1、考研数学一（高等数学）-试卷 43 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设直线 L： （分数：2.00）A.平行于平面 B.在平面 上C.垂直于平面 D.与平面 斜交3.设直线 L 1 ： 则直线 L 1 ，L 2 的夹角为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（分数：2.00）A.只有 1 条B.只有 2 条C.至少 3 条D.不存在二、填空题
2、(总题数：13，分数：26.00)5.若a= （分数：2.00）填空项 1:_6.过点(2，0，3)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_7.过原点及点(6，一 3，2)且与平面 4xy+2z=8 垂直的平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_9.过点 A(3，2，1)且平行于直线 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_10.一平面经过点 M 1 (2，1，3)及点 M 2 (3，4，一 1)，且与平面 3xy+6z 一 6=0 垂直，则该平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2
3、 =21 在点(1，一 2，2)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.点 M(1，一 1，2)到平面 ：2xy+5z 一 12=0 的距离为 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设平面 1 ：3x 一 2y+6z 一 2=0 与平面 2 ：3x 一 2y+6z+12=0，则两平行平面之间的距离为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.点 M(3，一 4，4)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_15.由曲线 L： 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(0， （分数：2.00）填空项 1:_16.曲面 ze z +2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为
4、1（分数：2.00）填空项 1:_17.曲面 z=x 2 (1 一 siny)+y 2 (1 一 sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 a，b 为非零向量，且b=1， （分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设点 A(1，一 1，1)，B(3，2，一 1)，C(5，3，一 2)，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程（分数：2.00）_22.求经过平面 1 ：x+y+1=0 与 2 ：x+2y+2z=0
5、的交线，且与平面 3 ：2xyz=0 垂直的平面方程（分数：2.00）_23.求过直线 （分数：2.00）_24.求经过点 P 1 (5，一 4，3)和 P 2 (一 2，1，8)及直线 L： （分数：2.00）_25.求过点 M(1，一 2，2)且与直线 L： （分数：2.00）_26.求过点 A(一 1，2，3)垂直于 L： （分数：2.00）_27.求直线 L： （分数：2.00）_28.求直线 L 1 ： （分数：2.00）_29.设 L 1 ：x 一 1= （分数：2.00）_30.求平面曲线 L： （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 43 答案解析(总分：60.00，
6、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设直线 L： （分数：2.00）A.平行于平面 B.在平面 上C.垂直于平面 D.与平面 斜交解析：解析：直线 L 的方向向量为 s=1，3，2(2，一 1，一 10=一 28，14，一 7， 因为 sn，所以直线 L 与平面 垂直，正确答案为(C)3.设直线 L 1 ： 则直线 L 1 ，L 2 的夹角为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：s 1 =1，一 2，1，s 2 =(1，一 1，00，2，1)=(一 1，一 1
7、，2， 设直线 L 1 ，L 3 的夹角为 ，则 cos= 4.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（分数：2.00）A.只有 1 条B.只有 2 条 C.至少 3 条D.不存在解析：解析：在 t=t 0 处曲线的切向量为 T=1，一 2t 0 ，3t 0 2 ，切线与平面 x+2y+z=4 平行的充分必要条件是 nT=0，即 14t 0 +3t 0 2 =0，解得 t 0 = 二、填空题(总题数：13，分数：26.00)5.若a= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由|a+b| 2 =(a
8、+b)(a+b)=|a| 2 +|b| 2 +2ab=13+19+2ab=24，得 ab=一 4，则|a 一 b| 2 =(a一 b)(a 一 b)=|a| 2 +|b| 2 一 2ab=13+19+8=40 则|ab|= 6.过点(2，0，3)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：16x+14y+11z+65=0）解析：解析：s 1 =1，一 2，4，s 2 =3，5，一 2，所求平面的法向量 n=s 1 s 2 =一 16，14，11，则所求平面方程为16x+14y+11z+65=07.过原点及点(6，一 3，2)且与平面 4xy+2z=8 垂直的平面方程为 1
9、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+2y3z=0）解析：解析：设所求平面为 ：Ax+By+Cz+D=0，因为 经过原点，所以 D=0，即 ：Ax+By+Cz=0，又因为 经过点(6，一 3，2)且与 4xy+2z=8 垂直，所以8.设 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0）解析：解析：因为所求平面 经过 L 1 ，所以点 M(1，2，3)在平面 上，因为 与 L 1 ，L 2 都平行，所以所求平面的法向量为 n=1，0，一 12，1，1=1，一 3，1，所求平面为 ：(x 一 1)一
10、 3(y 一2)+(z 一 3)=0 或 ：x 一 3y+z+2=09.过点 A(3，2，1)且平行于直线 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z1)=0）解析：解析：直线 L 1 ，L 2 的方向向量为 s 1 =1，一 2，1，s 2 =(2，1，0，所求平面的法向量为n=s 1 s 2 =一 1，2，5，则所求平面为 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z1)=0，或 ：x 一 2y 一5z+6=010.一平面经过点 M 1 (2，1，3)及点 M 2 (3，4，一 1)，且与平面 3xy+6z 一 6=0 垂
