1、考研数学一（高等数学）-试卷 62 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x1 时，函数 f(x)= （分数：2.00）A.等于 2。B.等于 0。C.为。D.不存在，但不为。3.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0，且 f“(a)=0。B.f(a)=0，且 f“(a)0。C.f(a)0，且 f“(a)0。D.f(a)0，且 f“(a)0。4.设 f(x)在(-
2、，+)上可导，x 0 0，(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点，则( )（分数：2.00）A.x 0 必是 f“(x)的驻点。B.(-x 0 ，-f(x 0 )必是 y=-f(-x)的拐点。C.(-x 0 ，-f(x 0 )必是 y=-f(x)的拐点。D.对任意 xx 0 与 xx 0 ，y=f(x)的凹凸性相反。5.定积分 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.等于 1。B.等于 0。C.不存在。D.等于-1。7.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：2.00）A.xy。B.2xy。C.xy+D.xy+1。8.
3、设幂级数 的收敛半径为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)9.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 y=lnlnlnx，则 y“= 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.点(2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.函数 f(x，y，z)=x 3 +y 4 +z 2 在点(1，1，0)处方向导数的最大值与最小值之积为 1。（分数：2.00）填空项 1:
4、_15. 是由曲面 z=xy 与平面 y=x，x=1 和 z=0 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 z1，则 的形心的竖坐标 （分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 y(1)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.求极限 （分数：2.00）_20.证明当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 。（分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.设摆线 （分数：2
5、.00）_23.求 f(x，y)= （分数：2.00）_24.计算曲线积分 I= （分数：2.00）_25.设有一高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中其侧面满足方程 z=h(t)- （分数：2.00）_26.设 a 1 =2，a n+1 = (n=1，2，)。证明 （分数：2.00）_27.将函数 f(x)=x-1(0x2)展开成周期为 4 的余弦函数。（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 62 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解
6、析：2.当 x1 时，函数 f(x)= （分数：2.00）A.等于 2。B.等于 0。C.为。D.不存在，但不为。 解析：解析：因为3.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0，且 f“(a)=0。B.f(a)=0，且 f“(a)0。 C.f(a)0，且 f“(a)0。D.f(a)0，且 f“(a)0。解析：解析：若 f(a)0，由复合函数求导法则有 因此排除 C 和 D。(当 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)0 时，f(x)在 x=a 点可导。) 当 f(a)=0 时，4.设 f(x)在(-，+)上可
7、导，x 0 0，(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点，则( )（分数：2.00）A.x 0 必是 f“(x)的驻点。B.(-x 0 ，-f(x 0 )必是 y=-f(-x)的拐点。 C.(-x 0 ，-f(x 0 )必是 y=-f(x)的拐点。D.对任意 xx 0 与 xx 0 ，y=f(x)的凹凸性相反。解析：解析：从几何上分析，y=f(x)与 y=-f(-x)的图形关于原点对称。x 0 0，(x 0 ，f(x 0 )是y=f(x)的拐点，则(-x 0 ，-f(x 0 )是 y=-f(-x)的拐点。故选 B。5.定积分 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：这
8、是无界函数反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，6.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.等于 1。 B.等于 0。C.不存在。D.等于-1。解析：解析：7.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：2.00）A.xy。B.2xy。C.xy+ D.xy+1。解析：解析：等式 f(x，y)=xy+ 两端积分得8.设幂级数 的收敛半径为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由题设条件可知 于是幂级数 的收敛半径为二、填空题(总题数：9，分数：18.00)9.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
9、解析：运用洛必达法则，则有10.已知 y=lnlnlnx，则 y“= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，arcsinx-x x 3 ，1-cosx=2sin 2 。由极限的运算法则可得 从而 =1。又因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0)= =1。 根据导数的定义可得 所以曲线 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.点(
10、2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用点到平面的距离公式可得14.函数 f(x，y，z)=x 3 +y 4 +z 2 在点(1，1，0)处方向导数的最大值与最小值之积为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-25）解析：解析：函数 f(x，y，z)在点(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值分别为 f(x，y，z)在该点处梯度向量的模和梯度向量模的负值。 gradf (1,1,0) =(3，4，0)， 15. 是由曲面 z=xy 与平面 y=x，x=1 和 z=0 所围成的
11、闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知，闭区域 =(x，y，z)0zxy，0yx，0x1。则16.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 z1，则 的形心的竖坐标 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 y(1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原方程等价于 于是通解为 由 y(1)= 解得 C=0。 故所求解为三、解答题(总题数：10，分数：20.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00
12、）_解析：19.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.证明当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(x 2 -1)lnx-(x-1) 2 ，易知 f(1)=0。 又 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用分部积分法和换元积分法。由题设知 f(1)=0， )解析：22.设摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x“()=1-cos，y“()=sin， 按旋转面面积计算公式。可得旋转曲面的面积)解析：23.求 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
13、：先求函数 f(x，y)= 的驻点，令 f x (x，y)=e-x=0，f y (x，y)=-y=0，解得函数 f(x，y)的驻点为(e，0)。 又 A=f xx (e，0)=-1，B=f xy (e，0)=0，C=f yy (e，0)=-1，B 2 -AC0，A0。故 f(x，y)在点(e，0)处取得极大值 f(e，0)= )解析：24.计算曲线积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题干可知 则有 作足够小的椭圆 (t0，2，C 取逆时针方向)，于是由格林公式有 从而有 )解析：25.设有一高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中其侧面满足方程 z=h(t)- （分
14、数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻雪堆的体积为 V(t)，侧面积为 S(t)。先求 S(t)与 V(t)的表达式。 侧面方程是 其中 D xy ：x 2 +y 2 。作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，则 体积减少的速度是 ，它与侧面积成正比(比例系数为 09)，即 将 V(t)与 S(t)的表达式代入得 解得 h(t)= )解析：26.设 a 1 =2，a n+1 = (n=1，2，)。证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()显然 a n 0(n=1，2)，由均值不等式易知 所以a n 单调递减且有下界，故极限 存在。 ()a n 单调递减，则 ，原级数是正项级数。由 a n 1 得 而级数 的部分和为 由比较判别法知 )解析：27.将函数 f(x)=x-1(0x2)展开成周期为 4 的余弦函数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由傅里叶级数展开式，可得 )解析：
