1、考研数学一（高等数学）-试卷 95 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：3，分数：6.00)1.已知 a，b，c 是单位向量，且满足 a+b+c=0，则 a.b+b.c+c.a= 1（分数：2.00）填空项 1:_2.已知|a|=2，|b|= （分数：2.00）填空项 1:_3.过点(一 1，2，3)，垂直于直线 （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：30，分数：60.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_5.计算 （分数：2.00）_6.计算 （分数：2.00）_7.计算 （分数：2.00）_8.计算 （
2、分数：2.00）_9.设 f(x)= （分数：2.00）_10.设 F(x)是 f(x)的原函数，F(1)= 若当 x0 时，有 f(x)F(x)= （分数：2.00）_11.计算 （分数：2.00）_12.计算 （分数：2.00）_13.计算 （分数：2.00）_14.计算 0 1 x 2 f(x)dx，其中 f(x)= （分数：2.00）_15.计算 （分数：2.00）_16. （分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18.求正常数 a，b，使 （分数：2.00）_19.设函数 f(x)可导，且 f(0)=0，F(x)= 0 x t n-1 f(x n 一 t n )dt，试求 （
3、分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设星形线的方程为 （分数：2.00）_22.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 所确定，求图形 A 绕 x=2 旋转一周所得的旋转体体积（分数：2.00）_23.设 f(x)= -1 x (1-|t|)dt (x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围图形的面积（分数：2.00）_24.一容器由 y=x 2 绕 y 轴旋转而成其容积为 72m 3 ，其中盛满水，水的比重为 ,现将水从容器中抽出 64m 3 ，问需作功多少?（分数：2.00）_25.某闸门的形状与大小如右图所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 A
4、BCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m(米)? （分数：2.00）_26.设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成图形的面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成图形的面积为 S 2 ，并且 a1 (1)试确定 a 的值，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_27.已经抛物线 y=px 2 +qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且抛物线
5、与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S(1)问 p 和 q 为何值时，S 达到最大值?(2)求出此最大值（分数：2.00）_28.计算下列广义积分 （分数：2.00）_29.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是（分数：2.00）_30.已知曲线 L 的方程为 （分数：2.00）_31.求方程 y (4) 一 y“=0 的一个特解，使其在 x0 时与 x 3 为等价无穷小（分数：2.00）_32.假设： (1)函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x 一 1； (2)平行于 y 轴的动直线MN 与曲线 y=f(x)和 y=e x 一 1 分别相交于点
6、 P 1 和 P 2 ； (3)曲线 y=f(x)、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P 1 P 2 的长度 求函数 y=f(x)的表达式（分数：2.00）_33.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 y| x=2 = （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 95 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：3，分数：6.00)1.已知 a，b，c 是单位向量，且满
7、足 a+b+c=0，则 a.b+b.c+c.a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：2.已知|a|=2，|b|= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：3.过点(一 1，2，3)，垂直于直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：二、解答题(总题数：30，分数：60.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：5.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：6.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.计算 （分数：2.00）_正确答
8、案：(正确答案： )解析：8.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 F(x)是 f(x)的原函数，F(1)= 若当 x0 时，有 f(x)F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：4)解析：12.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.计算 0 1 x 2 f(x)dx，其中 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
9、)解析：15.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求正常数 a，b，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=2，b=1)解析：19.设函数 f(x)可导，且 f(0)=0，F(x)= 0 x t n-1 f(x n 一 t n )dt，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设星形线的方程为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设平面
10、图形 A 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 所确定，求图形 A 绕 x=2 旋转一周所得的旋转体体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)= -1 x (1-|t|)dt (x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.一容器由 y=x 2 绕 y 轴旋转而成其容积为 72m 3 ，其中盛满水，水的比重为 ,现将水从容器中抽出 64m 3 ，问需作功多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.某闸门的形状与大小如右图所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD
11、，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m(米)? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：h=2)解析：26.设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成图形的面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成图形的面积为 S 2 ，并且 a1 (1)试确定 a 的值，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.已经抛物线 y=px 2 +qx(其
12、中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S(1)问 p 和 q 为何值时，S 达到最大值?(2)求出此最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) ，q=3 时，S 达到最大；(2)S 的最大值为 )解析：28.计算下列广义积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D)解析：30.已知曲线 L 的方程为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)上凸 2)切点为(2，3)；切线方程为 y=x+1 3) )解析：
13、31.求方程 y (4) 一 y“=0 的一个特解，使其在 x0 时与 x 3 为等价无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=一 6x+3e x 一 3e -x)解析：32.假设： (1)函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x 一 1； (2)平行于 y 轴的动直线MN 与曲线 y=f(x)和 y=e x 一 1 分别相交于点 P 1 和 P 2 ； (3)曲线 y=f(x)、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P 1 P 2 的长度 求函数 y=f(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= )解析：33.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 y| x=2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：3f 2 (t)=ztf(t)+t 2 f(t)，f(t)= )解析：