11、直，则该平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7x 一 9y 一 5z+10=0）解析：解析：11.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21 在点(1，一 2，2)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：n=2x，4y，6z (1，2，2) =2，一 8，12，法线方程为 12.点 M(1，一 1，2)到平面 ：2xy+5z 一 12=0 的距离为 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设平面 1 ：3x 一 2y+6z 一 2=0 与平面 2 ：3x 一 2y
12、+6z+12=0，则两平行平面之间的距离为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：14.点 M(3，一 4，4)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：点 M 0 (4，5，2)在直线上，s=2，一 2，1为直线的方向向量 15.由曲线 L： 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲线 L 绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面为：3x 2 +2y 2 +3z 2 一 12=0 16.曲面 ze z +2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程
13、为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+y 一 4=0）解析：解析：曲面 z 一 e z +2xy=3 在点(1，2，0)处的法向量为 n=2y，2x，1 一 e z )=4，2，0， 则切平面为 ：4(x 一 1)+2(y 一 2)=0，即 ：2x+y 一 4=017.曲面 z=x 2 (1 一 siny)+y 2 (1 一 sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2xyz 一 1=0）解析：解析：F=x 2 (1 一 siny)+y 2 (1 一 sinx)一 z， n=2x(1 一 siny)一
14、y 2 cosx，2y(1 一 sinx)一 x 2 cosy，一 1， 在点(1，0，1)处的法向量为 n=2，一 1，一 1)，切平面为 ：2(x 一 1)一 y 一(z 一 1)=0，即 ：2xyz 一 1=0三、解答题(总题数：13，分数：26.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 a，b 为非零向量，且b=1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设点 A(1，一 1，1)，B(3，2，一 1)，C(5，3，一 2)，判断三点是否共线，若不共线求
15、过三点的平面的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 不平行，所以三点不共线 过三点的平面的法向量为 n= )解析：22.求经过平面 1 ：x+y+1=0 与 2 ：x+2y+2z=0 的交线，且与平面 3 ：2xyz=0 垂直的平面方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设经过两平面 ， 交线的平面方程为 ：x+y+1+(x+2y+2z)=0，即：(1+)x+(1+2)y+2z+1=0， 因为平面 与平面 3 ：2xyz=0 垂直，所以有 1+，1+2，22，一 1，一 1)=0，即 2+21 一 2 一 2=0，解得 = ， 所求平面方程为 ： )解析：23.求过直线 （分数
16、：2.00）_正确答案：(正确答案：s 1 =1，一 1，2，s 2 =一 1，2，1，n=s 1 s 2 =一 5，一 3，1，所求平面方程为 ：一 5(x 一 2)一 3(y+2)+(z 一 3)=0，即 ：一 5x 一 3y+z+1=0)解析：24.求经过点 P 1 (5，一 4，3)和 P 2 (一 2，1，8)及直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =t 得 x=2+t，y=1 一 t，z=一 3t，代入 xy+z=0 中 得 t=1，则直线 L：与平面 ：xy+z=0 交点为 M(3，0，一 3)， )解析：25.求过点 M(1，一 2，2)且与直线 L： （分
17、数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求平面的法向量为 n=s 1 s 2 =2，1，一 1)0，1，一 1)=0，2，2， 于是所求平面方程为 ：2(y+2)+2(z 一 2)=0，即 ：y+z=0)解析：26.求过点 A(一 1，2，3)垂直于 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 L： 的方向向量为 s=4，5，6， 平面 ：7x+8y+9z+10=0 的法向量为 n 0 =7，8，9， 因为所求直线与已知直线垂直及与已知平面平行，所以所求直线与 s=(4，5，6)及 n 0 =7，8，9都垂直，于是所求直线的方向向量为 T=sn 0 =3，6，3)，所求直线为 )解析
18、：27.求直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 L： 过直线 L 的平面束为 “：x+2y 一 1+2(y+z 一 3)=0， 或：x+(2+2)y+z 一 13=0， 由1，2+，1，一 3，2=0 得 =一 5，所以过 L 垂直于 的平面方程为 “：x 一 3y5z+14=0，投影直线为 )解析：28.求直线 L 1 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：s 1 =1，一 1，2，s 2 =1，0，一 2)1，3，1=6，一 3，3)=32，一 1，1，设两直线的夹角为 ，则 cos= )解析：29.设 L 1 ：x 一 1= （分数：2.00）_正确答案：(
19、正确答案：(1)设 L 1 ：x 一 1= ，L 2 ：x+1=y 一 1=z 垂直，则 1，2，1，1，1或 1+2+=0，解得 =一 3 (2)s 1 =1，2，s 2 =1，1，1，s 1 s 2 =1，2，)1，1，1=(2 一 ， 一 1，一 1， M 1 (1，1，1)L 1 ，M 2 (一 1，1，0)L 2 ， =2，0，1， L 1 ，L 2 共面的充分必要条件是(s 1 s 2 ) )解析：30.求平面曲线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 L： 绕 z 轴旋转所成的曲面为：x 2 +y 2 =4z设曲面与 z=1 及 z=4所围成的几何体为 ，则 =(x，y，z)|(x，y)D z ，1z4，其中 D z =(x，y)|x 2 +y 2 4z，则 V= )解析：
