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    【考研类试卷】考研数学一(高等数学)-试卷72及答案解析.doc

    • 资源ID:1394319       资源大小:128KB        全文页数:6页
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    【考研类试卷】考研数学一(高等数学)-试卷72及答案解析.doc

    1、考研数学一(高等数学)-试卷 72 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 g(x)= 0 x f(u)du,其中 f(x)= (分数:2.00)A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点3.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数,则下列函数中不是周期函数的是( )(分数:2.00)A. a x f(t)dtB. -x a f(t)dtC. -x 0 f(t)dt x 0 f(t)dtD. -x x tf(t)dt4.设函数 f(x)连续

    2、,下列变上限积分函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt二、填空题(总题数:7,分数:14.00)5.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_6.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_7.maxx+2,x 2 dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_9.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_10.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_11.设 f(x)满足等式 xf“(x)一 f(x)=

    3、(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:17,分数:34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_13.设 S(x)= 0 x costdt (1)证明:当 nx(n+1) 时,2nS(x)2(n+1); (2)求 (分数:2.00)_14.设 f(x)在0,+)上连续,非负,且以 T 为周期,证明: (分数:2.00)_15.设 f(x)在0,1上连续,f(0)=0, 0 1 f(x)dx=0证明:存在 (0,1),使得 0 f(x)dx=f()(分数:2.00)_16.设 f(x)在(一 a,a)(a0)内连续,且 f“(0)=2 (1)证

    4、明:对 0xa,存在 01,使得 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)一 f(一 x); (2)求 (分数:2.00)_17.设 a n = (分数:2.00)_18.设 f(x)有界,且 f“(x)连续,对任意的 x(一,+)有f(x)+f“(x)1证明:f(x)1(分数:2.00)_19.设 f(x)在(一,+)上有定义,且对任意的 x,y(一,+)有f(x)一 f(y)xy证明: a b f(x)dx 一(b 一 a)f(a) (分数:2.00)_20.设 f(x)在0,1上连续,且 0mf(x)M,对任意的 x0,1,证明: (分数:2.00)_21.设 f(x)

    5、在a,b上连续且单调增加,证明: a b xf(x)dx (分数:2.00)_22.设 f(x)在(0,+)内连续且单调减少证明: 1 n+1 f(x)dx (分数:2.00)_23.设 f(x)在a,b上连续且单调减少证明:当 0k1 时, 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx(分数:2.00)_24.设 f“(x)在0,1上连续且f“(x)M证明: (分数:2.00)_25.设 f(x)在0,a上一阶连续可导,f(0)=0令 (分数:2.00)_26.设 f“(x)在0,1上连续,且 f(1)一 f(0)=1证明: 0 1 f“ 2 (x)dx1(分数:2.00)_27.设 f(x

    6、)在a,b上连续可导,且 f(a)=0证明: a b f 2 (x)dx (分数:2.00)_28.设 f(x)在a,b上连续可导,且 f(a)=f(b)=0证明: f(x) (分数:2.00)_考研数学一(高等数学)-试卷 72 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 g(x)= 0 x f(u)du,其中 f(x)= (分数:2.00)A.单调减少B.无界C.连续 D.有第一类间断点解析:解析:因为 f(x)在(0,2)内只有第一类间断点,所以

    7、g(x)在(0,2)内连续,选(C)3.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数,则下列函数中不是周期函数的是( )(分数:2.00)A. a x f(t)dtB. -x a f(t)dtC. -x 0 f(t)dt x 0 f(t)dtD. -x x tf(t)dt 解析:解析:设 (x)= -x x tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt, (x+T)=2 0 x+T tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt+2 x x+T tf(t)dt(x),选(D)4.设函数 f(x)连续,下列变上限积分函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x tf(t)一 f(一

    8、 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dt C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析:解析:因为 tf(t)一 f(t)为偶函数,所以 0 x tf(t)一 f(t)dt 为奇函数,(A)不对;因为 f(t 2 )为偶函数,所以 0 x f(t 2 )dt 为奇函数,(C)不对;因为不确定 f 2 (t)的奇偶性,所以(D)不对,令 F(x)= 0 x tf(t)+f(t)dt,F(x)= 0 -x tf(t)+f(一 t)dt= 0 x (一 u)f(u)+f(u)(一 du)=F(x),选(B)二、填空题(总题数:7,分数:14.00)5.= 1 (分

    9、数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:6.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:7.maxx+2,x 2 dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:9.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:10.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:11.设 f(x)满足等式 xf“(x)一 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:

    10、_ (正确答案:正确答案:2*)解析:解析:三、解答题(总题数:17,分数:34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:13.设 S(x)= 0 x costdt (1)证明:当 nx(n+1) 时,2nS(x)2(n+1); (2)求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)当 nx(n+1) 时, 0 n costdt 0 x costdt 0 (n+1) costdt, 0 n costdt=n 0 cosxdt= =2n, 0 (n+1) costdt=2(n+1),则 2nS(x)2(n+1) (2) )解析:14.设 f(x)在

    11、0,+)上连续,非负,且以 T 为周期,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对充分大的 x,存在自然数 n,使得 nTx(n+1)T, 因为 f(x)0,所以 0 nT f(t)dt 0 x f(t)dt 0 (n+1)T f(t)dt, )解析:15.设 f(x)在0,1上连续,f(0)=0, 0 1 f(x)dx=0证明:存在 (0,1),使得 0 f(x)dx=f()(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)= ,因为 f(x)在0,1上连续,所以 (x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,又 (0)=0,(1)= 0 1 f(x)dx=0,由罗尔定理,存在 (0

    12、,1),使得 “()=0,而 “(x)= )解析:16.设 f(x)在(一 a,a)(a0)内连续,且 f“(0)=2 (1)证明:对 0xa,存在 01,使得 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)一 f(一 x); (2)求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)令 F(x)= 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt,显然 F(x)在0,x上可导,且 F(0)=0,由微分中值定理,存在 01,使得 F(x)=F(x)一 F(0)=F“(x)x,即 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)一 f(x) (2) )解析:17.设 a n

    13、= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18.设 f(x)有界,且 f“(x)连续,对任意的 x(一,+)有f(x)+f“(x)1证明:f(x)1(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=e x f(x),则 “(x)=e x f(x)+f“(x), 由f(x)+f“(x)1得“(x)e x ,又由 f(x)有界得 (一)=0,则 (x)=(x)一 (一)= - x “(x)dx,两边取绝对值得 e x f(x) - x “(x)dx - x e x dx=e x ,所以f(x)1)解析:19.设 f(x)在(一,+)上有定义,且对任意的 x,y(一,+)有f(x)

    14、一 f(y)xy证明: a b f(x)dx 一(b 一 a)f(a) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为(b 一 a)f(a)= a b f(a)dx, 所以 a b f(x)dx 一(b 一 a)f(a)= a b f(x)f(a)dx a b f(x)一 f(a)dx a b (xa)dx= )解析:20.设 f(x)在0,1上连续,且 0mf(x)M,对任意的 x0,1,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 0mf(x)M,所以 f(x)一 m0,f(x)一 M0,从而 )解析:21.设 f(x)在a,b上连续且单调增加,证明: a b xf(x)dx (

    15、分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.设 f(x)在(0,+)内连续且单调减少证明: 1 n+1 f(x)dx (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 1 n+1 f(x)dx= 1 2 f(x)dx+ 2 3 f(x)dx+ n n+1 f(x)dx, 当x1,2时,f(x)f(1),两边积分得 1 2 f(x)dx厂(1), 同理 2 3 f(x)dxf(2), n n+1 f(x)dxf(n),相加得 1 n+1 f(x)doc f(k); 当 x1,2时,f(2)f(x),两边积分得f(2) 1 2 f(x)dx, 同理 f(3) 2 3 f(x)dx,f(n)

    16、n1 n f(x)dx, 相加得 f(2)+f(n) 1 n f(x)dxf(x)dx,于是 )解析:23.设 f(x)在a,b上连续且单调减少证明:当 0k1 时, 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 k f(x)dx 一 k 0 1 f(x)dx= 0 k f(x)dx 一 k 0 k f(x)dx+ k 1 f(x)dx =(1 一 k) 0 k f(x)dxk k 1 f(x)dx=k(1 一 k)f( 1 )一 f( 2 ) 其中 1 0,k, 2 k,1因为 0k1 且 f(x)单调减少, 所以 0 k f(x)dxk 0 1

    17、 f(x)dx=k(1 一 k)f( 1 )一 f( 2 )0,故 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx 又固为 f(x)单调减少,所以 f(kx)f(x),两边积分得 0 1 f(kx)dx 0 1 f(x)dx, 故 k 0 1 f(kx)dxk 0 1 f(x)dx,即 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx)解析:24.设 f“(x)在0,1上连续且f“(x)M证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:25.设 f(x)在0,a上一阶连续可导,f(0)=0令 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f“()x,其

    18、中 介于 0 与 x 之间, 因为 f(0)=0,所以f(x)=f“()xMx,x0,a, 从而 0 a f(x)dx 0 a f(x)dx 0 a Mxdx= )解析:26.设 f“(x)在0,1上连续,且 f(1)一 f(0)=1证明: 0 1 f“ 2 (x)dx1(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 1=f(1)一 f(0)= 0 1 f“(x)dx, 得 1 2 =1=( 0 1 f“(x)dx) 2 0 1 1 2 dx 0 1 f“ 2 (x)dx= 0 1 f“ 2 (x)dx,即 0 1 f“ 2 (x)dx1)解析:27.设 f(x)在a,b上连续可导,且 f(a)=0证明: a b f 2 (x)dx (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(a)=0,得 f(x)一 f(a)=f(x)= a x f“(t)dt,由柯西不等式得 f 2 (x)=( a x f“(t)dt) 2 a x 1 2 dt a x f“ 2 (t)dt(x 一 a) a b f“ 2 (x)dx 积分得 a b f 2 (x)dx a b (xa)dx a b f“ 2 (x)dx= )解析:28.设 f(x)在a,b上连续可导,且 f(a)=f(b)=0证明: f(x) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:


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