1、考研数学一（高等数学）-试卷 61-1 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b03.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.4.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x
2、(0，)时，f(x)是单调减函数5.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e 2 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他6.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f
3、“(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1
4、)=1证明： (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)=12c； (2)存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_18.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_19.f(x)= （分数：2.00）_20.求 f(x)= （分数：2.00）_21.设 f(x)= （分数：2.00）_22.求函数 y=ln(x+ （分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00
5、）_24.求极限 （分数：2.00）_25.证明： （分数：2.00）_26.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切x 有f(x)e x 一 1证明：a 1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00）_27.求极限 （分数：2.00）_28.设函数 f(x)可导且 0f“(x) (k0)，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_29.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_30.设 f(x)在a，b上连续，任取 x
6、i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 61-1 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解析：因为 f(x)=3.设 (xa)，则 （分数：2.
7、00）A.eB.e 2C.1D. 解析：解析：4.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析：因为 f“(0)0，所以 0，根据极限的保号性，存在 0，当 x(0，)时，有5.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e 2 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于
8、 1 D.其他解析：解析：6.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续 C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若解析：解析：令 f(x)= 显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对； 令 f(x)=显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的，故(C)不对； 令 f(x)= f(0+h)一 f(0 一 h)=0，但 f(x)在 x=0 处不连续，(D)不对；若 f(x)在
9、 x=a 处连续，则 =f(a)，又 0f(x)f(a)f(x)f(a)，根据夹逼定理，二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：9.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：10.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：11.= 1 （分
10、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：12.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*(x2)）解析：解析：13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=一 1）填空项 1:_ （正确答案：b=1）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明： (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)=12c； (2)存在 0，2，使得
11、 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)=f(x)一 1+2x，(0)=一 1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=12c (2)因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M， )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 =1，因为 )解析：17.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 0
12、，1，因为 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加， 所以当xx 0 ，有 f(x 0 )， 令 xx 0 - ，由夹逼定理得 f(x 0 一 0)=f(x 0 )； 当 xx 0 时，有 )解析：18.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =k0，所以存在 x 0 0，当 xX 0 时，有f(x)一 k )解析：19.f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=k(k=0，一 1，一 2，)及 x=1 为 f(x)的间断点 )解析：20.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断
13、点为 x=0，一 1，一 2，及 x=1 )解析：21.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 f(x)= ， 其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 )解析：22.求函数 y=ln(x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2
14、，a n 为常数，且对一切x 有f(x)e x 一 1证明：a 1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设函数 f(x)可导且 0f“(x) (k0)，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n+1 x n =f(x n )一 f(x n1 )=f“( n )(x n 一 x n1 )，因为 f“(x)0，所以 x n+1 一 x n 与 x n 一 x n1 同号，故x n 单调 根据 f(x
15、)的可导性得 f(x)处处连续，等式 x n+1 =f(x n )两边令 n，得 )解析：29.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：30.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(x i )M(i=1，2，n)， 注意到 k i 0(i=1，2，n)， 所以有 k i mk i f(x i )k i /m(i=1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M， )解析：
