1、考研数学一（高等数学）-试卷 58 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.累次积分 d 0 cos rf(rcos0，rsin)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 D=(x，y)0x，0y，则 sinxsinymaxx，yd 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 （分数：2.00）A.1B.2C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x，y
2、)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设连续函数 f(x)，f(0)=0，F(t)= z 2 +f(x 2 +y 2 )dxdydz， t ：x 2 +y 2 t 2 ，0z1，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：
3、2.00）_12.设 f(x，y)= （分数：2.00）_13.设 z= （分数：2.00）_14.设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：2.00）_15.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_16.设 z= （分数：2.00）_17.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_18.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，
4、(u)可微，P(t)，“(u)连续，且 “(u)1，求 （分数：2.00）_19.设 z=z(x，y)满足 （分数：2.00）_20.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4x 一 y)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_21.求函数 u=x+y+z 在沿球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 上的点(x 0 ，y 0 ，z 0 )的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?（分数：2.00）_22.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分别为 q 1 ，q
5、2 ，需求函数分别为 q 1 =2402p 1 ，q 2 =10005p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 )，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?（分数：2.00）_23.设二元函数 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_24.设 ：x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在(，)内有连续的导数且 x“ 2 (t)+y“ 2 (t)0，f(x，y)在 D 内有连续的偏
6、导数若 P 0 上的极值点，证明：f(x，y)在点 P 0 沿 （分数：2.00）_25.已知二元函数 f(x，y)满足 （分数：2.00）_26.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_27.计算二重积分 I= （分数：2.00）_28.计算 （分数：2.00）_29.已知 f(x，y)= ，设 D 为由 x=0，y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_30.计判 （分数：2.00）_31.计算 I= （分数：2.00）_32.计算 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 58 答案解析(总分：64.00，做题时间：
7、90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.累次积分 d 0 cos rf(rcos0，rsin)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y3.设 D=(x，y)0x，0y，则 sinxsinymaxx，yd 等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性，令 D 1 =(x，y)0x，0yx， 4.设 （分数：2.00）A.1B.2 C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5
8、.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf(x 2 1)）解析：解析：6.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：7.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2）解析：解析：9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析
9、：解析：在 D 1 =(x，y)x+，0y1)上，f(y)=y； 在 D 2 ：0x+y1 上，f(x+y)=x+y， 则在 D 0 =D 1 D 2 =(x，y)yx1 一 y，0y1上，f(y)f(x+y)y(x+y)， 所以 10.设连续函数 f(x)，f(0)=0，F(t)= z 2 +f(x 2 +y 2 )dxdydz， t ：x 2 +y 2 t 2 ，0z1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：22，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 f(x，y)=
10、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 从而 )解析：15.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)，两边对 t 求导得 )解析：16.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(
11、x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得 )解析：18.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且 “(u)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 z=z(x，y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解
12、析：20.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4x 一 y)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L 1 ：y=0(0x6)上，z=0； 在 L 2 ：x=0(0y6)上，z=0； 在 L 3 ：y=6 一 x(0x6)上，z=一 2x 2 (6 一 x)=2x 3 一 12x 2 ， 由 =6x 2 24x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=一 64，所以 f(x，y) 在 L 3 上最小值为一 64，最大值为 0
13、(2) )解析：21.求函数 u=x+y+z 在沿球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 上的点(x 0 ，y 0 ，z 0 )的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的外法向量为 n=2x 0 ，2y 0 ，2z 0 ， )解析：22.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 =2402p 1 ，q 2 =10005p 2 ，总成本函数为 C=35+
14、40(q 1 +q 2 )，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：p 1 =1205q 1 ，p 2 =20020q 2 ，收入函数为 R=p 1 q 1 +p 2 q 2 ， 总利润函数为 L=RC=(1205q 1 )q 1 +(20020q 2 )q 2 一35+40(q 1 +q 2 )， 由 )解析：23.设二元函数 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(
15、必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f“ x (0，0)，f“ y (0，0)存在 )解析：24.设 ：x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在(，)内有连续的导数且 x“ 2 (t)+y“ 2 (t)0，f(x，y)在 D 内有连续的偏导数若 P 0 上的极值点，证明：f(x，y)在点 P 0 沿 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.已知二元函数 f(x，y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
16、由 F(t)= 0 2 drf(r 2 )dr=2 0 t rf(r 2 )dr= f(u)du， 得 F“(t)=2tf(t 2 )，F“(0)=0， F“(0)= )解析：27.计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.已知 f(x，y)= ，设 D 为由 x=0，y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t0 时，F(t)=0， )解析：30.计判 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =x，y)0x1，0yx，D 2 =(x，y)0xy，0y1，则 )解析：31.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)一 1x1，0yx 2 ， D 2 =(x，y)一 1x1，x 2 y2， )解析：32.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
