1、考研数学一(高等数学)-试卷 47 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设函数 f(x)= 在(-,+)内连续,且 (分数:2.00)A.a0,b0。B.a0,b0。C.a0,b0。D.a0,b0。3.设 f(x)=(x-1)(x-2) 2 (x-3) 3 ,则导数 f“(x)不存在的点的个数是( )(分数:2.00)A.0。B.1。C.2。D.3。4.设 f(x)在(0,+)内二阶可导,满足 f(0)=0,f“(x)0(x0),又设 ba0,则 ax
2、b 时,恒有( )(分数:2.00)A.af(x)xf(a)。B.by(x)xf(b)。C.xf(x)bf(b)。D.xf(x)af(a)。5.设可微函数 f(x,y,z)在点(x 0 ,y 0 ,z 0 )处的梯度向量为 g,l=(0,2,2)为一常向量,且g.l=1,则函数 f(x,y,z)在点(x 0 ,y 0 ,z 0 )处沿 l 方向的方向导数等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D.6.设 f(x)为连续函数,F(t)= (分数:2.00)A.2f(2)。B.f(2)。C.-f(2)。D.0。7.a n 和 b n 符合下列哪一个条件可由 (分数:2.00)A.a n b n
3、。B.a n b n 。C.a n b n 。D.a n b n 。8.方程 x 2 y“+2xy“-2y=0 的通解为( )(分数:2.00)A.y=C 1 e x +C 2 e 2x 。B.y=(C 1 +C 2 x)e x 。C.y=C 1 x+C 2 x 2 。D.y= 二、填空题(总题数:10,分数:20.00)9.x表示不超过 x 的最大整数,则 (分数:2.00)填空项 1:_10.若函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_11.作变量替换 x=lnt,方程 (分数:2.00)填空项 1:_12.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_13.r= (分数
4、:2.00)填空项 1:_14.设 f(u,v)为二元可微函数,z=f(x y ,y x ),则 (分数:2.00)填空项 1:_15.D 是圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域,则 (分数:2.00)填空项 1:_16.设曲面:x+y+z=1,则 (分数:2.00)填空项 1:_17.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_18.欧拉方程 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_20.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定,试判断曲线 y=y(x)在点(1,1
5、)附近的凹凸性。(分数:2.00)_21.设 f(x)在a,b上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点 (a,b),使 (分数:2.00)_22.计算不定积分 (分数:2.00)_23.设曲线 L 的参数方程为 x(t)=t-sint,y(t)=1-cost(0t2)。求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V。(分数:2.00)_24.试确定常数 a 与 b,使得经变换 u=x+ay,v=x+by,可将方程 (分数:2.00)_25.设 D=(x,y)x 2 +y 2 ,x0,y0,1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。
6、计算二重积分 (分数:2.00)_26.计算 (分数:2.00)_27.求级数 (分数:2.00)_28.设函数 y=y(x)在(-,+)内具有二阶导数,且 y“0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数。()试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程;()求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0,y“(0)= (分数:2.00)_考研数学一(高等数学)-试卷 47 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设函数 f(x)
7、= 在(-,+)内连续,且 (分数:2.00)A.a0,b0。B.a0,b0。C.a0,b0。D.a0,b0。 解析:解析:因 f(x)连续,故 a+e bx O,因此只要 a0 即可。再由 3.设 f(x)=(x-1)(x-2) 2 (x-3) 3 ,则导数 f“(x)不存在的点的个数是( )(分数:2.00)A.0。B.1。 C.2。D.3。解析:解析:设 (x)=(x-1)(x-2) 2 (x-3) 3 ,则 f(x)=(x)。使 (x)=0 的点 x=1,x=2, x=3可能是 f(x)的不可导点,还需考虑 “(x)在这些点的值。 “(x)=(x-2) 2 (x-3) 3 +2(x-1
8、)(x-2)(x-3) 3 +3(x-1)(x-2) 2 (x-3) 2 , 显然,“(1)0,“(2)=0,“(3)=0,所以只有一个不可导点 x=1。故选 B。4.设 f(x)在(0,+)内二阶可导,满足 f(0)=0,f“(x)0(x0),又设 ba0,则 axb 时,恒有( )(分数:2.00)A.af(x)xf(a)。B.by(x)xf(b)。 C.xf(x)bf(b)。D.xf(x)af(a)。解析:解析:将 A,B 选项分别改写成 或 xf(x)的单调性即可。 令 g(x)=xf“(x)-f(x), 则 g(0)=0,g“(x)=xf“(x)0(x0), 因此 g(x)g(0)=
9、0(x0), 所以有 故5.设可微函数 f(x,y,z)在点(x 0 ,y 0 ,z 0 )处的梯度向量为 g,l=(0,2,2)为一常向量,且g.l=1,则函数 f(x,y,z)在点(x 0 ,y 0 ,z 0 )处沿 l 方向的方向导数等于( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:设 l 的方向余弦为 cos,cos,cos,则 =f x (x 0 ,y 0 ,z 0 )cos+f y (x 0 ,y 0 ,z0 0 )cos+ f z (x 0 ,y 0 ,z 0 )cos 6.设 f(x)为连续函数,F(t)= (分数:2.00)A.2f(2)。B.f(2)。 C.-f(
10、2)。D.0。解析:解析:交换累次积分的积分次序,得7.a n 和 b n 符合下列哪一个条件可由 (分数:2.00)A.a n b n 。B.a n b n 。 C.a n b n 。D.a n b n 。解析:解析:反证法。假设 收敛,由a n b n 知, 8.方程 x 2 y“+2xy“-2y=0 的通解为( )(分数:2.00)A.y=C 1 e x +C 2 e 2x 。B.y=(C 1 +C 2 x)e x 。C.y=C 1 x+C 2 x 2 。D.y= 解析:解析:这是一个欧拉方程,令 x=e t ,D= ,则原方程化为 D(D-1)y+2Dy-2y=0,即 特征方程为 r
