1、考研数学一（高等数学）-试卷 61-2 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.极限 （分数：2.00）A.等于B.等于C.等于 e 6 D.不存在3.设 f(x)在 x=a 处连续，(x)在 x=a 处间断，又 f(a)0，则（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处间断B.f(x)在 x=a 处间断C.(x) 2 在 x=a 处间断D.在 x=a 处间断4.“f(x)在点 a 连续”是f(x)在点 a 处连续的( )条件（分数：2.00）A.必要非
2、充分B.充分非必要C.充要D.既非充分又非必要5.设数列 x n ，y n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必有界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 6.f(x)=xsinx（分数：2.00）A.在(，+)内有界B.当 x+时为无穷大C.在(，+)内无界D.当 x时有极限7.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 均不连续，则在 x=x 0 处（分数：2.00）A.f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续B.f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定C.f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)
3、g(x)不连续D.f(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定8.当 n时(1+ ) n e 是 （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小9.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=1，x=0，x=1 为间断点B.x=0 为可去间断点C.x=1 为无穷间断点D.x=0 为跳跃间断点10.把当 x0 + 时的无穷小量 =tanxx，= （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，11.在 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：13，分数：26.00)12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 =3，则 （分数：2.00
4、）填空项 1:_14.设 K，L， 为正的常数，则 K x +(1)L x （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.1+x 2 e x2 当 x0 时是 x 的 1 阶无穷小(填数字)（分数：2.00）填空项 1:_17.已 （分数：2.00）填空项 1:_18.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_19.若 （分数：2.00）填空项 1:_20.arctan(xlnx.sinx)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_21. （分数：2.00）填空项 1:_22.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项
5、 1:_24.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.求下列极限： (17) （分数：2.00）_27.设 x n+1 =ln(1+x n )，x 1 0， (I)求 x n ； ()求 （分数：2.00）_28.设 a0 为常数，x n = ，求 （分数：2.00）_29. （分数：2.00）_30.讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：(I)y=(1+x)arctan ； (II)y= x)；()y=()=f(x)= ，x(0，2)；()y=fg(x)，其中
6、 f(x)= （分数：2.00）_31.设 0x 0 1，x n+1 =x n (2x n )，求证：x n 收敛并求 （分数：2.00）_32.证明： （分数：2.00）_33.设 (x)=0，且 f(x)f * (x)，g(x)g * (x)(xa) (I)当 xa 时 f(x)与 g(x)可比较，不等价( =)，求证：f(x)g(x)f * (x)g * (x)(xa)； (II)当 0xa 时 f(x)与 f * (x)均为正值，求证： （分数：2.00）_34.设 f(x)在(a，b)连续，x 1 ，x 2 ，x n (a，b)， 1 ， 2 ， n 为任意 n 个正数，求证： (a
7、，b)，使得 （分数：2.00）_35.设 f(x)在a，b连续，且 xa，b，总 ya，b，使得f(y) f(x)试证： （分数：2.00）_36.设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，求证： （分数：2.00）_37.设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，证明： （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 61-2 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.极限 （分数：2.00）A.等于 B.等于C.等于 e 6 D.不存在
