1、考研数学一（高等数学）-试卷 73 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在3.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+
2、z 一 4=0 平行的切线有( )（分数：2.00）A.只有一条B.只有两条C.至少有三条D.不存在4.f(x，y)=arctan （分数：2.00）A.iB.一 iC.jD.一 j二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 z=f(x，y)是由 e 2yz +x+y 2 +z= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_9.由
3、方程 xyz+ （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，一 1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 L： （分数：2.00）填空项 1:_12.曲面 z=1 一 z 2 一 y 2 上与平面 x+yz+3=0 平行的切平面为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x，y)可微。且 f“ 1 (一 1，3)=一 2，f“ 2 (一 1，3)=1，令 z=f(2xy， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)1
4、4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 z=fx+(xy)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：2.00）_16.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_17.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： xg(z)（分数：2.00）_18.设 z=f(x，y)由方程 z 一 yz+ze zyx =0 确定，求 dz（分数：2.00）_19.设 u=f(x，y，z)有连续的偏
5、导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy 一 y=0 与 e z 一 xz=0 确定，求 （分数：2.00）_20.设 f(x+y，xy)=x 2 y 2 + （分数：2.00）_21.设 y=f(x，t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设变换 （分数：2.00）_24.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值（分数：2.00）_25.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 一 3xy 在矩形闭域 D=(x，y)
6、0x2，一 1y2上的最大值、最小值（分数：2.00）_26.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 73 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零 B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.
7、f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在解析：解析：可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则有 f“ x (x 0 ，y 0 )=0，f“ y (x 0 ，y 0 )=0，于是 f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零，选(A)3.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线有( )（分数：2.00）A.只有一条B.只有两条 C.至少有三条D.不存在解析：解析：T=1，一 2t，3t 2 ，平面的法向量为 n=1，2，1，令 14t+3t 2 =0，解得 t=1，t= 4.f(x，y)=arctan
8、（分数：2.00）A.i B.一 iC.jD.一 j解析：解析：由 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)两边对 x 求偏导得 6.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 z=f(x，y)是由 e 2yz +x+y 2 +z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）
9、解析：解析：8.设 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e1）解析：解析：9.由方程 xyz+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，一 1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：11.曲线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲线 L： 绕 y 轴一周所得的旋转曲面为 4x 2 +9y 2 +4z 2 =2
10、5，n=8x，18y，8z (0，1，2) =0，一 18，16，所求的单位法向量为 e= 12.曲面 z=1 一 z 2 一 y 2 上与平面 x+yz+3=0 平行的切平面为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+2y2z+3=0）解析：解析：设切点坐标为(x 0 ，y 0 ，1 一 x 0 一 y 0 )，则 n=2x 0 ，2y 0 ，1(1，1，一 1， 13.设 f(x，y)可微。且 f“ 1 (一 1，3)=一 2，f“ 2 (一 1，3)=1，令 z=f(2xy， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7dx+3dy）解析：解析：三、
11、解答题(总题数：13，分数：26.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 z=fx+(xy)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=fx+(xy)，y两边关于 y 求偏导得 =一 f“ 1 “ 1 +f“ 2 ， )解析：16.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是
12、 x，y 的函数证明： xg(z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得 )解析：18.设 z=f(x，y)由方程 z 一 yz+ze zyx =0 确定，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 zyx+xe zyx =0 两边求微分，得 dzdy 一 dy+e zyx +xe zyx (dzdydx)=0， 解得 dz= )解析：19.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy 一 y=0 与 e z 一 xz=0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解
13、析：20.设 f(x+y，xy)=x 2 y 2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 y=f(x，t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=f(x，t)与 G(x，t，t)=0 两边对 x 求导得 )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值（分数：2.00）_正确答案：(
14、正确答案：二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)|y0， )解析：25.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 一 3xy 在矩形闭域 D=(x，y)0x2，一 1y2上的最大值、最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当(x，y)为区域 D 内时，由 =一 1； 在 L 1 ：y=一 1(0x2)上，z=x 3 +3x 一 1， 因为 z“=3x 2 +30，所以最小值为 z(0)=一 1，最大值为 z(2)=13； 在 L 2 ：y=2(0x2)上，z=x 3 一 6x+8， 由 z“=3x 2 一 6=0 得 x= ，z(2)=4； 在 L 3 ：x=0(一 1y2)上，z=y 3 ， 由 z“=3y 2 =0 得 y=0，z(一 1)=一 1，z(0)=0，z(2)=8； 在 L 4 ：x=2(一 1y2)上，z=y 3 一 6y+8， 由 z“=3y 2 一 6=0 得 y= )解析：26.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
