1、考研数学一(高等数学)-试卷 46 及答案解析(总分:76.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.矩形闸门宽 a 米,高 h 米,垂直放在水中,上边与水面相齐,闸门压力为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.在曲线 y=(x-1) 2 上的点(2,1)处作曲线的法线,由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0),则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:12.00)4. (分数:2.00
2、)填空项 1:_5. (分数:2.00)填空项 1:_6. (分数:2.00)填空项 1:_7. (分数:2.00)填空项 1:_8. (分数:2.00)填空项 1:_9. (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:29,分数:58.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_11. (分数:2.00)_12. (分数:2.00)_13. (分数:2.00)_14.设 f(x)连续且关于 x=T 对称,a (分数:2.00)_15. (分数:2.00)_16.设 f(x)在区间0,1上可导, (分数:2.00)_17.设 f(x),g(x)在a,b上
3、连续,证明:存在 (a,b),使得 (分数:2.00)_18.设 f(t)在0,上连续,在(0,)内可导,且 (分数:2.00)_19.设 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且f“(x)2证明: (分数:2.00)_20.设 f(x)在区间a,b上二阶连续可导,证明:存在 (a,b),使得 (分数:2.00)_21.设 y=f(x)为区间0,1上的非负连续函数(1)证明存在 c(0,1),使得在区间0,c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c,1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积;(2)设 f(x)在(0,1)内可导,且(分数:2.00)_22.求曲线
4、(分数:2.00)_23.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 一 y 2 )所围成的面积(分数:2.00)_24.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分,求左右两个部分的面积之比(分数:2.00)_25.设 C 1 ,C 2 是任意两条过原点的曲线,曲线 C 介于 C 1 ,C 2 之间,如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 和 y 轴的直线,得两块阴影所示区域 A,B 有相等的面积,设 C 的方程是 y=x 2 ,C 1 的方程是 ,求曲线 C 2 的方程 (分数:2.00)_26.设曲线 y=a+xx 3 ,其中 a0 时,该曲线在 x
5、轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与x 轴所围成图形的面积相等,求 a(分数:2.00)_27.求曲线 y=x 2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S,并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V(分数:2.00)_28.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成,求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积(分数:2.00)_29.设 L:y=e -x (x0) (1)求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 (分数:2.00)_30.求由曲
6、线 y=4 一 x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积(分数:2.00)_31.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线,使该曲线、切线与 z 轴所围成的面积为 (分数:2.00)_32.求摆线 (分数:2.00)_33.设曲线 (分数:2.00)_34.设一抛物线 y=ax 2 +bx+C 过点(0,0)与(1,2),且 a0),则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:过曲线 y=(x-1) 2 上点(2,1)的法线方程为 ,该法线与 x 轴的交点为(4,0),则由该法线、x 轴及该曲线所围成的
7、区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 二、填空题(总题数:6,分数:12.00)4. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:5. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:6. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:解析:7. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:8. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:9. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:三、解答题(总题数:29,分数:58.0
8、0)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:11. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:12. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:13. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:14.设 f(x)连续且关于 x=T 对称,a (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.设 f(x)在区间0,1上可导, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=x 2 f(x),由积分中值定理得 ,其中 c ,即 (c)=(1),显然 (x)在
9、区间0,1上可导,由罗尔中值定理,存在 (c,1) )解析:17.设 f(x),g(x)在a,b上连续,证明:存在 (a,b),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18.设 f(t)在0,上连续,在(0,)内可导,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:19.设 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且f“(x)2证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.设 f(x)在区间a,b上二阶连续可导,证明:存在 (a,b),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.设 y=f(x)为区间
10、0,1上的非负连续函数(1)证明存在 c(0,1),使得在区间0,c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c,1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积;(2)设 f(x)在(0,1)内可导,且(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.求曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 一 y 2 )所围成的面积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分,求左右两个部分的面积之比(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:
11、25.设 C 1 ,C 2 是任意两条过原点的曲线,曲线 C 介于 C 1 ,C 2 之间,如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 和 y 轴的直线,得两块阴影所示区域 A,B 有相等的面积,设 C 的方程是 y=x 2 ,C 1 的方程是 ,求曲线 C 2 的方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.设曲线 y=a+xx 3 ,其中 a0 时,该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与x 轴所围成图形的面积相等,求 a(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设曲线 y=a+xx 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ,()解析:27.求曲
12、线 y=x 2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S,并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成,求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:29.设 L:y=e -x (x0) (1)求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:30.求由曲线 y=4 一 x 2 与
13、 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:31.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线,使该曲线、切线与 z 轴所围成的面积为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:32.求摆线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:33.设曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:34.设一抛物线 y=ax 2 +bx+C 过点(0,0)与(1,2),且 a0,确定 a,b,c,使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为曲线过原点,所以 C=0,又曲线
14、过点(1,2),所以 a+b=2,b=2 一 a 因为a0,抛物线与 x 轴的两个交点为 ,所以 )解析:35.设直线 y=kx 与曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:36.求摆线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:37.设曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:38.一半径为 R 的球沉入水中,球面顶部正好与水面相切,球的密度为 1,求将球从水中取出所做的功(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:以球顶部与水面相切的点为坐标原点,x 轴铅直向下,取 ,由于球的密度与水的密度相同,所以水面以下不做功, d=(2Rx)R 2 一(Rx) 2 1gdx=x(2Rx) 2 gdx, )解析: