1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 （分数：2.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点D.三个极小值点和一个极大值点4.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得（分数：2.0
2、0）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点6.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x在 x 0 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则（分数：2.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D.dyy07.设函数 f(x)在 x=0处连续，下列命题错误的是（分数：2.00）A
3、.若B.存在，则 f(0)=0C.若D.若8.曲线 y= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 u n =f(n)(n=1，2，)，则下列结论正确的是（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散10.设函数 f(x)=ln(2+t)dt，则 f“(x)的零点个数为（分数：2.00）A.0B.1C.2D.311.曲线 y=(x一 1)(x一 2) 2 (x一 3) 3 (x一 4)
4、4 的拐点是（分数：2.00）A.(1，0)B.(2，0)C.(3，0)D.(4，0)12.曲线 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.413.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n为正整数，则 f“(0)=（分数：2.00）A.(一 1) n-1 (n1)!B.(一 1) n (n一 1)!C.(一 1) n-1 n!D.(一 1) n n!14.下列曲线中有渐近线的是（分数：2.00）A.y=x+sinxB.y=x 2 +sinxC.y=x+sinD.y=x 2 +sin 15.设函数 f(x)具有 2阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x
5、)+f(1)x，则在区间0，1上（分数：2.00）A.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)B.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)C.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)D.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)16.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其 2阶导函数 f“(x)的图形如右图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：8，分数：16.00)17.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0确定，则 y“(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.曲线 y=lnx上与直线 x+y=1垂直的
6、切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_20.曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0，1)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.设函数 y=f(x)由方程 yx=e x(1-y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 (t为参数)，则 （分数：2.00）填空项 1:_24.设 f(x)是周期为 4的可导奇函数，且 f“(x)=2(x-1)，x0，2，则 f(7)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：30.00)25.解
7、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_26.设函数 f(x)在 x=0某邻域内有一阶连续导数，且 f(0)0，f“(0)0，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)在h0 时是比 h高阶的无穷小，试确定 a、b 的值（分数：2.00）_27.设 eabe 2 ，证明 In 2 bln 2 a （分数：2.00）_已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；（分数：2.00）_(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f“()f“()=1（分数：2.00）_28.设函数
8、f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：2.00）_29.证明拉格朗日中值定理。若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使得f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)（分数：2.00）_30.证明：若函数 f(x)在 x=0处连续，在(0，)(0)内可导，且 limf“(x)=A，则 f + “(0)存在，且 f + “(0)=A（分数：2.00）_31.求函数 f(x)= （分数：2.00）_32.求方程 karctanxx=
9、0不同实根的个数，其中 k为参数（分数：2.00）_33.证明： （分数：2.00）_设奇函数 f(x)在一 1，1上具有 2阶导数，且 f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f“()=1；（分数：2.00）_(2).存在 (一 1，1)，使得 f“()+f“()=1（分数：2.00）_34.设函数 y=f(x)由方程 y 3 +xy 2 +x 2 y+6=0确定，求 f(x)的极值（分数：2.00）_35.设函数 u(x)，u(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)“=u“(x)v(x)+u(x)v“(x)；（分数：2.00）_36.设函数 u 1 (x)，
10、u 2 (x)，u n (x)可导，f(x)=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)，写出 f(x)的求导公式（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 1答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：直接法：由拉格朗日中值定理知 又 f(x)有界，则 f(2x)一 f(x)有界，从而3.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如
11、图所示，则 f(x)有 （分数：2.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点 D.三个极小值点和一个极大值点解析：解析：如图，从导函数图形知，f(x)只在 x=x 1 ，x=x 2 ，x=x 3 处导数为零，而在 x=0处导数不存在则 f(x)只可能在这四个点取得极值而 f(x)在 x=x 1 和 x=0两点的两侧导数都是由正变负，则f(x)在这两点处取极大值；而 f(x)在 x=x 2 和 x=x 3 两点的两侧导数都是由负变正，则 f(x)在这两点处取极小值故应选(C) 4.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得（分
12、数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)解析：解析：由于 f“(0)= ，由极限的保号性知，存在 0，当 x(一 ，0)或 x(0，)时，5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析：解析：6.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x在 x 0 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则（分数：2.00
13、）A.0dyy B.0ydyC.ydy0D.dyy0解析：解析：直接法：dy=f“(x 0 )x， y=f(x 0 +x)一 f(x 0 )=f“()x，x 0 x 0 +x 由于 f“(x)0，则 f“(x)单调增，从而有 f“(x 0 )f“()，故 dyy 由于 f“(x)0，x0，则0dyy，故应选(A)7.设函数 f(x)在 x=0处连续，下列命题错误的是（分数：2.00）A.若B.存在，则 f(0)=0C.若D.若 解析：解析：由 存在及 f(x)在 x=0处的连续性知，f(0)=0，从而有 =f“(0)，所以，命题(A)和(C)是正确的； 由 存在，且 知， +f(一 x)=2f
14、(0)=0，则 f(0)=0，所以，命题(B)也是正确的 事实上，命题(D)是错误的例如，令 f(x)=x，显然8.曲线 y= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：9.设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 u n =f(n)(n=1，2，)，则下列结论正确的是（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散 解析：解析：直接法：由拉格朗日中值定理知 u 2 一 u 1 =f(2)-f(1)=f“(c) (1c2
15、) 而 u 2 u 1 ，则 f“(c)0， 由于 f“(x)0，则 f“(x)单调增，从而有 f“(2)f“(c)0，由泰勒公式得， 10.设函数 f(x)=ln(2+t)dt，则 f“(x)的零点个数为（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：f“(x)=ln(2+x 2 ).2x显然 f“(x)只有一个零点 x=0，故应选(B)11.曲线 y=(x一 1)(x一 2) 2 (x一 3) 3 (x一 4) 4 的拐点是（分数：2.00）A.(1，0)B.(2，0)C.(3，0) D.(4，0)解析：解析：由于曲线方程 y=(x一 1)(x一 2) 2 (x一 3) 3 (x一
16、 4) 4 中含有(x 一 3)的 3次因子(x 一 3) 3 ，则 y“(3)=0，y“(3)0 由拐点的充分条件知点(3，0)为该曲线的拐点，故应选(C)12.曲线 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：由于 ，则该曲线有水平渐近线 y=1， 又13.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n为正整数，则 f“(0)=（分数：2.00）A.(一 1) n-1 (n1)! B.(一 1) n (n一 1)!C.(一 1) n-1 n!D.(一 1) n n!解析：解析：记 g(x)=(e 2x 一 2)(e 3x 一 3)(e n
17、x 一 n)，则 f(x)=(e x 一 1)g(x) f“(x)=e x g(x)+(e x 一 1)g“(x) 则 f(0)=g(0)=(一 1)(一 2)(一(n 一 1)=(一 1) n-1 (n一 1)! 故应选(A)14.下列曲线中有渐近线的是（分数：2.00）A.y=x+sinxB.y=x 2 +sinxC.y=x+sin D.y=x 2 +sin 解析：解析：由于 所以曲线15.设函数 f(x)具有 2阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x，则在区间0，1上（分数：2.00）A.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)B.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)C.当
18、 f“(x)0 时，f(x)g(x)D.当 f“(x)0 时，f(x)g(x) 解析：解析：由于 g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线 y=f(0)(1一 x)+f(1)x过点(0，f(0)和(1，f(1)，当 f“(x)0 时，曲线 y=f(x)在区间0，1上是凹的，曲线 y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0)和(1，f(1)的弦 y=f(0)(1一 x)+f(1)x的下方，即 f(x)g(x) 故应选(D)16.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其 2阶导函数 f“(x)的图形如右图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解
19、析：由下图知 f“(x 1 )=f“(x 2 )=0，f“(0)不存在，其余点上二阶导数 f“(x)存在且非零，则曲线 y=f(x)最多三个拐点但在 x=x 1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点而在 x=0和 x=x 2 两侧的二阶导数变号，则曲线 y=f(x)有两个拐点，故应选(C) 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)17.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0确定，则 y“(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0可知，当 x=0时，y=0方程 e y +6xy+
20、x 2 一 1=0两边对 x求导得 e y y“+6y+6xy“+2x=0 (*) 在上式中令 x=0，得 y“(0)=0 (*)式两边再对 x求导得 e y y“+e y (y“) 2 +6y“+6y“+6xy“+2=0 令 x=0，则 y“(0)+2=0 y“(0)=一 218.曲线 y=lnx上与直线 x+y=1垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x 一 1）解析：解析：直线 x+y=1的斜率为一 1，所求切线斜率应为 1，而 ，令19.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.曲线 sin(xy
21、)+ln(y-x)=x在点(0，1)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x+1）解析：解析：由 sin(xy)+ln(yx)=x知21.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：22.设函数 y=f(x)由方程 yx=e x(1-y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 yx=e x(1-y) 知，x=0 时，y=1 y“一 1=e x(1-y) (1一 y)一 xy 则 y“(0)=1， 23.设 (t为参数)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
22、正确答案：*）解析：24.设 f(x)是周期为 4的可导奇函数，且 f“(x)=2(x-1)，x0，2，则 f(7)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 f“(x)=2(x一 1)，x0，2知，f(x)=(x 一 1) 2 +C又 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，C=一 1，f(x)=(x 一 1) 2 一 1 由于 f(x)以 4为周期，则 f(7)=f8+(一 1)=f(一 1)=一 f(1)=1三、解答题(总题数：14，分数：30.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：26.设函数 f(x)在 x=0某邻域内有一
23、阶连续导数，且 f(0)0，f“(0)0，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)在h0 时是比 h高阶的无穷小，试确定 a、b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知 由于 f(0)0，则 a+b一 1=0 由洛必达法则知 )解析：27.设 eabe 2 ，证明 In 2 bln 2 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，则 所以当 xe 时，“(x)0，故 (x)单调减少，从而当exe 2 时， 即当 exe 2 时，(x)单调增加 因此当 eabe 2 时， (b)(a)，即 故 )解析：已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)
24、=0，f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)=f(x)+x一 1，则 g(x)在0，1上连续，且 g(0)=一 10，g(1)=10 所以存在 (0，1)，使得 g()=f()+ 一 1=0 即 f()=1 一 )解析：(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f“()f“()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据拉格朗日中值定理，存在 (0，)，(，1)，使得 )解析：28.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(
25、a)，f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)一 g(x)，以下分两种情况讨论： 1)若 f(x)和 g(x)在(a，b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)=f(c)一 g(c)=0，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理知 1 (a，c)，使 “( 1 )=0； 2 (c，b)，使 “( 2 )=0 对 “(x)在 1 ， 2 上用罗尔定理得， ( 1 ， 2 )，使 “()=0 2)若 f(x)和 g(x)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设 f(x)和 g(x)分别在 x 1
26、和 x 2 (x 1 x 2 )取到其在(a，b)内的最大值，则 (x 1 )=f(x 1 )一 g(x 1 )0，(x 2 )=f(x 2 )一 g(x 2 )0 由连续函数的介值定理知， )解析：解析：若令 (x)=f(x)-g(x)，本题需证存在 (a，b)，使 “()=0，而 (a)=f(a)一 g(a)=0，(b)=f(b)一 g(b)=0，若能证明存在 c(a，b)，使 (c)=0，此时，(a)=(c)=(b)，由罗尔定理可证明存在 (a，b)，使 “()=029.证明拉格朗日中值定理。若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使得f(b)一 f(a)
27、=f()(b 一 a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 由题意知 F(x)在a，b上连续，在(x，b)内可导，且 )解析：30.证明：若函数 f(x)在 x=0处连续，在(0，)(0)内可导，且 limf“(x)=A，则 f + “(0)存在，且 f + “(0)=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于任意的 t(0，)，函数 f(x)在0，t上连续，在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理 )解析：31.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的定义域为(一，+)，由于 所以 f(x)的驻点为 x=0，1 列表讨论如下： 因此，f
28、(x)的单调增加区间为(一 1，0)及(1，+)，单调减少区间为(一，一 1)及(0，1)；极小值为 f(1)=0，极大值为 f(0)= )解析：32.求方程 karctanxx=0不同实根的个数，其中 k为参数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=karctanx一 x，则 f(x)是(一，+)上的奇函数，且 当 k一 10即 k1 时，f“(x)0(x0)，f(x)在(一，+)内单调减少，方程 f(x)=0只有一个实根 x=0 当 k一10 即 k1 时，在 内，f“(x)0，f(x)单调增加；在 内，f“(x)0，f(x)单调减少，所以是 f(x)在(0，+)内的最大值
29、 由于 f(0)=0，所以 0 又因为 所以存在 )解析：33.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= ，一 1x1 显然 f(x)为偶函数，因此，只要证明 f(x)0 x0，1) 由于 又 则 )解析：设奇函数 f(x)在一 1，1上具有 2阶导数，且 f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f“()=1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)是区间一 1，1上的奇函数，所以 f(0)=0 因为函数 f(x)在区间0，1上可导，根据微分中值定理，存在 (0，1)，使得 f(1)一 f(0)=f“() 又因为 f(1)=1
30、，所以f“()=1)解析：(2).存在 (一 1，1)，使得 f“()+f“()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)是奇函数，所以 f“(x)是偶函数，故 f“(一 )=f“()=1 令 F(x)=f“(x)一 1e x ，则 F(x)可导，且 F(-)=F()=0 根据罗尔定理，存在 (一 ，) )解析：34.设函数 y=f(x)由方程 y 3 +xy 2 +x 2 y+6=0确定，求 f(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 y 3 +xy 2 +x 2 y+6=0两端对 x求导得 3y 2 y“+y 2 +2xyy“+2xy+x 2 y“=0
31、(1) 在(1)式中令 y“=0，得 y 2 +2xy=0，由此可得，y=0，y=一 2x，显然 y=0不满足原方程，将 y=一 2x代入原方程 y 3 +xy 2 +x 2 y+6=0，得一 6x 3 +6=0，解得 x 0 =1，f(1)=一 2，f“(1)=0 对(1)式两端再对 x求导得 6yy“ 2 +3y 2 y“+4yy“+2xy“ 2 +2xyy“+2y+4xy“+x 2 y“=0 将 x=1，f(1)=一 2，f“(1)=0 代入上式得 )解析：35.设函数 u(x)，u(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)“=u“(x)v(x)+u(x)v“(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=u(x)v(x)，由导数定义得 )解析：36.设函数 u 1 (x)，u 2 (x)，u n (x)可导，f(x)=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)，写出 f(x)的求导公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)，则 f“(x)=u“ 1 (x)u 2 (x)u n (x)+u 1 (x)u 2 “(x)u n (x)+u 1 (x)u 2 (x)u n “(x)解析：
