1、考研数学一（高等数学）-试卷 59 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 X 一口，X一 6 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（分数：2.00）A. a b 2mf(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxB. a b 2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dxC. a b m 一 f(x)+g(x)f(x)
2、一 g(x)dxD. a b m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx3.矩形闸门宽口米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（分数：2.00）A.g 0 h ah dhB.g 0 a ah dhC.g 0 h D.2g 0 h ah dh4.在曲线 y=(x 一 1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5. 0 + e 7 （分数：2.00）填空项 1:_6. 1 + （分数
3、：2.00）填空项 1:_7. e + （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 y=x 4 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_11.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，)，使得 f“()=0（分数：2.00）_12.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)
4、内可导，f(0)=f(2)=0，且f“(x)2证明： 0 2 f(x)dx2（分数：2.00）_13.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 a b f(x)dx=(ba)f （分数：2.00）_14.设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数 (1)证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设 f(x)在(0，1)内可导，且f“(x) （分数：2.00）_15.求曲线 y=cosx(一 （分数：2.00）_16.设 L：y=sinx(0x )由 x=0，L 及 y=sin
5、t 围成面积 S 1 (t)；由 y=sint、L 及 x= （分数：2.00）_17.设 f(x)= 1 x (1 一t)dt(x1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积（分数：2.00）_18.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 y= x，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_19.设曲线 y=a+xx 2 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、
6、x 轴所围成图形的面积和在x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_20.求曲线 y=x 2 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_21.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_22.设 L：y=e x (x0) (1)求由 y=e x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 z 轴旋转一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 V(c)= （分数：2.00）_23.求由曲线 y=4
7、 一 x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_24.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_25.求摆线 L： （分数：2.00）_26.设曲线 （分数：2.00）_27.设一抛物线 y=ax 2 +bx+C 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_28.设直线 y=kx 与曲线 y= （分数：2.00）_29.求摆线 （分数：2.00）_30.设曲线 y= （分数：2.00）_31.一半径为 R 的球沉入水中
8、，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 59 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 X 一口，X一 6 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（分数：2.00）A. a b 2mf(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxB. a b 2m 一 f
9、(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx C. a b m 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxD. a b m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx解析：解析：由元素法的思想，对x，x+dx 3.矩形闸门宽口米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（分数：2.00）A.g 0 h ah dh B.g 0 a ah dhC.g 0 h D.2g 0 h ah dh解析：解析：取x，x+dx 4.在曲线 y=(x 一 1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何
10、体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：过曲线 y=(x 一 1) 2 上点(2，1)的法线方程为 y=一 x+2，该法线与 x 轴的交点为(4，0)，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V= 1 2 (x 一 1) 4 dx+ 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5. 0 + e 7 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：6. 1 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7. e + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解
11、析：解析：8.曲线 y=x 4 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：23，分数：46.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= a x f(t)dt b x g(t)dt，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0，而 “(x)=f(x) b x g(t)dt+g(x
12、) a x f(t)dt，所以 f() b g(x)dx+g() a f(x)dx=0，即 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx)解析：11.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)sintdt，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x 1 (0，)，使得 F“(x 1 )=0，即 f(x 1 )sinx 1 =0，又因为 sinx 1 0，所以 f(x 1 )=0 设 x 1 是 f(x)在(0，)内唯
13、一的零点，则当 x(0，)且 xx 1 时，有 sin(xx 1 )f(x) 恒正或恒负，于是 0 sin(xx 1 )f(x)dx0 而 0 sin(xx1)f(x)dx=cosx 0 f(x)sinxdxsinxl 0 f(x)cosxdx=0，矛盾，所以 f(x)在 (0，)内至少有两个零点不妨设 f(x 1 )=f(x 2 )=0，x 1 ，x 2 (0，7c)且 x 1 x 2 ，由罗尔中值定理，存在 (x 1 ，x 2 ) )解析：12.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f“(x)2证明： 0 2 f(x)dx2（分数：2.00）_正确答案：
14、(正确答案：由微分中值定理得 f(x)f(0)=f“( 1 )x，其中 0 1 x，f(x)一 f(2)=f“( 2 )(x 一 2)，其中 x 2 2，于是 )解析：13.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 a b f(x)dx=(ba)f （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt，则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取 x 0 = ，由泰勒公式得 )解析：14.设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数 (1)证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的
15、曲边梯形的面积； (2)设 f(x)在(0，1)内可导，且f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)S 1 (c)=cf(c)，S 2 (c)= c 1 f(t)dt=一 1 c f(t)dt，即证明 S 1 (c)=S 2 (c)，或 cf(c)+ 1 c f(t)dt=0令 (x)=x 1 x f(t)dt，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在f(0，1)，使得 “(c)=0，即 cf(f)+ 1 c f(t)dt=0，所以 S 1 (c)=S 2 (c)，命题得证 (2)令 h(x)=xf(x)一 x 1 f(t)dt，因为 h“(x)=f(x)+xf“(x)0，所以
16、 h(x)在0，1上为单调函数，所以(1)中的c 是唯一的)解析：15.求曲线 y=cosx(一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 L：y=sinx(0x )由 x=0，L 及 y=sint 围成面积 S 1 (t)；由 y=sint、L 及 x= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 1 (t)=tsint 0 t sinxdx=tsint+cost1， )解析：17.设 f(x)= 1 x (1 一t)dt(x1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当一 1x0 时，f(x)= 1 x (1 一
17、|t|)dt= 1 x (t+1)dt )解析：18.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 y= x，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设曲线 y=a+xx 2 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=a
18、+xx 与 x 3 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 一 0 (a+xx)dx= (a+xx 3 )dx，移项得 0 (a+x 一 x 3 )dx+ (a+xx 3 )dx= 0 (a+xx 3 )dx=0(4a+2 一 3 )=0， 因为 0，所以 4a+2 一 3 =0 又因为(，0)为曲线 y=a+xx 3 与 x 轴的交点，所以有 + 一 3 =0，从而有 =一 3aa 一 3a+27a 3 =0a=一 )解析：20.求曲线 y=x 2 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
19、 )解析：21.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 L：y=e x (x0) (1)求由 y=e x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 z 轴旋转一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 V(c)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求由曲线 y=4 一 x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+x 2，2，则 dV=2(3x)(4
20、一 x 2 )dx， V=dV=2 2 2 (3 一 x)(4 一 x 3 )dx=6 2 2 (4 一 x 3 )dx =12 2 2 (4 一 x 3 )dx=12 )解析：24.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为(a，a 2 )(a0)，则切线方程为 y 一 a 2 =2a(x 一 a)，即 y=2ax一 a 2 ， )解析：25.求摆线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分
21、别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4 一 a曲线可化为 )解析：27.设一抛物线 y=ax 2 +bx+C 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2a 因为a0，所以 b0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0，一 ，所以 )解析：28.设直线 y=kx 与曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由 于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， dw=(2Rx)R 2 一(Rx) 2 1gdx=x(2Rx) 2 gdx， W= 0 2R dw= )解析：
