1、考研数学一（高等数学）-试卷 60-1 及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.= （分数：2.00）A.0B.C.+D.不存在但也不是3.设 f(x)=xsinxcosxcos2x，g(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低价无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.设有定义在(，+)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)= (C)h(x)= (D)m(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1
2、:_三、解答题(总题数：39，分数：78.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.判断下列结论是否正确，并证明你的判断 (I)若 x n y n (nN)，且存在极限 x n =A， y n =B，则 AB； (II)设 f(x)在(a，b)有定义，又 c(a，b)使得极限 f(x)=A，则f(x)在(a，b)有界； ()若 f(x)=，则 0 使得当 0xa 时 （分数：2.00）_7.设 f(x)= 又 a0，问 a 为何值时 （分数：2.00）_8.证明：(I) 不存在；()设 f(x)= ，则 （分数：2.00）_9.求 w= （分数：2.00）
3、_10.求极限 w= （分数：2.00）_11.求下列极限：()w= (II)w= （分数：2.00）_12.求 w= （分数：2.00）_13.求 w= （分数：2.00）_14.求 w= （分数：2.00）_15.求下列极限 f(x)：(I)f(x)= ()f(x)= （分数：2.00）_16.求数列极限 w= （分数：2.00）_17.设 x n = ，求 （分数：2.00）_18.求数列极限： (I) (M0 为常数)； (II)设数列x n 有界，求 （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，求 （分数：2.00）_20.设 a 1 0，a n+1 = (n=1，2，)，
4、求 （分数：2.00）_21.设 x 1 =2，x n+1 =2+ ，n=1，2，求 （分数：2.00）_22.求 w= （分数：2.00）_23.设 f(x)= （分数：2.00）_24.求下列极限：(I)w= (II)w= （分数：2.00）_25.求下列极限：(I)w= (II)w= （分数：2.00）_26.求下列极限：(I)w= ()w= （分数：2.00）_27.求下列极限：(I)w= ()w= （分数：2.00）_28.求下列极限： (I)w= (arcsinx) tanx ； ()w= ()w= ()w= （分数：2.00）_29.求 w= （分数：2.00）_30.设 f(x
5、)在0，+)连续，且满足 =1求 w= （分数：2.00）_31.(I)设 f(x)，g(x)连续，且 =1，又 (x)=0，求证：无穷小 g(t)dt (xa)； (II)求w= ln(1+2sint)dt （分数：2.00）_32.已知 （分数：2.00）_33.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_34.求 x n ，其中 x n = （分数：2.00）_35.证明 （分数：2.00）_36.求 w= （分数：2.00）_37.设 x n = ，求 （分数：2.00）_38.求数列极限 x n ，其中 x n =ne(1+ （分数：2.00）_39.当 x0 时下列无穷小是
6、 x 的 n 阶无穷小，求阶数 n： (I)e x42x2 1； (II)(1+tan 2 x) sinx 1； () () （分数：2.00）_40.设 0，0 为任意正数，当 x+时将无穷小量： （分数：2.00）_41.设 f(x)= （分数：2.00）_42.设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明：在0，1上至少存在一点 ，使得 f()=f(+ （分数：2.00）_43.设 f(x)在(，+)连续，存在极限 f(x)=B证明：(I)设 AB，则对 (A，B)，（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 60-1 答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一
7、、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.= （分数：2.00）A.0B.C.+D.不存在但也不是 解析：解析：因为 e t =+， e t =0，故要分别考察左、右极限由于 3.设 f(x)=xsinxcosxcos2x，g(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低价无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.设有定义在(，+)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)= (C)h(x)= (D)m(x)= （
8、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(I)B）填空项 1:_ （正确答案：()D）解析：解析：(I)当 x0 与 x0 时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续从而只需再考察哪个函数在点 x=0 处连续注意到若 f(x)= ，其中 g(x)在(，0连续 h(x)在0，+)连续因 f(x)=g(x)(x(，0) f(x)在 x=0 左连续若又有 g(0)=h(0) f(x)=h(x)(x0，+) f(x)在 x=0 右连续因此 f(x)在 x=0 连续(B)中的函数 g(x)满足：sinx x=0 =(cosx1) x=0 ，又 sinx，cosx1 均连续 g(x)在 x=0
9、 连续因此，(B)中的 g(x)在(，+)连续应选(B) ()关于(A)：由 x=0 是 f(x)的第一类间断点(跳跃间断点) 关于(C)：由 eh(0) =0 是 h(x)的第一类间断点(可去间断点) 已证(B)中 g(x)在 x=0 连续因此选(D) 或直接考察(D)由 =+ 三、解答题(总题数：39，分数：78.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.判断下列结论是否正确，并证明你的判断 (I)若 x n y n (nN)，且存在极限 x n =A， y n =B，则 AB； (II)设 f(x)在(a，b)有定义，又 c(a，b)使得极限
10、f(x)=A，则f(x)在(a，b)有界； ()若 f(x)=，则 0 使得当 0xa 时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)不正确在题设下只能保证 AB，不能保证 AB例如，x n = ，则 x n y n ，而 y n =0 ()不正确这时只能保证： 点 c 的一个空心邻域 U 0 (c，)=x0xc使 f(x)在 U 0 (c，)中有界，一般不能保证 f(x)在(a，b)有界例如：f(x)= ， (a，b)=(0，1)，取定 c(0，1)，则 在(0，1)无界 ()正确因为 =0，由存在极限的函数的局部有界性 0 使得当 0xa 时 )解析：7.设 f(x)= 又 a0，问
11、 a 为何值时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(0+0)= =， f(00)= =1.a.1=a(a0)， 由 f(0+0)=f(00)，得a=因此，当且仅当 a= 时，存在 )解析：解析：分别求右、左极限 f(0+0)与 f(00)，由 f(0+0)=f(00)定出 a 值8.证明：(I) 不存在；()设 f(x)= ，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)取 x n = ，y n = ，则均有 x n 0，y n 0(n)，但 =1，因此 不存在 (II)已知 f(x)= ，其中 g(x)= cost 2 dt，由于 cosx 2 =10， 而 不存在，所以 )
12、解析：9.求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是求 型极限，用相消法，分子、分母同除以(e x ) 2 得 w= =02=0 其中 )解析：10.求极限 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：w= )解析：11.求下列极限：()w= (II)w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)注意 x0 时，1cos(x x 4 ，e x4 1x 4 w= =4 (II)因为 2x. x 3 (x0)，ln(1+2x 3 )2x 3 (x0)，所以 w= )解析：12.求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 型先作恒等变形 然后用等价无穷小因子替换
13、：x0 时 sin 3 xx 3 ，ln(1+ x 2 sin 2 x， 于是 w= 最后用洛必达法则得 w=2 )解析：13.求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属型先通分化成 型未定式，则有 w= 直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到 ln(x+ ，从而 =1 这表明 ln(x+ )x(x0)因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用 ln(1+x)x(x0)就有 )解析：14.求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 ，而 或者 ln (x0)，若用该等价无穷小因子替换(可简化计算)，则有 因此 w= )解析：15.求下列极限 f(x)：(I)
14、f(x)= ()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求数列极限 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 lnn (n)用等价无穷小因子替换得 w= lnn 引入函数 f(x)=(x0)，则 w= )解析：17.设 x n = ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小 注意，已知 =1，于是 =1 因此 )解析：18.求数列极限： (I) (M0 为常数)； (II)设数列x n 有界，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)存在自然数 k，kM，使 1 ，当 nk 时，有 即当 nk 时，
15、有 0 是常数，且 =0，由夹逼定理知 =0 (II)由于x n 有界，故 M0，对一切 n 有x n M于是 0 n)，由题(I)的结论及夹逼定理知 )解析：19.设 f(x)在0，1上连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x n dx= ，且连续函数f(x)在0，1存在最大值记为 M，于是 又 =0，则 )解析：20.设 a 1 0，a n+1 = (n=1，2，)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然，0a n 3(n=2，3，)，于是a n 有界 令 f(x)= ，则 a n+1 =f(a n )，f(x)= 0 (x0) 于是 f(x)在 x0 单调
16、上升，从而a n 是单调有界的，故极 a n 存在令 a n =A，对递归方程取极限得 A= ，解得 A= 因此 a n = )解析：21.设 x 1 =2，x n+1 =2+ ，n=1，2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2+ ，则 x= n+1 =f(x n )显然 f(x)在 x0 单调下降，因而由上面的结论可知x n 不具单调性易知，2x n 设 x n =a，则由递归方程得 a=2+ ，即 a 2 2a1=0，解得 a= ，则由 a2 知 a= +12 现考察x n+1 a= x n a， 因此， x n =a= )解析：22.求 w= （分数：2.00）
17、_正确答案：(正确答案：x0 时，t=(1+x) x 10，则(1+x) x 1=tln(1+t)=ln(1+x) x =xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得 w= )解析：23.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)首先求出 f(x)注意到 故要分段求出 f(x)的表达式 当x1 时，f(x)= 当x1 时，f(x)= =ax 2 +bx 于是得 其次，由初等函数的连续性知 f(x)分别在(，1)，(1，1)，(1，+)上连续 最后，只需考察 f(x)在分界点 x=1 处的连续性这就要按定义考察连续性，分别计算： 从而 f(x)在 x=1 连续 f(1+0)
