1、考研数学一（高等数学）-试卷 57 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x-a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x)是 x-a 的 n+m 阶无穷小。若 nm，则 （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.0。3.设在0，1上 f“(x)0，则 f“(0)f“(1)，f(1)-f(0)或 f(0)-f(1)的大小顺序是( )（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f
2、(1)-f(0)。B.f“(1)f(1)-f(0)f“(0)。C.f(1)-f(0)f“(1)f“(0)。D.f“(1)f(0)-f(1)f“(0)。4.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：2.00）A.不可导。B.可导且 f“(0)0。C.取得极大值。D.取得极小值。5.半圆形闸门半径为 R 米，将其垂直放入水中，且直径与水面齐平，设水的比重 =1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.函数 u=x 2 y 3 z 4 在点 A(1，1，1)处沿从点 A 到点 B(2，3，4)的方向的方向导数
3、等于( )（分数：2.00）A.20。B.-20。C.D.7.设平面 D 由 x+y= ，x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1 = ln(x+y) 3 dxdy，I 2 = (x+y) 3 dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 3 I 1 I 2 。C.I 1 I 3 I 2 。D.I 3 I 2 I 1 。8.设 u n =(-1) n ln(1+ )，则级数( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y“-y“-y
4、“+y=0。B.y“+y“-y“-y=0。C.y“-6y“+11y“-6y=0。D.y“-2y“-y“+2y=0。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.设 a 1 ，a 2 ，a m (m2)为正数，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)是由方程 （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_15.交换二次积分的积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 L 是柱面 x 2 +y 2 =1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正
5、向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_17.幂级数 (x+2) n 在 x=0 处收敛，在 x=-4 处发散，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_18.若二阶常系数齐次线性微分方程 y“+ay“+by=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程y“+ay“+by=x 满足条件 y(0)=2，y“(0)=0 的解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.求函数 f(x)= （分数：2.00）_21.设 f(x)在
6、(-，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，又设 f“(0)=a(a0)，试证明对任意 x，f“(x)都存在，并求 f(x)。（分数：2.00）_22.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)-0，f(1)=1。证明：()存在 (0，1)，使得 f()=1-；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f“()f“()=1。（分数：2.00）_23.设 f(x)= （分数：2.00）_24.设 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1，求
7、 （分数：2.00）_25.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 I= （分数：2.00）_26.设为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z)，为在点 P 处的切平面，p(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面的距离，求 （分数：2.00）_27.()验证函数 y(x)= (-x+)满足微分方程 y“+y“+y=e x ; ()求幂级数 y(x)= （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 57 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.
8、00）_解析：2.设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x-a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x)是 x-a 的 n+m 阶无穷小。若 nm，则 （分数：2.00）A.1。B.2。 C.3。D.0。解析：解析：此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义： 关于： 故 f(x)g(x)是 x-a 的 n+m阶无穷小； 关于： 若 nm， 故 f(x)g(x)是 x-a 的 n-m 阶无穷小； 关于： 例如，x0 时，sinx 与-x 均是 x 的一阶无穷小，但3.设在0，1上 f“(x)0，则 f“(0)f“(1)，f(1)-f(0)或 f(0)-f(
9、1)的大小顺序是( )（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)-f(0)。B.f“(1)f(1)-f(0)f“(0)。 C.f(1)-f(0)f“(1)f“(0)。D.f“(1)f(0)-f(1)f“(0)。解析：解析：由已知 f“(x)0，x0，1，所以函数 f“(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得 f(1)-f(0)=f“()，(0，1)。 因此有 f“(0)f“()4.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：2.00）A.不可导。B.可导且 f“(0)0。C.取得极大值。D.取得极小值。 解析：解析：当 x0 时，1-cosx x
10、 2 ，故极限条件等价于 5.半圆形闸门半径为 R 米，将其垂直放入水中，且直径与水面齐平，设水的比重 =1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：如图 1-3-6 所示，任取x，x+dx0，R，相应的小横条所受压力微元 闸门所受压力 。故选 C。6.函数 u=x 2 y 3 z 4 在点 A(1，1，1)处沿从点 A 到点 B(2，3，4)的方向的方向导数等于( )（分数：2.00）A.20。B.-20。C. D.解析：解析：7.设平面 D 由 x+y= ，x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1 = ln(x+y) 3
