1、考研数学一(高等数学)-试卷 56 及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x),g(x)是连续函数,当 x0 时,f(x)与 g(x)是等价无穷小,令 F(x)= 0 x f(xt)dt,G(x)= 0 1 xg(xt)出,则当 x0 时,F(x)是 G(x)的( )(分数:2.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小3.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt,则 F(x)( )(分数:2.00)A.为
2、正常数B.为负常数C.为零D.取值与 z 有关4.设 = (分数:2.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小二、填空题(总题数:7,分数:14.00)5.设 f(sin 2 x)= (分数:2.00)填空项 1:_6.设 f(lnx)= (分数:2.00)填空项 1:_7.设xf(x)dx=arcsinx+C,则 (分数:2.00)填空项 1:_8.设 f(x)为连续函数,且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_9.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_10.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_
3、11.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:18,分数:36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_13.设 f(x)= (分数:2.00)_14.设 f(x)连续,且 f(x)=2 0 x f(x 一 t)dt+e x ,求 f(x)(分数:2.00)_15.求 (分数:2.00)_16.计算 (分数:2.00)_17. (分数:2.00)_18. (分数:2.00)_19. (分数:2.00)_20. (分数:2.00)_21.设 f(x)连续,且 0 x tf(2xt)dt= (分数:2.00)_22.计算 (分数:2.00)
4、_23.计算 (分数:2.00)_24.设 F(x)为 f(x)的原函数,且当 x0 时,f(x)F(x)= (分数:2.00)_25.设 f“(lnx)= (分数:2.00)_26. (分数:2.00)_27.设 f(x)= 0 x e cost dt,求 0 f(x)cosxdx(分数:2.00)_28. (分数:2.00)_29.设 f(x)连续, 0 x tf(x 一 t)dt=1cosx,求 (分数:2.00)_考研数学一(高等数学)-试卷 56 答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项
5、符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x),g(x)是连续函数,当 x0 时,f(x)与 g(x)是等价无穷小,令 F(x)= 0 x f(xt)dt,G(x)= 0 1 xg(xt)出,则当 x0 时,F(x)是 G(x)的( )(分数:2.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 解析:解析:3.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt,则 F(x)( )(分数:2.00)A.为正常数 B.为负常数C.为零D.取值与 z 有关解析:解析:由周期函数的平移性质,F(x)= x x+2 e sint sintdt 一 - e sint
6、sintdt,再由对称区间积分性得 F(x)= 0 (e sint sinte -sint sint)dt= 0 (e sint 一 e -sint )sintdt,又(e sint 一 e -sint )sint 连续、非负、不恒为零,所以 F(x)0,选(A)4.设 = (分数:2.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析:解析:因为二、填空题(总题数:7,分数:14.00)5.设 f(sin 2 x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:arcsin 2 )解析:解析:6.设 f(lnx)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确
7、答案:正确答案: )解析:解析:7.设xf(x)dx=arcsinx+C,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:8.设 f(x)为连续函数,且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:f(x)=cosxxsinx+C)解析:解析:由 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx,得 0 1 f(xt)d(xt)=xf(x)+x 2 sinx,即 0 x f(t)dt=xf(x)+x 2 sinx,两边求导得 f“(x)=一 2sinx xcosx,积分得 f(x)=cosx
8、xsinx+C9.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:10.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:11.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:18,分数:36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:13.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:14.设 f(x)连续,且 f(x)=2 0 x f(x 一 t)dt+e x ,求 f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案
9、: 0 x f(xt)dt )解析:15.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:17. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:19. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为(x 2 e x )“=(x x +2x)e x , )解析:20. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.设 f(x)连续,且 0 x tf(2xt)dt= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.计算 (分数:2.00)_
10、正确答案:(正确答案: )解析:23.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.设 F(x)为 f(x)的原函数,且当 x0 时,f(x)F(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:两边积分得 F 2 (x)= )解析:25.设 f“(lnx)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 lnx=t,则 f“(t)= ,当 t0 时,f(t)=t+C 1 ;当 t0 时,f(t)=e t +C 2 显然 f“(t)为连续函数,所以 f(t)也连续,于是有 C 1 =1+C 2 ,故 f(x)= )解析:26. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解
11、析:27.设 f(x)= 0 x e cost dt,求 0 f(x)cosxdx(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)d(sinx)=f(x)sinx 0 0 f“(x)sinxdx = 0 e cosx sinxdx=e cosx 0 =e -1 e)解析:28. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:29.设 f(x)连续, 0 x tf(x 一 t)dt=1cosx,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 0 x tf(xt)dt x 0 (x 一 u)f(u)(一 du)= 0 x (xu)f(u)du =x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du, 得 x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du=1 一 cosx, 两边求导得 0 x f(u)du=sinx,令 x= )解析: