1、考研数学一（高等数学）-试卷 63 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“一 4y=e 2x +x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2x +cxD.axe 2x +bx+c3.微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1，y
2、“(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(一 2)=1，y“(2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_8.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e 4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_9
3、.以 y=C 1 e 2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 y“一 3y“+ay=一 5e x 的特解形式为 Axe x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)可导，且 0 1 f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求微分方程 xy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_14.一条曲
4、线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_15.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_16.用变量代换 x=sint 将方程(1 一 x 2 ) （分数：2.00）_17.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_18.求微分方程 y“+2y“一 3y=(2x+1)e x 的通解（分数：
5、2.00）_19.求 y“一 2y“一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_20.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（分数：2.00）_21.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_22.求微分方程 x 3 y“+2x 2 y“一 xy“+y=0 的通解（分数：2.00）_23.求微分方程 x 2 y“一 2xy“+2y=x 一 1 的通解（分数：2.00）_24.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （
6、分数：2.00）_25.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(x)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_26.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点( （分数：2.00）_27.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：2.00）_28.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系
7、数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_29.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)一 f(x)=a(x 一 1)，y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 63 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“一 4y=e 2x +x 的特解形式为(
8、)（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2x +cxD.axe 2x +bx+c 解析：解析：y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为 1 =一 2， 2 =2 y“一 4y=e 2x 的特解形式为 y 1 =axe 2x ， y“一 4y=x 的特解形式为 y 2 =bx+c，故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c，应选(D)3.微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为一 2，2，则方
9、程 y“一 4y=0 的通解为 C 1 e 2x +C 2 e 2x ，显然方程 y“一 4y=x+2 有特解 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x）解析：解析：令 y“=p，则 ，解得 ln(1+p 2 )=lny 2 +lnC 1 ， 则 1+p 2 =C1 y 2 ，由 y(0)=1，y“(0)=0 得 y“ ， ln|y+ 5.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y“+9y=e
10、 3x ，则y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2xe 3x + ）解析：解析：由题意得 y(0)=0，y“(0)=2， y“一 6y“+9y=e 3x 的特征方程为 2 一 6+9=0，特征值为 1 = 2 =3， 令 y“一 6y“+9y=e 3x 的特解为 y 0 (x)=ax 2 e 3x ，代入得 a= ， 故通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 3x + x 2 e 3x 由 y(0)=0，y“(0)=2 得 C 1 =0，C 2 =2，则 y(x)=2xe 3x + 6.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(一 2)=1，y“(2)=1
11、 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=一*）解析：解析：令 y“=p，则 y“= =3y 2 ，解得 p 2 =y 2 +C， 由 y(2)=1，y“(一 2)=1，得 C 1 =0，所以 y“= =x+C 2 ， 再由 y(2)=1，得 C 2 =0，所求特解为 x=一 7.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arcsin*=ln|x|+C）解析：解析：8.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e 4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00
12、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Q(x)=2+2x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x一 19， y=C 1 e 4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)）解析：解析：显然 =一 4 是特征方程 2 +q=0 的解，故 q=一 12， 即特征方程为 2 + 一12=0，特征值为 1 =一 4， 2 =3 因为 x 2 +3x+2 为微分方程 y“+y“一 12y=Q(x)的一个特解， 所以Q(x)=2+2x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x 一 19， 且通解为 y=C 1 e 4x +C 2 e
13、 3x +x 2 +3x+2(其中C 1 ，C 2 为任意常数)9.以 y=C 1 e 2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“+y“一 2y=一 sinx 一 3cosx）解析：解析：特征值为 1 =一 2， 2 =1，特征方程为 2 + 一 2=0， 设所求的微分方程为 y“+y“一 2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y“+y“一 2y=一 sinx 一3cosx10.设 y“一 3y“+ay=一 5e x 的特解形式为
14、Axe x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 4x +xe x）解析：解析：因为方程有特解 Axe，所以一 1 为特征值，即(1) 2 3(一 1)+a=0a=4，所以特征方程为 2 一 3 一 4=0=一 1，=4，齐次方程 y“3y“+ay=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 4x ，再把 Axe x 代入原方程得 A=1，原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 4x +xe x 11.设 f(x)可导，且 0 1 f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_
15、 （正确答案：正确答案：f(x)=e x）解析：解析：由 0 1 f(x)+xf(xt)dt=1 得 0 1 f(x)dt+ 0 1 f(xt)d(xt)=1， 整理得 f(x)+ 0 x f(u)du=1，两边对 x 求导得 f“(x)+f(x)=0， 解得 f(x)=Ce x ，因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=e x 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求微分方程 xy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14
16、.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点为 P(x，y)，曲线上 P 点处的切线为 Yy=y“(Xx)， 令 X=0，得 Y=yxy“，切线与 y 轴的交点为 Q(0，y 一 xy“)， )解析：15.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.用变量代换 x=sint 将方程(1 一 x 2 ) （分数
17、：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 =e 2x ，y 2 =2e x 一 3e 2 为特解，所以 e 2x ，e x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 =一 1， 2 =2，特征方程为(+1)( 一 2)=0 即 2 一 一2=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 2y=0)解析：18.求微分方程 y“+2y“一 3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为
18、2 +2 一 3=0，特征值为 =1，=一 3，则 y“+2y“一 3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 令原方程的特解为 y 0 =x(ax+b)e x ，代入原方程得 a= ，所以原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x + )解析：19.求 y“一 2y“一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可化为 y“一 2y“=e 2x ，特征方程为 x 一 2=0，特征值为 1 =0， 2 =2，y“一 2y“=0 的通解为 y=C 1 +C 2 e 2x 设方程 y“一 2y“=e
19、 2x 的特解为 y 0 =Axe 2x ，代入原方程 )解析：20.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x (1)当 a一 2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为y 0 (x)=Ae ax ，代入原方程得 A= ； (2)当 a=一 2 时，因为 a=一 2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y(x)=Ax 2 e 2x ，代入原方程得 A= )解析：21.求微分方程 y“+y=x 2 +3+co
20、sx 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +1=0，特征值为 1 =一 i， 2 =i， 方程 y“+y=0 的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y=x 2 +3，特解为 y 1 =x 2 +1； 对方程 y“+y=cosx，特解为 xsinx， 则原方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 +1+ )解析：22.求微分方程 x 3 y“+2x 2 y“一 xy“+y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=e t ，则 xy“=D，x 2 y“=D(D 一 1)，x 3 y“=D(D1)(D 一 2
21、)，即 )解析：23.求微分方程 x 2 y“一 2xy“+2y=x 一 1 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 F=ma= 解此微分方程得 v(t)=v 0 e由 v 0 e= 得 t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为 S= 0 ln3 v 0 e t dt= )解析：25.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(x)0，设
22、 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Yy=y“(Xx) 令 X=0，则 Y=yxy“，故A 点的坐标为(0，yxy“) )解析：27.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)
23、，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 )解析：28.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 )解析：29.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)一 f(x)=a(x 一 1)，y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)一 f(x)=a(x 一 1)得 f(x)=a(x 一 1)e 1dx dx+Ce 1dx =Ce x ax， 由 f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=e 2 ax )解析：
