y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：特征方程为 2 一 4=0，则 1 =一 2， 2 =2，从而齐次方程的解为 10.微分方程 xy“+3y“=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析
18、：令 y“=p，则 y“=p“代入原方程得 解得 因此11.设 y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)(C 1 ，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 2y“+2y=0）解析：解析：所求方程的特征根为 1，2 =1i 则其特征方程为 2 一 2+2=0 故所求方程为 y“一2y“+2y=012.微分方程 yy“+y“ 2 =0满足初始条件 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 =x+1或 ）解析：解析：令 y“=P，则 ，代入原方程得13.欧拉方程 （分数：2
19、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x=e t 代入原方程所得新方程的特征方程为 ( 一 1)+4+2=0 解得 1 =一 1， 2 =一 2 则新方程通解为 y=C 1 e -t +C 2 e -2t ，将 x=e t 代入得原方程通解为 14.微分方程 xy“+2y=xlnx满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 xy“+2y=xlnx是一阶线性方程，方程两端同除以 x得： ，则通解为15.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
20、正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x ）解析：解析：齐次方程特征方程为 2 一 4+3=0 解得 1 =1， 2 =3，则齐次方程通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 设非齐方程特解为 16.微分方程 xy“+y=0满足条件 y(1)=1的解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 xy“+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为17.若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay“+by=0的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程y“+ay“+by=x满足条件 y(0)=2，y“(0)=0
21、的解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 xe x +x+2）解析：解析：由于 y=(C 1 +C 2 z)e x 是方程 y“+ay“+by=0的通解，则该方程的两个特征根为 1 = 2 =1，故 a=一 2，b=1 设非齐次方程 y“一 2y“+y=x的特解为 y * =Ax+B 代入方程得 A=1，B=2，则其通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x +x+2 由 y(0)=2，y“(0)=0 得，C 1 =0，C 2 =一 1 所以 y=一 xe x +x+218.微分方程 y“+y=e -x cosx满足条件 y(0)=0的解为 y= 1（分数
22、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -x sinx）解析：解析：由一阶线性方程的通解公式得 19.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0及 f“(x)+f(x)=2e x ，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x）解析：解析：20.已知 y 1 =e 3x 一 xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e x +C 2 e 3x xe 2x ）
23、解析：解析： 由题设知 y 1 y 3 =e 3x ，y 2 一 y 3 =e x 为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x xe 2x三、解答题(总题数：26，分数：52.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.求微分方程 y“+6y“+(9+a 2 )y“=1的通解(一般解)，其中常数 a0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该方程对应的齐次方程的特征方程为 3 +6 2 +(9+a 2 )=0 其根为 1 =0， 2，3 =一 3ai 则齐次方程通解为 由 =0 为特征方程的单根，则
24、可设非齐次方程特解为 y * =Ax 代入原方程得 故原方程通解为 )解析：23.设函数 y=f(x)满足微分方程 y“一 3y“+2y=2e x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x 2 一 x+1在该点的切线重合，求函数 y=y(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 2 一 3+2=( 一 1)( 一 2)=0 其根为 1 =1， 2 =2 则齐次通解为 由于 =1 为特征方程的单根，则非齐次方程特解可设为 y * =Axe x 代人原方程得 A=一 2 则原方程通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 一 2xe x 由
25、原题设曲线 y=C 1 e x +C 2 e 2x 一 2xe x 与曲线 y=x 2 -x+1在点(0，1)处有公切线可知，y(0)=1，y“(0)=(2x 一 1) x=0 =-1 由 y(0)=1得 1=C 1 +C 2 由 y“(0)=一 1得 一 1=一 2+C 1 +2C 2 以上两式联立解得 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可写为 )解析：25.求微分方程 y“+4y“+4y=e -2x 的通解(一般解)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a=一 2是特征方程的二重根，故原方程特解可设为 y * =Ax 2 e -2x 代入原方程得
26、，故原方程通解为 )解析：26.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ长度的倒数(Q 是法线与 x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=y(x)在 P(x，y)处的法线方程为 )解析：27.求微分方程 y“+2y“一 3y=e -3x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +2 一 3=0，其根为 1 =1， 2 =一 3，则对应的齐次方程的通解为 )解析：28.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y x=1 =1的特解（分数：2.
27、00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设物体 A从点(0，1)出发，以速度大小为常数 v沿 y轴正向运动，物体 B从点(一 1，0)与 A同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A试建立物体 B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在 t时刻，B 位于点(x，y)处(见图 210)，则 )解析：30.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)一 f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0为一全微分方程，求 f(x)及此全微分方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于xy(x+y)一
28、f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0是全微分方程，则 即 x 2 +2xy一 f(x)=f“(x)+2xy f“(x)+f(x)=x 2 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得其通解为 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 一 2 由 f(0)=1及 f“(0)=1，可求得 C 1 =2，C 2 =1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x 2 一 2 于是原方程为 xy 2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+(一 2sinx+COSX+2x+x 2 y)dy=0 其通解是 )解析：31.设曲线 L位于 xOy平面的第一象限内，L 上任一点 M处的切线
29、与 y轴总相交，交点记为 A已知 ，且 L过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 M点的坐标为(x，y)，则切线 MA的方程为 YY=y“(Xx) 令 X=0，则 Y=yxy“，点 A的坐标为(0，yxy“)由 )解析：32.微分方程 y“一 2y“+2y=e x 的通解为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=e x (C 1 cosx+C 2 sinx+1)解析：解析：特征方程为 2 一 2+2=0，解得 1，2 =1i，则齐次方程通解为 y=e x (C 1 cosx+C 2 sinx) 易观察出 y=e x 是非齐次方程的一个特解则原方程通解为 y=e x (C 1
30、 cosx+C 2 sinx)+e x33.设对任意 x0，曲线 y=f(x)上点(x，f(x)处的切线在 y轴上的截距等于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y 一 f(x)=f“(x)(Xx) 令 X=0，得截距为 Y=f(x)一 xf“(x) 由题意知 )解析：34.设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(e x siny)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=e x siny，则 )解析：35.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群总数为 N，在 t=0时刻已掌握新技术的人数
31、为 x 0 ，在任一时刻 t已掌握新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数 k0，求 x(t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可知 )解析：36.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y与 v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=f(v)（
32、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取沉放点为原点 o，oy 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 )解析：37.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1，过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y“(x)(Xx) )解析：38.设对于半空间 x0 内任意的
33、光滑有向封闭曲面 S，都有 其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续一阶导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设和高斯公式可得 其中 是 S围成的有界闭区域由 S的任意性知 xf“(x)+f(x)-xf(x)-e 2x =0(x0) 即 这是一个一阶线性方程，由通解公式知 )解析：39.(1)验证函数 (一x+)满足微分方程 y“+y“+y=e x (2)利用(1)的结果求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 所以 y”+y+y=e x (2)与 y“+y“+y=e x 相应的齐次方程为 y“+y“+y=0 其特征方程为 2 +1=0 )解析：40.设函数 y=y(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_