8、解析：解析：注意到 =1，本题为 1 型设 f(x)= ，则原极限= 而 故原极限= 3.设 f(x)在 x=a 处连续，(x)在 x=a 处间断，又 f(a)0，则（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处间断B.f(x)在 x=a 处间断C.(x) 2 在 x=a 处间断D.在 x=a 处间断 解析：解析：连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故(A)，(B)不对不连续函数的相乘可能连续，故(C)也不对，因此，选(D)4.“f(x)在点 a 连续”是f(x)在点 a 处连续的( )条件（分数：2.00）A.必要非充分B.充分非必要 C.充要D.既非充分又非必要解析：解析：f(x)在 x
9、=a 连续 f(x)在 x=a 连续(f(x)f(a)f(x)f(a)f(x)在 x=a 连续 f(x)在 x=a 连续 如 f(x)=5.设数列 x n ，y n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必有界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 解析：解析：直接考察若 为无穷小，则6.f(x)=xsinx（分数：2.00）A.在(，+)内有界B.当 x+时为无穷大C.在(，+)内无界 D.当 x时有极限解析：解析：取 x n =2n+ (一，+)(n=1，2，3，)，则 f(x n )=(2n+ 7.设 f(x)，g(
10、x)在 x=x 0 均不连续，则在 x=x 0 处（分数：2.00）A.f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续B.f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定C.f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续D.f(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定 解析：解析：如：f(x)= 在 x=0 均不连续，但 f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0 在 x=0 均连续又如：f(x)= 在 x=0 均不连续，而 f(x)+g(x)= f(x).g(x)=8.当 n时(1+ ) n e 是 （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D
11、.同阶但非等价无穷小 解析：解析：该题就是要计算极限9.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=1，x=0，x=1 为间断点B.x=0 为可去间断点 C.x=1 为无穷间断点D.x=0 为跳跃间断点解析：解析：计算可得10.把当 x0 + 时的无穷小量 =tanxx，= （分数：2.00）A.，B.，C.， D.，解析：解析：因 即当 x0 + 时 是比 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除(A)与(D) 又因 11.在 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n=2，3，故只需讨论极限 要选择该极限为+的，仅当 n=3 并取“+”号时，即
12、二、填空题(总题数：13，分数：26.00)12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：原式=13.设 =3，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：由题设及 f(x)tanx=0 现利用等价无穷小因子替换 f(x)tanx(x0)， e 2x 一 12x (x0)， 14.设 K，L， 为正的常数，则 K x +(1)L x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：K L 1 ）解析：解析：属 1 型极限原式= ，而 15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析
13、：f(x)在 x=0 连续 f(x)=f(0)由于16.1+x 2 e x2 当 x0 时是 x 的 1 阶无穷小(填数字)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由于 17.已 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：18.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：本题属“ 0 ”型未定式数列极限不能直接用洛必达法则如用，得先转化成连续变量的极限，利用 求得，但比较麻烦事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即 19.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
14、案：5）解析：解析： 令 2x 3 =y，则 故 20.arctan(xlnx.sinx)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：x 一 lnx.sinx=x(1 .sinx)，由于 x+时， 0，sinx 有界，故 .sinx0xlnx.sinx+，于是 arctan(x 一 lnx.sinx)=21. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：本题属“0 0 ”型未定式利用基本极限 x x =1 及重要极限 =1 即得 22.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：当 x0 时，
15、1，于是有 而 =0，故由夹逼定理可知23.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：利用洛必达法则可得24.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(，1)(1，+)）解析：解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待 注意到 x=0 为分界点因为 又 f(0)=3，因此三、解答题(总题数：13，分数：26.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2