11、dxdy，I 2 = (x+y) 3 dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 3 I 1 I 2 。C.I 1 I 3 I 2 。 D.I 3 I 2 I 1 。解析：解析：显然在 D 上 x+y1，则 ln(x+y) 3 0sin(x+y) 3 (x+y) 3 ， 从而有 8.设 u n =(-1) n ln(1+ )，则级数( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 是一个交错级数，而 单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知，级数 收敛。9.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方
12、程是( )（分数：2.00）A.y“-y“-y“+y=0。B.y“+y“-y“-y=0。 C.y“-6y“+11y“-6y=0。D.y“-2y“-y“+2y=0。解析：解析：由 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 是所求方程的三个特解知，r=-1，-1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r-1)(r+1) 2 =0，即 r 3 +r 2 -r-1=0，对应的微分方程为 y“+y“-y“-y=0，故选 B。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.设 a 1 ，a 2 ，a m (m2)为正数，则 （分数：2.00）填空项
13、1:_ （正确答案：正确答案：maxa 1 ，a 2 ，a m ）解析：解析：不妨设 a 1 为最大值，则 11.设 y=y(x)是由方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在方程两边对 x 求导得12.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 代入原方程可得 即 (z 2 +y 2 ) 2 +32(y 2 -z 2 )=0。 因此，曲线 在 yOz 平面上的投影方程为 14.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
14、答案：正确答案：*）解析：解析：15.交换二次积分的积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D：-1y0，1-yx2(如图 1-6-3 所示)。则有16.设 L 是柱面 x 2 +y 2 =1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：曲线 L 的参数方程为 其中 t：02。因此17.幂级数 (x+2) n 在 x=0 处收敛，在 x=-4 处发散，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
15、案：正确答案：(1，5）解析：解析：由题意可知， 的收敛域为(-4，0，则 的收敛域为(-2，2。所以18.若二阶常系数齐次线性微分方程 y“+ay“+by=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程y“+ay“+by=x 满足条件 y(0)=2，y“(0)=0 的解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x(1-e x )+2）解析：解析：由 y=(C 1 +C 2 x)e x 是齐次方程的通解可知，r=1 是齐次方程对应的特征方程的二重根，则特征方程为(r-1) 2 =0，即 r 2 -2r+1=0。则 a=-2，b=1。 设非齐次方程的一
16、个特解为 y * =Ax+B，将之代入原方程得 A=1，B=2，非齐次方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x +x+2。 由 y(0)=2，y“(0)=0 得 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x)有间断点 x=0，x=1，x=-1，且 )解析：21.设 f(x)在(-，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，又设 f“(0)=a(a0)，试证明对任意 x，f“(x)都
17、存在，并求 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，得 f(0)=0。由导数定义得 )解析：22.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)-0，f(1)=1。证明：()存在 (0，1)，使得 f()=1-；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f“()f“()=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 F(x)=f(x)-1+x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=-100，F(1)=10，于是由介值定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1-。
18、()在0，和，1上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 (0，)，(，1)，使得 )解析：23.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 tt为奇函数，所以其原函数 为偶函数，则由 f(-1)=0，得 f(1)=0，即 y=f(x)与 x 轴有交点(-1，0)，(1，0)。 又由 f“(x)=xx，可知 x0 时，f“(x)0，故 f(x)单调减少，从而 f(x)f(-1)=0(-1x0)；当 x0 时，f“(x)=xx0，故 f(x)单调增加，且 y=f(x)与x 轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与 x 轴交点仅有两个。 所以封闭图形的面积 )
19、解析：24.设 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =f“ 1 (xy，yg(x)y+f“ 2 (xy，yg(x)yg“(x)， =f“ 11 (xy，yg(x)xy+f“ 12 (xy，yg(x)yg(x)+f“ 1 (xy，yg(x)+f“ 21 (xy，yg(x)xyg“(x)+f“ 22 (xy，yg(x)yg(x)g“(x)+f“ 2 (xy，yg(x)g“(x)。 由 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1，可知g“(1)=0。故 )解析
20、：25.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 1-6-9 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称，f(x，y)= 是变量y 的偶函数，g(x，y)= 是变量 y 的奇函数。 取 D 1 =Dy0，则 )解析：26.设为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z)，为在点 P 处的切平面，p(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面的距离，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，z)= ，设(X，Y，Z)为上任意一点，则的方程为 F x (X-x)+F y (Y-y)+F z (Z-z)=0， 即 从而知 )解析：27.()验证函数 y(x)= (-x+)满足微分方程 y“+y“+y=e x ; ()求幂级数 y(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()幂级数 的收敛域是 R，因而可在 R 上逐项求导数，得 ()与y“+y“+y“=e x 对应的齐次微分方程为 y“+y“+y=0，其特征方程为 2 +1=0，特征根为 1,2 = ，所以齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 y * =Ae x ，将 y * 代入方程y“+y“+y=e。可得 A= ，因此，方程通解为 )解析：
