1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 2及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 u(x，y)=(x+y)+(xy)+ ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（分数：2.00）A.B.C.D.3.设有三元方程 xyzlny+e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（分数：2.00）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和
2、z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z=z(y，z)和 z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=y(x，z)4.若 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y “(x，y)0已知(x 0 ，y 0 )是 f(x，y)在约束条件(x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（分数：2.00）A.若 f x “(x 0 ，y 0 )=0，则 f y “(x 0 ，y 0 )=0B.若 f x “(x 0 ，y 0 )=0，则 f y “(x 0 ，y 0 )0C.若 f x “(x 0 ，y 0 )0，则 f y “(x 0 ，y 0
3、)=0D.若 f x “(x 0 ，y 0 )0，则 f y “(x 0 ，y 0 )05.函数 f(x，y)=arctan （分数：2.00）A.iB.一 iC.jD.-j6.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F为可微函数，且 F 2 “0，则 （分数：2.00）A.xB.zC.一 xD.一 z7.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f“(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：2.00）A.f(0)1，f“(0)0B.f(0)1，f“(0)0C.f(0)1，f“(0)0D.f(0)1，f“(0)08.如果 f(x，
4、y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是（分数：2.00）A.若极限B.若极限C.若 f(x，y)在(0，0)处可徽，则极限D.若 f(x，y)在(0，0)处可微，则极限9.曲面 x 2 +cos(xy)+yz+z=0在点(0，1，一 1)处的切平面方程为（分数：2.00）A.xy+z=一 2B.x+y+z=0C.x一 2y+z=一 3D.xyz=010.设有空间区域 1 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0；及 2 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x0，y0，z0，则 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设函数 u(x，y，z
5、)= ，单位向量 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y ，y x )，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.曲面 z=x 2 (1一 siny)+y 2 (1一 sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.若函数 z=z(x，y)由方程 e x +xyz+x+cosx=2确定，则 dz (0，1) = 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 L为取正向的圆周 x 2 +y 2 =9，则曲线积分 （分数
6、：2.00）填空项 1:_18.向量场 u(x，y，z)=xy 2 +ye z j+xln(1+z 2 )k在点 P(1，1，0)处的散度 divu= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设平面曲线 L为下半圆周 ，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_21.设 z=z(x，y)是由 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yz一 z 2 +18=0确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值（分数：2.00）_设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 （分数：4.00）
7、(1).验证 （分数：2.00）_(2).若 f(1)=0，f“(1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：2.00）_22.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 一 x 2 y 2 在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，y0)上的最大值和最小值（分数：2.00）_23.已知曲线 （分数：2.00）_24.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 （分数：2.00）_25.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny的极值（分数：2.00）_26.设函数 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1处取
8、得极值 g(1)=1求 （分数：2.00）_27.求函数 f(x，y)= （分数：2.00）_28.求函数 （分数：2.00）_29.设函数 f(u)具有 2阶连续导数，z=f(e x cosy)满足 （分数：2.00）_30.已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2 +y 2 +xy=3，求 f(x，y)在曲线 C上的最大方向导数（分数：2.00）_31.计算曲面积分 其中 S是由曲线 (1y3)绕 y轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与 y轴正向的夹角恒大于 （分数：2.00）_32.设 S为曲面 x 2 +y 2 +z 2 =1的外侧，计算曲面积分 （分数：2.00）_33
9、.设位于点(0，1)的质点 A对质点 M的引力大小为 (k0 为常数，r 为质点 A与 M之间的距离)，质点 M沿曲线 （分数：2.00）_34.设曲线积分 与路径无关，其中 (x)具有连续导数，且 (0)=0计算 （分数：2.00）_35.计算三重积分 ，其中 是由曲面 （分数：2.00）_36.设半径为 R的球面的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问当 R取何值时，球面在定球面内部的哪部分面积最大?（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 2答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择
10、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 u(x，y)=(x+y)+(xy)+ ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：3.设有三元方程 xyzlny+e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（分数：2.00）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z=z(y，z)和 z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数
11、 x=x(y，z)和 y=y(x，z) 解析：解析：令 F(x，y，z)=xyzlny+e xz 一 1 显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且 F(0，1，1)=0，F x “(0，1，1)=20，F y “(0，1，1)=一 10，由隐函数存在定理知方程xyzlny+e xz =1可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=(x，z)，故应选(D)4.若 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y “(x，y)0已知(x 0 ，y 0 )是 f(x，y)在约束条件(x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（分数：2.00）A.若 f x
12、 “(x 0 ，y 0 )=0，则 f y “(x 0 ，y 0 )=0B.若 f x “(x 0 ，y 0 )=0，则 f y “(x 0 ，y 0 )0C.若 f x “(x 0 ，y 0 )0，则 f y “(x 0 ，y 0 )=0D.若 f x “(x 0 ，y 0 )0，则 f y “(x 0 ，y 0 )0 解析：解析：由拉格朗日乘数法知，若(x 0 ，y 0 )是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的极值点，则必有 5.函数 f(x，y)=arctan （分数：2.00）A.i B.一 iC.jD.-j解析：解析：由 f(x，y)= 知 6.设函数 z=z(x，y)由方
