1、考研数学一（高等数学）-试卷 45 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 R 上连续，且 f(x)0，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) f(x)必有间断点。 (x) 2 必有间断点。 f(X)没有间断点。（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。3.设 f(x)=xsin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0。B.l。C.2。D.3。4.设 f(x)=aretanx-
2、 （分数：2.00）A.fx(x)在1，+)单调增加。B.f(x)在1，+)单调减少。C.f(x)在1，+)为常数D.f(x)在1，+)为常数 0。5.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为( )（分数：2.00）A.1+sinx。B.1-sinx。C.1+cosx。D.1-cosx。6.在曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（分数：2.00）A.只有一条。B.只有两条。C.至少有三条。D.不存在。7.交换积分次序 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.如果级数 （分数：2.00）A.都收敛。B.都发
3、散。C.敛散性不同。D.同时收敛或同时发散。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设函数 y=f(x)由方程 y-x=e x(1-y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.对数螺线 =e 在点(，)= （分数：2.00）填空项 1:_11.已知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数)，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g、 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设是锥面 z= (0z1)
4、的下侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.级数 （分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.设 a1，f(t)=a t -at 在(-，+)内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时，t(a)最小?并求出最小值。（分数：2.00）_20.求不定积分 （分数：2.00）_21.设曲线 在(x 0 ，y 0 )处有公切线(如图 1-3-4 所示)，求这两条曲线与
5、 x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V。 （分数：2.00）_22.设直线 L： （分数：2.00）_23.设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(e x siny)满足方程 （分数：2.00）_24.计算曲线积分 （分数：2.00）_25.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_26.将函数 f(x)= （分数：2.00）_27.设 f(t)连续且满足 f(t)=cos2t+ （分数：2.00）_28.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下
6、沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为后(k0)。试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)。（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 45 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 R 上连续，且 f(x)0，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) f(x)必有间断点。 (x) 2 必有间断点。
7、 f(X)没有间断点。（分数：2.00）A.0。 B.1。C.2。D.3。解析：解析：错误。举例：设 (x)= f(x)=e x ，则 f(x)=1 在 R 上处处连续。 错误。举例：设 (x)= 则(x) 2 =9 在 R 上处处连续。 错误。举例：设 (x)= 3.设 f(x)=xsin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0。B.l。C.2。 D.3。解析：解析： 4.设 f(x)=aretanx- （分数：2.00）A.fx(x)在1，+)单调增加。B.f(x)在1，+)单调减少。C.f(x)在1，+)为常数 D.f(x)在1，+)为常数 0。解析：解析：按
8、选项要求，先求 f“(x)。 又 f(x)在1，+)连续，则 f(x)=常数=f(1)=5.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为( )（分数：2.00）A.1+sinx。B.1-sinx。 C.1+cosx。D.1-cosx。解析：解析：由 f“(x)=sinx，得 (x)=f“(x)dx=sinxdx=-cosx+C 1 ， 所以 f(x)的原函数是 F(x)=f(x)dx=(-cosx+C 1 )dx=-sinx+C 1 x+C 2 ， 令 C 1 =0，C 2 =1 得 F(x)=1-sinx。故选 B。6.在曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中
9、，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（分数：2.00）A.只有一条。B.只有两条。 C.至少有三条。D.不存在。解析：解析：曲线 x=t,y=-t 2 ，z=t 3 在点 t=t 0 处的切向量为 t=(1，-2t 0 ， )。平面z+2y+z=4 的法向量为 n=(1，2，1)。由题设知 nt，即 1-4t 0 + =0，则 t 0 =1 或 7.交换积分次序 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：交换积分次序得8.如果级数 （分数：2.00）A.都收敛。B.都发散。C.敛散性不同。D.同时收敛或同时发散。 解析：解析：由于 a b =(a n +b b )-b
10、n ，且 发散时， 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设函数 y=f(x)由方程 y-x=e x(1-y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：当 x=0 时，y=1。对方程两边求导得 y“-1=e x(1-y) (1-y-xy“)， 将 x=0，y=1 代入上式，可得 y“(0)=1，所以 10.对数螺线 =e 在点(，)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：螺线方程 =e 可以化为隐函数方程，即 利用隐函数的求导法则，得到在点 处的导数为 y“(0)=-1，因此所求的切线方程为 化简为 11.已
11、知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数)，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对等式f“(x 3 )dx=x 3 +C 两边求导，得 f“(x 3 )=3x 2 。 令 t=x 3 ，则 f“(t)= 12.设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g、 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：g“(x+y)+xg“(x+y)+(xy)+xy 2 (zy)）解析：解析： =g(x+y)+xg“(x+y)+y 2 “(xy)， 13.设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分
12、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知14.设是锥面 z= (0z1)的下侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：设：z=1，x 2 +y 2 1，取法向量方向朝上，则与 1 围成的区域为 ，那么 15.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 S(x)= ，x1，那么有16.微分方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=tan ）解析：解析：将已知方程变形后，并整理得 两边积分可得三、解答题(总题数：1
13、2，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 a1，f(t)=a t -at 在(-，+)内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时，t(a)最小?并求出最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f“(t)=a“lna-a=0，解得 f(t)的驻点为 t(a)= 对 t(a)关于 a 求导，可得 令 t“(a)0，解得 ae e 。则当 ae e 时，t(a)单调递增；当 1ae。时，t(a)单调递减。所以当 a=e e 时，t(a)最小，且最小值为 t(e e
14、 )= )解析：20.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，则 )解析：21.设曲线 在(x 0 ，y 0 )处有公切线(如图 1-3-4 所示)，求这两条曲线与 x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由两曲线在(x 0 ，y 0 )处有公切线得 解得 x 0 =e 2 ，a=e -1 。 所求的旋转体体积等于曲线 分别与 x 轴及直线 x=e 2 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积之差，即 )解析：22.设直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，z)=x 2 +y
15、2 -z，则有 F x =2x，F y =2y，F z =-1，在点(1，-2，5)处曲面的法向量为 n=2，-4，-1，于是切平面的方程为 2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0， 即 2x-4y-z-5=0。 根据 )解析：23.设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(e x siny)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入方程 )解析：24.计算曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按曲线积分的计算公式直接计算。 )解析：25.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 1 为 xOy 平面上被圆 x 2 +y 2 =1
16、所围部分的下侧，记 为由与 1 围成的空间闭区域， 则 由高斯公式知 )解析：26.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= ，比较两边系数可得 A= ，B= ，即 )解析：27.设 f(t)连续且满足 f(t)=cos2t+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(t)连续，所以 可导，从而 f(t)可导，于是 )解析：28.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为后(k0)。试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：选取沉放点为原点 O，Oy 轴正句取铅直向下，则根据牛顿第二定律得 这是一个可降阶的二阶微分方程，其中 由 ，因此原方程可化为 分离变量得 积分得 结合初始条件 v y=0 =0，得 因此所求的函数关系为 )解析：