18、=f(10)=f(1) a+b=1= (a+b+1) a+b=1； f(x)在 x=1 连续 f(1+0)=f(10)=f(1) ab=1= (ab1) ab=1 因此 f(x)在 x=1 均连续 )解析：24.求下列极限：(I)w= (II)w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)恒等变形：分子、分母同乘 ，然后再同除 x 2 ，得 (II)恒等变形：分子、分母同除x(x0，x=x= )，得 )解析：25.求下列极限：(I)w= (II)w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)先恒等变形，并作等价无穷小因子替换：1cosx x(x0 + )， (II)这是求 型极
19、限，用洛必达法则得 )解析：26.求下列极限：(I)w= ()w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)属.0 型可先作恒等变形，然后用等价无穷小因子替换即得 w= ln3=ln3， 其中 ln3(x) ()属.0 型可化为 型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限 )解析：27.求下列极限：(I)w= ()w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)属.型先化成 型未定式，即 w= ，作等价无穷小因子替换与恒等变形再用洛必达法则即得 (II)属.型先作变量替换并转化成 型未定式，然后用洛必达法则 )解析：28.求下列极限： (I)w= (arcsinx) tanx ；
20、()w= ()w= ()w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)属 0 0 型 tanxln(arcsinx)= xln(arcsinx) 因此 w= =e 0 =1 ()属 1 型用求 1 型极限的方法(limf(x) g(x) =e A ，A=limg(x)f(x)1) w= =e A ， 而 故 w=e 2 ()属 0 型 1 因此 w=e 1 ()属 0 型利用恒等变形及基本极 =1 可得 w= )解析：29.求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 型先用等价无穷小关系 arctan 4 xx 4 (x0)化简分母后再用洛必达法则得 )解析：30.设 f(
21、x)在0，+)连续，且满足 =1求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作恒等变形转化为求 型极限，然后用洛必达法则 )解析：31.(I)设 f(x)，g(x)连续，且 =1，又 (x)=0，求证：无穷小 g(t)dt (xa)； (II)求w= ln(1+2sint)dt （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由 (II)因 ln(1+2sinx)2sinx 一 2x(x0)，由题(I) 2tdt=x 2 因此，利用等价无穷小因子替换即得 w= )解析：32.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式可改写成 =2由于该式成立，所以必有 3 =0，即 a=9
22、将 a=9代入原式并有理化得 )解析：33.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于当 x0 时对 常数 a，b 都有 ax 2 +bx+1e 2x 0，又已知分式的极限不为零，所以当 x0 时必有分母 dt0，故必有 c=0由于 )解析：34.求 x n ，其中 x n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作恒等变形后再作放大与缩小： 于是 又 ，故由夹逼定理知)解析：35.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先对积分 e x2 cosnxdx 建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分 于是 0(n)
23、因此 )解析：36.求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 x n = 是 f(x)=tanx 在0，1区间上的一个积分和由于 f(x)在0，1上连续，故可积，于是 因此，我们对 x n 用适当放大缩小法，将求 x n 转化为求积分和的极限因 又 于是由夹逼定理得 )解析：37.设 x n = ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先取对数化为和式的极限 lnx n = ln(n 2 +i 2 )4lnn，然后作恒等变形(看看能否化为积分和的形式)，则 它是 f(x)=ln(1+x 2 )在0，2区间上的一个积分和(对0，2区间作 2n 等分，每个小区间长 )，则 =
24、2ln54+2arctan2 因此 )解析：38.求数列极限 x n ，其中 x n =ne(1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用等价无穷小因子替换： 于是 现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得 )解析：39.当 x0 时下列无穷小是 x 的 n 阶无穷小，求阶数 n： (I)e x42x2 1； (II)(1+tan 2 x) sinx 1； () () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)e x42x2 1x 4 2x 2 2x 2 (x0)，即当 x0 时 e x42x2 1 是 x的 2 阶无穷小，故 n=2 (II)(1+tan 2 x) sinx 1
25、ln(1+tan 2 x) sinx 1+1 =sinxln(1+tan 2 x)sinxtan 2 xx.x 2 =x 3 (x0)， 即当 x0 时(1+tan 2 x) sinx 1 是 x 的 3 阶无穷小，故 n=3 ()由 1 是 x 的 4 阶无穷小，即当 x0 时 是 x 的 4 阶无穷小，故 n=4 () 即当x0 时 )解析：40.设 0，0 为任意正数，当 x+时将无穷小量： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先考察 lny= e lny =0再考察 因此，当 x+时，按从低阶到高阶的顺序排列为 )解析：41.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答
