1、考研数学一（高等数学）-试卷 47 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)= 在(-，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0。B.a0，b0。C.a0，b0。D.a0，b0。3.设 f(x)=(x-1)(x-2) 2 (x-3) 3 ，则导数 f“(x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。4.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，满足 f(0)=0，f“(x)0(x0)，又设 ba0，则 ax
2、b 时，恒有( )（分数：2.00）A.af(x)xf(a)。B.by(x)xf(b)。C.xf(x)bf(b)。D.xf(x)af(a)。5.设可微函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的梯度向量为 g，l=(0，2，2)为一常向量，且g.l=1，则函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处沿 l 方向的方向导数等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)为连续函数，F(t)= （分数：2.00）A.2f(2)。B.f(2)。C.-f(2)。D.0。7.a n 和 b n 符合下列哪一个条件可由 （分数：2.00）A.a n b n
3、。B.a n b n 。C.a n b n 。D.a n b n 。8.方程 x 2 y“+2xy“-2y=0 的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 e x +C 2 e 2x 。B.y=(C 1 +C 2 x)e x 。C.y=C 1 x+C 2 x 2 。D.y= 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)9.x表示不超过 x 的最大整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.若函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.作变量替换 x=lnt，方程 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.r= （分数
4、：2.00）填空项 1:_14.设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y ，y x )，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.D 是圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设曲面：x+y+z=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_18.欧拉方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1
5、)附近的凹凸性。（分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上二阶可导，f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点 (a，b)，使 （分数：2.00）_22.计算不定积分 （分数：2.00）_23.设曲线 L 的参数方程为 x(t)=t-sint，y(t)=1-cost(0t2)。求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V。（分数：2.00）_24.试确定常数 a 与 b，使得经变换 u=x+ay，v=x+by，可将方程 （分数：2.00）_25.设 D=(x，y)x 2 +y 2 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。
6、计算二重积分 （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.求级数 （分数：2.00）_28.设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。()试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；()求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 47 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)
7、= 在(-，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0。B.a0，b0。C.a0，b0。D.a0，b0。 解析：解析：因 f(x)连续，故 a+e bx O，因此只要 a0 即可。再由 3.设 f(x)=(x-1)(x-2) 2 (x-3) 3 ，则导数 f“(x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0。B.1。 C.2。D.3。解析：解析：设 (x)=(x-1)(x-2) 2 (x-3) 3 ，则 f(x)=(x)。使 (x)=0 的点 x=1，x=2， x=3可能是 f(x)的不可导点，还需考虑 “(x)在这些点的值。 “(x)=(x-2) 2 (x-3) 3 +2(x-1
8、)(x-2)(x-3) 3 +3(x-1)(x-2) 2 (x-3) 2 ， 显然，“(1)0，“(2)=0，“(3)=0，所以只有一个不可导点 x=1。故选 B。4.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，满足 f(0)=0，f“(x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时，恒有( )（分数：2.00）A.af(x)xf(a)。B.by(x)xf(b)。 C.xf(x)bf(b)。D.xf(x)af(a)。解析：解析：将 A，B 选项分别改写成 或 xf(x)的单调性即可。 令 g(x)=xf“(x)-f(x)， 则 g(0)=0，g“(x)=xf“(x)0(x0)， 因此 g(x)g(0)=
9、0(x0)， 所以有 故5.设可微函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的梯度向量为 g，l=(0，2，2)为一常向量，且g.l=1，则函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处沿 l 方向的方向导数等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设 l 的方向余弦为 cos，cos，cos，则 =f x (x 0 ，y 0 ，z 0 )cos+f y (x 0 ，y 0 ，z0 0 )cos+ f z (x 0 ，y 0 ，z 0 )cos 6.设 f(x)为连续函数，F(t)= （分数：2.00）A.2f(2)。B.f(2)。 C.-f(
10、2)。D.0。解析：解析：交换累次积分的积分次序，得7.a n 和 b n 符合下列哪一个条件可由 （分数：2.00）A.a n b n 。B.a n b n 。 C.a n b n 。D.a n b n 。解析：解析：反证法。假设 收敛，由a n b n 知， 8.方程 x 2 y“+2xy“-2y=0 的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 e x +C 2 e 2x 。B.y=(C 1 +C 2 x)e x 。C.y=C 1 x+C 2 x 2 。D.y= 解析：解析：这是一个欧拉方程，令 x=e t ，D= ，则原方程化为 D(D-1)y+2Dy-2y=0，即 特征方程为 r
11、2 +r-2=0，特征根为 r 1 =-2，r 2 =1，则通解 y=C 1 e -2t +C 2 e t ，即 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)9.x表示不超过 x 的最大整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：10.若函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析：因 f(x)在 x=1 处连续，则 ，即 1=a+b。 要使函数 f(x)在 x=1 处可导，必须有 f“ - (1)=f“ + (1)。由已知可得 11.作变量替换 x=lnt，方程 （分数：2.0
12、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x=tant，则 dx=sec 2 tdt 13.r= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y ，y x )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f“ 1 .yx y+1 +f“ 2 .y x lny）解析：解析：利用复合函数求偏导的公式，有 15.D 是圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_
13、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域可用极坐标表示为 16.设曲面：x+y+z=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲面关于平面 x=0 对称，因此 。又因曲面：x+y+z=1 具有轮换对称性，于是17.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x 2 =t，则原级数可化为 由于 所以级数 的收敛半径为 2，收敛区间为(-2，2)。即级数 的收敛半径为 设级数的和函数为 s(x)，即 对上式从 0 到 x 逐项积分，可得 在上式两端同时对 x 求导，则有 18
14、.欧拉方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x=e t ，则 ，且 代入原方程，整理得 解此方程，得通解为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性，只需判断 y“(1)的正负。在方程ylny-x+y=0 两边对 x 求导得 y“lny+y“-1+y“=0， 上式两边
15、对 x 求导得 y“lny+ (y“) 2 +2y“=0， 于是 y“(1)= )解析：21.设 f(x)在a，b上二阶可导，f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点 (a，b)，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=x 0 处f(x)最大，则有 f“(x 0 )=0。 由 f(a)=0，f(b)=0 有 )解析：22.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设曲线 L 的参数方程为 x(t)=t-sint，y(t)=1-cost(0t2)。求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V。（分数：2.00）_正确答案：(
16、正确答案：由旋转体的体积公式有 再令 t=2-s，那么 )解析：24.试确定常数 a 与 b，使得经变换 u=x+ay，v=x+by，可将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 z 具有二阶连续偏导数，所以 。根据链式法则，有 代入所给方程得 按题意，应取 1-4a+3a 2 =01-4b+3b 2 =0， 即 (1-3a)(1-a)=0，(1-3b)(1-b)=0， 其解分别为 若取第一组解时， 的系数为 0，不合题意。 同理，取第四组解时， 的系数也为0。 取 ，等式两边同时对配积分可得 =(x)，其中 (v)为 v 的任意可微函数。于是z=(v)dv+(u)=(v)+(u)
17、，其中 (u)为 u 的任意的可微函数。 (v)为 (v)的一个原函数。 )解析：25.设 D=(x，y)x 2 +y 2 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)0x 2 +y 2 1，x0，y0， D 2 =(x，y)1x 2 +y 2 ，x0，y0， 则 )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可以分块计算 其中 I 1 = ，D yz 是 yOz 平面上的半圆：y 2 +z 2 a 2 ，z0，利用极坐标，得到 D xy 为 xOy 平面上的一
18、个圆域：x 2 +y 2 a 2 ，利用极坐标，得 )解析：27.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S(x)= ，则有 )解析：28.设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。()试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；()求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由反函数的求导公式知 ，于是有 代入原微分方程得 y-y“=sinx。 (*) ()方程(*)所对应的齐次方程 y“-y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x 。 设方程(*)的特解为 y * =Acosx+Bsinx， 代入方程(*)，求得 A=0，B= ，因此 y“-y=sinx 的通解是 y=Y+y * =C 1 e x +C 2 e -x - 由 y(0)=0，y“(0)= ，得 C 1 =1，C 2 =-1。故所求初值问题的解为 y=e x -e -x - )解析：
