1、考研数学一（高等数学）-试卷 56 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)= 0 x f(xt)dt，G(x)= 0 1 xg(xt)出，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小3.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为
2、正常数B.为负常数C.为零D.取值与 z 有关4.设 = （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(sin 2 x)= （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(lnx)= （分数：2.00）填空项 1:_7.设xf(x)dx=arcsinx+C，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_
3、11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 f(x)= （分数：2.00）_14.设 f(x)连续，且 f(x)=2 0 x f(x 一 t)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.计算 （分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）
4、_23.计算 （分数：2.00）_24.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= （分数：2.00）_25.设 f“(lnx)= （分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27.设 f(x)= 0 x e cost dt，求 0 f(x)cosxdx（分数：2.00）_28. （分数：2.00）_29.设 f(x)连续， 0 x tf(x 一 t)dt=1cosx，求 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 56 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
5、符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)= 0 x f(xt)dt，G(x)= 0 1 xg(xt)出，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 解析：解析：3.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.为零D.取值与 z 有关解析：解析：由周期函数的平移性质，F(x)= x x+2 e sint sintdt 一 - e sint
6、sintdt，再由对称区间积分性得 F(x)= 0 (e sint sinte -sint sint)dt= 0 (e sint 一 e -sint )sintdt，又(e sint 一 e -sint )sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选(A)4.设 = （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：因为二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(sin 2 x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arcsin 2 ）解析：解析：6.设 f(lnx)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
7、答案：正确答案： ）解析：解析：7.设xf(x)dx=arcsinx+C，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)=cosxxsinx+C）解析：解析：由 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 0 1 f(xt)d(xt)=xf(x)+x 2 sinx，即 0 x f(t)dt=xf(x)+x 2 sinx，两边求导得 f“(x)=一 2sinx xcosx，积分得 f(x)=cosx
8、xsinx+C9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)连续，且 f(x)=2 0 x f(x 一 t)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
9、： 0 x f(xt)dt )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(x 2 e x )“=(x x +2x)e x ， )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算 （分数：2.00）_
10、正确答案：(正确答案： )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边积分得 F 2 (x)= )解析：25.设 f“(lnx)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 lnx=t，则 f“(t)= ，当 t0 时，f(t)=t+C 1 ；当 t0 时，f(t)=e t +C 2 显然 f“(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1 =1+C 2 ，故 f(x)= )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解
11、析：27.设 f(x)= 0 x e cost dt，求 0 f(x)cosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)d(sinx)=f(x)sinx 0 0 f“(x)sinxdx = 0 e cosx sinxdx=e cosx 0 =e -1 e)解析：28. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 f(x)连续， 0 x tf(x 一 t)dt=1cosx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x tf(xt)dt x 0 (x 一 u)f(u)(一 du)= 0 x (xu)f(u)du =x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du， 得 x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du=1 一 cosx， 两边求导得 0 x f(u)du=sinx，令 x= )解析：
