1、考研数学一（高等数学）-试卷 46 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.在曲线 y=(x-1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)4. （分数：2.00
2、）填空项 1:_5. （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：29，分数：58.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11. （分数：2.00）_12. （分数：2.00）_13. （分数：2.00）_14.设 f(x)连续且关于 x=T 对称，a （分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16.设 f(x)在区间0，1上可导， （分数：2.00）_17.设 f(x)，g(x)在a，b上
3、连续，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_18.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f“(x)2证明： （分数：2.00）_20.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_21.设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数(1)证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c,1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；(2)设 f(x)在(0，1)内可导，且（分数：2.00）_22.求曲线
4、（分数：2.00）_23.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 一 y 2 )所围成的面积（分数：2.00）_24.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比（分数：2.00）_25.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 ，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_26.设曲线 y=a+xx 3 ，其中 a0 时，该曲线在 x
5、轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_27.求曲线 y=x 2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_28.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_29.设 L：y=e -x (x0) (1)求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 （分数：2.00）_30.求由曲
6、线 y=4 一 x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_31.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 z 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_32.求摆线 （分数：2.00）_33.设曲线 （分数：2.00）_34.设一抛物线 y=ax 2 +bx+C 过点(0，0)与(1，2)，且 a0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：过曲线 y=(x-1) 2 上点(2，1)的法线方程为 ，该法线与 x 轴的交点为(4，0)，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的
7、区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)4. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数：29，分数：58.0
8、0)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)连续且关于 x=T 对称，a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)在区间0，1上可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=x 2 f(x)，由积分中值定理得 ，其中 c ，即 (c)=(1)，显然 (x)在
9、区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) )解析：17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f“(x)2证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 y=f(x)为区间
10、0，1上的非负连续函数(1)证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c,1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；(2)设 f(x)在(0，1)内可导，且（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 一 y 2 )所围成的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
11、25.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 ，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设曲线 y=a+xx 3 ，其中 a0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=a+xx 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，()解析：27.求曲
12、线 y=x 2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 L：y=e -x (x0) (1)求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求由曲线 y=4 一 x 2 与
13、 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 z 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.求摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设一抛物线 y=ax 2 +bx+C 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线过原点，所以 C=0，又曲线
14、过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2 一 a 因为a0，抛物线与 x 轴的两个交点为 ，所以 )解析：35.设直线 y=kx 与曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.求摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取 ，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， d=(2Rx)R 2 一(Rx) 2 1gdx=x(2Rx) 2 gdx， )解析：