11、2 +r-2=0,特征根为 r 1 =-2,r 2 =1,则通解 y=C 1 e -2t +C 2 e t ,即 二、填空题(总题数:10,分数:20.00)9.x表示不超过 x 的最大整数,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:10.若函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)填空项 1:_ (正确答案:-1)解析:解析:因 f(x)在 x=1 处连续,则 ,即 1=a+b。 要使函数 f(x)在 x=1 处可导,必须有 f“ - (1)=f“ + (1)。由已知可得 11.作变量替换 x=lnt,方程 (分数:2.0
12、0)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:12.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 x=tant,则 dx=sec 2 tdt 13.r= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:14.设 f(u,v)为二元可微函数,z=f(x y ,y x ),则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:f“ 1 .yx y+1 +f“ 2 .y x lny)解析:解析:利用复合函数求偏导的公式,有 15.D 是圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域,则 (分数:2.00)填空项 1:_
13、 (正确答案:正确答案:*)解析:解析:圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域可用极坐标表示为 16.设曲面:x+y+z=1,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:曲面关于平面 x=0 对称,因此 。又因曲面:x+y+z=1 具有轮换对称性,于是17.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 x 2 =t,则原级数可化为 由于 所以级数 的收敛半径为 2,收敛区间为(-2,2)。即级数 的收敛半径为 设级数的和函数为 s(x),即 对上式从 0 到 x 逐项积分,可得 在上式两端同时对 x 求导,则有 18
14、.欧拉方程 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 x=e t ,则 ,且 代入原方程,整理得 解此方程,得通解为 三、解答题(总题数:10,分数:20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:20.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定,试判断曲线 y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:要判断曲线 y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性,只需判断 y“(1)的正负。在方程ylny-x+y=0 两边对 x 求导得 y“lny+y“-1+y“=0, 上式两边
15、对 x 求导得 y“lny+ (y“) 2 +2y“=0, 于是 y“(1)= )解析:21.设 f(x)在a,b上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点 (a,b),使 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 x=x 0 处f(x)最大,则有 f“(x 0 )=0。 由 f(a)=0,f(b)=0 有 )解析:22.计算不定积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.设曲线 L 的参数方程为 x(t)=t-sint,y(t)=1-cost(0t2)。求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V。(分数:2.00)_正确答案:(
16、正确答案:由旋转体的体积公式有 再令 t=2-s,那么 )解析:24.试确定常数 a 与 b,使得经变换 u=x+ay,v=x+by,可将方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 z 具有二阶连续偏导数,所以 。根据链式法则,有 代入所给方程得 按题意,应取 1-4a+3a 2 =01-4b+3b 2 =0, 即 (1-3a)(1-a)=0,(1-3b)(1-b)=0, 其解分别为 若取第一组解时, 的系数为 0,不合题意。 同理,取第四组解时, 的系数也为0。 取 ,等式两边同时对配积分可得 =(x),其中 (v)为 v 的任意可微函数。于是z=(v)dv+(u)=(v)+(u)
17、,其中 (u)为 u 的任意的可微函数。 (v)为 (v)的一个原函数。 )解析:25.设 D=(x,y)x 2 +y 2 ,x0,y0,1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 D 1 =(x,y)0x 2 +y 2 1,x0,y0, D 2 =(x,y)1x 2 +y 2 ,x0,y0, 则 )解析:26.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:可以分块计算 其中 I 1 = ,D yz 是 yOz 平面上的半圆:y 2 +z 2 a 2 ,z0,利用极坐标,得到 D xy 为 xOy 平面上的一
18、个圆域:x 2 +y 2 a 2 ,利用极坐标,得 )解析:27.求级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 S(x)= ,则有 )解析:28.设函数 y=y(x)在(-,+)内具有二阶导数,且 y“0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数。()试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程;()求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0,y“(0)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由反函数的求导公式知 ,于是有 代入原微分方程得 y-y“=sinx。 (*) ()方程(*)所对应的齐次方程 y“-y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x 。 设方程(*)的特解为 y * =Acosx+Bsinx, 代入方程(*),求得 A=0,B= ,因此 y“-y=sinx 的通解是 y=Y+y * =C 1 e x +C 2 e -x - 由 y(0)=0,y“(0)= ,得 C 1 =1,C 2 =-1。故所求初值问题的解为 y=e x -e -x - )解析: