1、考研数学一（高等数学）-试卷 60 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x0 时，e x -(ax 2 +bx+1)是比 x 2 高阶的无穷小，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=1，b=1。C.a=D.a=-1，b=1。3.ln(1+t)dt=( ) （分数：2.00）A.ln(1+lnx)-2ln(1+2x)。B.ln(1+lnx)-ln(1+2x)。C.ln(1+lnx)-ln(1+2x)。D.ln(1+lnx)-2ln(1+2x)。4
2、.设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f“(a)0。B.f(x)取得极大值。C.f(x)取得极小值。D.f(x)的导数不存在。5.曲线 r=ae b 的(a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.直线 L 1 ： （分数：2.00）A.L 1 L 2 。B.L 1 与 L 2 相交但不垂直。C.L 1 上 L 2 且相交。D.L 1 ，L 2 是异面直线。7.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，cos，cos，cos 为该球面外法线向量的方向余弦，则 （分数：2.00）A.4R 3 。B.21R 3 。C.3R 4
3、。D.8.设 0a n (n=1，2，)，则下列级数中一定收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.若 y=xe x +x 是微分方程 y“-2y“+ay=bx+c 的解，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=1。B.a=1，b=1，c=-2。C.a=-3，b=-3，c=0。D.a=-3，b=1，c=1。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.点 A(4，-3，1)在平面：x+2y-z-3=0 上的投影是 1。（分数：2.0
4、0）填空项 1:_14.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 L 为曲线 y= 上从 O(0，0)到 的曲线段，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 y“-2y“+2y=e x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 f(x)= （分数：2.00）_20.设 g(x)= （分数：2.00）_21.假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=
5、f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：()在开区间(a，b)内 g(x)0；()在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 （分数：2.00）_23.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)可微，且 f(1，I)=1，f x (1，1)=2，f y (1，1)=3，(x)=f(x，f(x，x)，求 （分数：2.00）_24.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。（分数：2.00）_25.求二重积分 （分数：2.00
6、）_26.计算 I= （分数：2.00）_27.求幂级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 60 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x0 时，e x -(ax 2 +bx+1)是比 x 2 高阶的无穷小，则( )（分数：2.00）A.a= B.a=1，b=1。C.a=D.a=-1，b=1。解析：解析：因 e x =1+x+ +o(x 2 )，故 e x -(ax 2 +bx+1)=(1-b)x+ +o(x 2 )。 显然要使上
7、式是比 x 2 高阶的无穷小(x0 时)，只要 3.ln(1+t)dt=( ) （分数：2.00）A.ln(1+lnx)-2ln(1+2x)。 B.ln(1+lnx)-ln(1+2x)。C.ln(1+lnx)-ln(1+2x)。D.ln(1+lnx)-2ln(1+2x)。解析：解析：4.设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f“(a)0。B.f(x)取得极大值。 C.f(x)取得极小值。D.f(x)的导数不存在。解析：解析：利用赋值法求解。取 f(x)-f(a)=-(x-a) 2 ，显然满足题设条件，而此时 f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B。
8、5.曲线 r=ae b 的(a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，6.直线 L 1 ： （分数：2.00）A.L 1 L 2 。 B.L 1 与 L 2 相交但不垂直。C.L 1 上 L 2 且相交。D.L 1 ，L 2 是异面直线。解析：解析：直线 L 1 与 L 2 的方向向量分别为 由于 7.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，cos，cos，cos 为该球面外法线向量的方向余弦，则 （分数：2.00）A.4R 3 。B.21R 3 。C.3R 4 。D. 解析：解析：8.设 0a
9、 n (n=1，2，)，则下列级数中一定收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 0a n 可知，0 收敛及正项级数的比较判别法知，级数 收敛，从而 9.若 y=xe x +x 是微分方程 y“-2y“+ay=bx+c 的解，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=1。B.a=1，b=1，c=-2。 C.a=-3，b=-3，c=0。D.a=-3，b=1，c=1。解析：解析：由于 y=xe x +x 是方程 y“-2y“+ay=bx+c 的解，所以 xe x 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 r 1 =r 2 =1，则 a=1；x 为非齐次方程的解，将
10、 y=x 代入方程 y“-2y“+y=bx+c，得b=1，c=-2，故选 B。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：应用等价无穷小因子代换。因为11.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：原式整理得13.点 A(4，-3，1)在平面：x+2y-z-3=0 上的投影是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(5，-1，0)）解析：解析：根据题意，由点 A
11、 向平面作垂线 L，其参数方程为：x=t+4，y=2t-3，z=-t+1，代入到平面的方程得 (t+4)+2(2t-3)-(-t+1)-3=0， 解得 t=1。故 L 与平面的交点是(5，-1，0)，即投影点是(5，-1，0)。14.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 利用夹逼原理知15.设 L 为曲线 y= 上从 O(0，0)到 的曲线段，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：因为 (-2xysiny 2 )=-2ysiny 2 ，则该曲线积分与路径无关。 又 cosy 2 dx-2xysi
12、ny 2 dy=d(xcosy 2 )，则 16.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：幂级数的系数为 a n = ，根据收敛半径的判断方法，有 17.微分方程 y“-2y“+2y=e x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x cosx+C 2 e x sinx+e x）解析：解析：对应的特征方程为 r 2 -2r+2=0，解得其特征根为 r 1,2 =1i。 由于 =1 不是特征根，可设原方程的特解为 y * =Ae x ，代入原方程解得 A=1。 因此所求的通解为 y=C 1 e x cosx+
13、C 2 e x sinx+e x 。三、解答题(总题数：10，分数：20.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当x1 时,f(x)= 当 x=1 时，f(x)= 当 x=-1 时,f(x)=当x1 时，f(x)= 所以 )解析：20.设 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 若要 g(x)在 x=0 处连续，必须 =g(0)，即 b=-1。 故 b=-1，a为任意实数时，g(x)在 x=0 处连续。 ()若 g(x)在 x=0 处可导，则 g(x)在 x=0 处
14、连续(b=-1)，且 g“ - (0)=g“ + (0)， 所以 当 a= )解析：21.假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：()在开区间(a，b)内 g(x)0；()在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用反证法。假设存在 c(a，b)，使得 g(c)=0，则对 g(x)在a，c和c，b上分别应用罗尔定理，可知存在 1 (a，c)和 2 (c，b)，使得 g“( 1 )=g“( 2 )=0 成立。 再对 g“(x)在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理，可知存
15、在 1 ( 1 ， 2 )，使得 g“( 3 )=0 成立，这与题设条件 g“(x)0 矛盾，因此在开区间(a，b)内，g(x)0。 ()构造函数 F(x)=f(x)g“(x)-g(x)f“(x)，由题设条件得函数 F(x)在区间a，b上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理可知，存在点 (a，b)，使得 F“()=0。即 f()g“()-f“()g()=0， 因此可得 )解析：22.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 因为 f“(x)连续，所以 f“(x)在0，a上存
16、在最小值 m 和最大值 M，则 m(a-x)(a-x)f“(x)M(a-x)， 故 ，再由介值定理可知，至少存在一点 0，a，使得)解析：23.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)可微，且 f(1，I)=1，f x (1，1)=2，f y (1，1)=3，(x)=f(x，f(x，x)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知得 (1)=f(1，f(1，1)=f(1，1)=1，而 =3 2 (1)“(1)=3“(1)。由复合函数求导法则可得 “(x)=f“ 1 (x，f(x，x)+f“ 2 (x，f(x，x) “(1)=f“ 1 (1，1)+f“ 2 (1，1)f“ 1 (1，1)
17、+f“ 2 (1，1)。 又因 所以 “(1)=2+3(2+3)=17， )解析：24.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求在 D 内的驻点，即令 )解析：25.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 1-6-7 所示，D 的极坐标表示是： 0，0r2(1+cos)，)解析：26.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记为平面 x+y+z=2 上 L 所围部分。由 L 的定向，按右手法则知取上侧，的单位法向量 由斯托克斯公式得 由 z=2-x-y 可得 按第一类曲面积分化为二重积分得：其中 D 为在 xOy 平面上的投影区域x+y1(如图 1-6-13 所示)。由 D 关于 x，y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得 )解析：27.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以当 x 2 1，即-1x1 时，原幂级数绝对收敛。 当 x=1 时，级数为 ，显然收敛，故原幂级数的收敛域为-1，1。 因为 又 f(0)=0，所以 )解析：