13、程 确定，其中 F为可微函数，且 F 2 “0，则 （分数：2.00）A.xB.z C.一 xD.一 z解析：解析：由隐函数求导公式得7.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f“(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：2.00）A.f(0)1，f“(0)0 B.f(0)1，f“(0)0C.f(0)1，f“(0)0D.f(0)1，f“(0)0解析：解析：8.如果 f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是（分数：2.00）A.若极限B.若极限 C.若 f(x，y)在(0，0)处可徽，则极限D.若 f(x，y)在(0，0
14、)处可微，则极限解析：解析：9.曲面 x 2 +cos(xy)+yz+z=0在点(0，1，一 1)处的切平面方程为（分数：2.00）A.xy+z=一 2 B.x+y+z=0C.x一 2y+z=一 3D.xyz=0解析：解析：令 F(x，y，z)=x 2 +cos(xy)+yz+x，则 n=2xysin(xy)+1，一 xsin(xy)+z,y (0,1，-1) =1，一 1，1 则所求切平面方程为 x-(y 一 1)+(z+1)=0 即 x 一 y+z=一 210.设有空间区域 1 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0；及 2 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x0，y0，z0，
15、则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于(C)选项中的被积函数 f(x，y，z)=z 既是 x的偶函数，也是 y的偶函数，而积分域 1 既关于 yOz坐标面前后对称，又关 xOz坐标面左右对称，则 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设函数 u(x，y，z)= ，单位向量 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y ，y x )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yx y-1 f 1 “+y x Inyf 2 “）解析：解析：由复合函数求导法知13.设函
16、数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1)）解析：解析：15.曲面 z=x 2 (1一 siny)+y 2 (1一 sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2xy 一 z=1）解析：解析：由 z=x 2 (1一 siny)+y 2 (1一 sinx)得 z x “=2x(1一 siny)一 y 2 cosx，z x “(1，0)=2 z y “=一 x 2 cosy+2y(1一 sinx)，z y “(1，0)=一
17、 1 所以，曲面 z=x 2 (1一 siny)+y 2 (1一 sinx)在点(1，0，1)处的法向量为 16.若函数 z=z(x，y)由方程 e x +xyz+x+cosx=2确定，则 dz (0，1) = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 dx）解析：解析：将 x=0，y=1 代入 e z +xyz+x+cosx=2中得 e z +1=2，则 z=0 方程 e z +xyz+x+cosx=2两端微分得 e z dz+yzdx+xzdy+xydz+dxsinxdx=0 将 x=0，y=1，z=0 代入上式得 dx+dz=0 则 dz (0，1) =一 dx17.
18、设 L为取正向的圆周 x 2 +y 2 =9，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 18）解析：解析：由格林公式可知18.向量场 u(x，y，z)=xy 2 +ye z j+xln(1+z 2 )k在点 P(1，1，0)处的散度 divu= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由散度计算公式19.设平面曲线 L为下半圆周 ，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：三、解答题(总题数：18，分数：36.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：21.设 z=z
19、(x，y)是由 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yz一 z 2 +18=0确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yz一 z 2 +18=0， 类似地，由 )解析：设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 （分数：4.00）(1).验证 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).若 f(1)=0，f“(1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()及 f“(1)=1，得 )解析：22.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 一
20、 x 2 y 2 在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，y0)上的最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 f(x，y)在 D内的驻点，由 得 f(x，y)在 D内的驻点为 (2)考察边界 y=0(一 2x2) f(x，0)=x 2 一 2x2 最大值 f(士 2，0)=4，最小值 f(0，0)=0 (3)考察边界x 2 +y 2 =4，y0 由 x 2 +y 2 =4知，y 2 =4一 x 2 f(x，y)=x 2 +2y 2 一 x 2 y 2 =x 2 +2(4一 x 2 )一 x 2 (4一 x 2 )=x 4 一 5x 2 +8 (一 2x2) 令 (x
21、)=x 4 一 5x 2 +8，“(x)=4x 3 一 10x=0 得x=0， )解析：23.已知曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：点(x，y，z)到 xOy面的距离为x，故求 C上距离 xOy面最远点和最近点的坐标，等价于求函数 H=z 2 在条件 x 2 +y 2 一 2z 2 =0与 x+y+3z=5下的最大值点和最小值点 令L(x，y，z，)=z 2 +(x 2 +y 2 一 2z 2 )+(x+y+3z 一 5) 由 )解析：24.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f 2 “+xf 12 “+xyf
22、 22 “)解析：解析：25.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设函数 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1处取得极值 g(1)=1求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 g“(1)=0 因为 )解析：27.求函数 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设函数 f(u)具有 2阶连续导数，z=f(e x cosy)满足 （分数：2.00）_
23、正确答案：(正确答案：令 e x cosy=u，则 )解析：30.已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2 +y 2 +xy=3，求 f(x，y)在曲线 C上的最大方向导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数在每一点沿梯度方向的方向导数最大，且最大值等于该点梯度向量的模，而 grad f(x，y)=(1+x，1+y) 令 F(x，y，)=(1+x) 2 +(1+y) 2 +(x 2 +y 2 +xy一 3)，由 式(2)减式(1)得 (y 一 x)(2+)=0 若 y=x，代入式(3)得 若 =一 2，代入式(1)和式(2)得x+y=1，将此代入式(3)得 )解析：
24、31.计算曲面积分 其中 S是由曲线 (1y3)绕 y轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与 y轴正向的夹角恒大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 S为曲面 x 2 +y 2 +z 2 =1的外侧，计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由高斯公式知 )解析：33.设位于点(0，1)的质点 A对质点 M的引力大小为 (k0 为常数，r 为质点 A与 M之间的距离)，质点 M沿曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引力方向与向量 方向一致，而 )解析：34.设曲线积分 与路径无关，其中 (x)具有连续导数，且 (0)=0计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由线积分 与路径无关可知 “(x)=2x， (x)=x 2 +C 由 (0)=0知 C=0，代回原积分得 )解析：35.计算三重积分 ，其中 是由曲面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用球坐标进行计算 )解析：36.设半径为 R的球面的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问当 R取何值时，球面在定球面内部的哪部分面积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设的方程为 x 2 +y 2 +(z一 a) 2 =R 2 则两球面交线在 xOy平面上的投影曲线方程为 )解析：