16、.00）_解析：26.求下列极限： (17) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)属 型利用洛必达法则 原式= (2)记 p n = (np n )=t，因此，原式=e t (3)属一型先通分，有 故原式=e 0 =1 因此，原极限= (12)被积函数中含有参数 x，把因子 e x2 提到积分号外后，易见所求极限为“ ”型未定式应当想到洛必达法则，而且含积分上限函数的未定式，除有的题可联想到导数定义、积分中值定理外，多数得利用洛必达法则 从而 x0 时，x n = x=0 时，x n =1，则 x n =1 (17)分别求左、右极限： )解析：27.设 x n+1 =ln(1+x
17、n )，x 1 0， (I)求 x n ； ()求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)注意：xln(1+x) (x0)，于是 x n+1 一 x n =ln(1+x n )一 x n 0 (n=1，2，3，) 极限 (a0) a=ln(1+a)又 a0 时 aln(1+a)，故 a=0 () )解析：28.设 a0 为常数，x n = ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0a1 时 0x n a n ， a n =0；当 a=1 时 x n = =0； 当a1 时 0x n =0 因此 )解析：29. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 (*) 利
18、用(*)，一方面有 另一方面，直接计算又有 这表明 3+a=0 a=3 将 a=3 代入(*)式，即得 故 b= )解析：30.讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：(I)y=(1+x)arctan ； (II)y= x)；()y=()=f(x)= ，x(0，2)；()y=fg(x)，其中 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)这是初等函数，它在定义域(x 2 1)上连续因此，x1 时均连续x=1时， 故 x=1 是第一类间断点(跳跃的)又 y=0，故 x=1 也是第一类间断点(可去) ()先求极限函数注意 =0(x1)， =0(x1)， x1 时，x1与x1 分别与某
19、初等函数相同，故连续 x=1 时均是第一类间断点(跳跃间断点)因左、右极限均 ，不相等 ()在区间(0，+)，1，0)上函数 y 分别与某初等函数相同，因而连续在x=0 处 y 无定义，而 x=0 是第一类间断点(可去间断点) ()f(x)= 是初等函数，在(0，2)内 f(x)有定义处均连续仅在 tan(x 无定义处及 tan(x )=0 处 f(x)不连续 (V)先求 fg(x)表达式 当 x1，x1 时，fg(x)分别与某初等函数相同，因而连续当x=1 时，分别求左、右极限 )解析：31.设 0x 0 1，x n+1 =x n (2x n )，求证：x n 收敛并求 （分数：2.00）_
20、正确答案：(正确答案：令 f(x)=x(2 一 x)，则 x n+1 =f(x n )易知 f(x)=2(1 一 x)0，x(0，1) 因 0x 0 1 x 1 =x 0 (2 一 x 0 )=1 一(x 0 一 1) 2 (0，1) 若 x n (0，1) x n+1 =x n (2 一 x n )(0，1) 又 x 1 一 x 0 =x 0 (1 一 x 0 )0 x n =a 由递归方程得 a=a(2 一a)显然 a0 )解析：32.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 取对数化乘积为和差 故 )解析：33.设 (x)=0，且 f(x)f * (x)，g(x)g * (x
21、)(xa) (I)当 xa 时 f(x)与 g(x)可比较，不等价( =)，求证：f(x)g(x)f * (x)g * (x)(xa)； (II)当 0xa 时 f(x)与 f * (x)均为正值，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)考察极限 因此，f(x)一 g(x)f * (x)一 g * (x)(xa) () 2+1=0+1=1， 其中 lnf * (x)=一 再证 )解析：34.设 f(x)在(a，b)连续，x 1 ，x 2 ，x n (a，b)， 1 ， 2 ， n 为任意 n 个正数，求证： (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题设 n
22、 个函数值 f(x 1 )，f(x 2 )，f(x n )中一定有最小和最大的，不妨设 minf(x 1 )，f(x n )=f(x 1 )， maxf(x 1 )，f(x n )=f(x n )， 则 记 f(x i )，若 =f(x 1 )，则 1 (a，b)，f()=；若 =f(x n )， 则 n (a，b)，f()= 若 f(x 1 )f(x n )，由定理知， )解析：解析：只需证明： 35.设 f(x)在a，b连续，且 xa，b，总 ya，b，使得f(y) f(x)试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法若在a，b上 f(x)处处不为零，则 f(x)在a，b上或恒正或恒负不失一般性，设 f(x)0，xa，b，则 0由题设，对此 x 0 ， ya，b，使得 f(y)=f(y) f(x 0 )f(x 0 )， 与 f(x 0 )是最小值矛盾因此， )解析：36.设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 由极限的不等式性质可知， X，当 xX 时 f(x) ，则 xX时有 因此 )解析：37.设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作变量替换： 这是 型数列极限将它转化为 型函数极限，便可用洛必达法则求之，即 )解析：
