1、考研数学一（高等数学）-试卷 41 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列各式中正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 （分数：2.00）A.x=0 必是 g(x)的第一类间断点。B.x=0 必是 g(x)的第二类间断点。C.x=0 必是 g(x)的连续点。D.g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关。4.设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g“(a)存在，则 g
2、(a)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.充分非必要条件。C.必要非充分条件。D.非充分非必要条件。5.设函数 f(x)在(-，+)上有定义，则下述命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在(-，+)上可导且单调增加，则对一切 x(-，+)，都有 f“(x)0。B.若 f(x)在点 x 2 处取得极值，则 f“(x 0 )=0。C.若 f“(x 0 )=0，则(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点。D.若 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则 x 0 一定不是 f(x)的极
3、值点。6.设 F(x)= （分数：2.00）A.为正常数。B.为负常数。C.恒为零。D.不为常数。7.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.两个偏导数都不存在。B.两个偏导数存在但不可微。C.偏导数连续。D.可微但偏导数不连续。8.设有平面闭区域，D=(x，y)-axa，xya，D 1 =(x，y)0xa，xya，则 (xy+cosxsiny)dxdy=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知 （分数：2.00）A.3。B.7。C.8。D.9。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.已知 （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的
4、切线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知三个向量 a，b，c，其中 ca，cb，a 与 b 的夹角为 （分数：2.00）填空项 1:_14.函数 u= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设有一物体，占有空间闭区域 =(x，y，z)0x1，0y1，0z1，在点(x，y，z)处的密度为 p(x，y，z)=x+y+z，则该物体的质量为 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设 x 2 = （分数：2.00）填空项 1:_18.
5、微分方程 Y“+y=e -x cosx 满足条件 y(0)=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.设 a 为常数，讨论方程 e x =ax 2 的实根个数。（分数：2.00）_22.计算下列反常积分(广义积分)的值。 （分数：2.00）_23.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)。汽锤第一次击打将桩打进地下 a 米
6、。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 r(0r1)。问 ()汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深? ()若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?（分数：2.00）_24.设 f(u)(u0)有连续的二阶导数，且 （分数：2.00）_25.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x 到点(2，0)，再沿圆周 x 2 +y 2 =4 到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 （分数：2.00）_26.设函数 f(x)连续且恒大于零， 其中 t =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，D t =(x，y)x 2 +y
7、 2 t 2 。 ()讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性； ()证明当 t0 时，F(t) （分数：2.00）_27.将 F(x)= （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 41 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列各式中正确的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由重要极限结论 ，可立即排除 B、D。对于 A、C 选项，只要验算其中之一即可。对于C 选项，因3.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 （分数：
8、2.00）A.x=0 必是 g(x)的第一类间断点。B.x=0 必是 g(x)的第二类间断点。C.x=0 必是 g(x)的连续点。D.g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关。 解析：解析：因为 且 g(0)=0，所以当 a=0 时，有 =g(0)，此时 g(x)在点 x=0 处连续；当 a0时，4.设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g“(a)存在，则 g(a)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。 B.充分非必要条件。C.必要非充分条件。D.非充分非必要条件。解析：解析：因 (x)在 x=a 不可
9、导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，需用定义求 F“(a)。题设 (x)以x=a 为跳跃间断点，则存在 A ，A + A - 。 当 g(a)=0 时， 这表明，g(a)=0 时，F“(a)存在 F“ + (a)=F“ - (a) g“(a)(A + -A - )=0 g“(a)=0。 下面证明若 F“(a)存在，则g(a)=0。 反证法，若 g(a)0，(x)= 5.设函数 f(x)在(-，+)上有定义，则下述命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在(-，+)上可导且单调增加，则对一切 x(-，+)，都有 f“(x)0。B.若 f(x)在点 x 2 处取得极值，则 f“
10、(x 0 )=0。C.若 f“(x 0 )=0，则(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点。D.若 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则 x 0 一定不是 f(x)的极值点。 解析：解析：若在(-，+)上 f“(x)0，则一定有 f(x)在(-，+)上单调增加，但可导函数 f(x)在(-，+)上单调增加，可能有 f“(x)0。例如 f(x)=x 3 在(-，+)上单调增加，f“(0)=0。故不选A。 f(x)若在 x 0 处取得极值，且 f“(x 0 )存在，则有 f“(x 0 )=0，但当 f(x)在 x 0 处取得极值，在 x 0 处不可导，就得不
11、到 f“(x 0 )=0，例如 f(x)=x在 x 0 =0 处取得极小值，它在 x 0 =0 处不可导， 故不选 B。 如果 f(x)在 x 0 处二阶导数存在，且(x 0 ，f(x 0 )是曲线的拐点坐标，则 f“(x 0 )=0，反之不一定，例如 f(x)=x 4 在 x 0 =0 处 f“(0)=0，但 f(x)在(-，+)没有拐点，故不选 C。由此选D。6.设 F(x)= （分数：2.00）A.为正常数。 B.为负常数。C.恒为零。D.不为常数。解析：解析：由 F“(x)=e sin(x+2) .sin(x+2)-e sinx .sinx=0 可知 F(x)恒为常数，则 7.设 f(
12、x，y)= （分数：2.00）A.两个偏导数都不存在。B.两个偏导数存在但不可微。 C.偏导数连续。D.可微但偏导数不连续。解析：解析：由偏导数定义，有 由对称性知 f y (0，0)=0，而 上式极限不存在。 事实上， 8.设有平面闭区域，D=(x，y)-axa，xya，D 1 =(x，y)0xa，xya，则 (xy+cosxsiny)dxdy=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将闭区域 D-(x，y)-axa，xya按照直线 y=-x 分成两部分 D 3 和 D 2 ，如图 1-6-2 所示，其中 D 3 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，xy 关于 x 和
13、 y 均为奇函数，则在 D 3 和 D 2 上，均有xydxdy=0。 而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D 3 上积分不为零，在 D 2 上积分为零。因此 故选项 A 正确。 9.已知 （分数：2.00）A.3。B.7。C.8。 D.9。解析：解析：二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：等式两边取对数，则有 等式两边分别对 x 求导，有 整理得11.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x
14、-1）解析：解析：由题干可知，所求切线的斜率为 1。 由 y“=(lnx)“=12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 t=x-1，则13.已知三个向量 a，b，c，其中 ca，cb，a 与 b 的夹角为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：27）解析：解析：由题设可知 ab=absina，b=6314.函数 u= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 又因为 =(2，-2，1)，所以沿 方向的单位向量为 因此 u 沿方向在点 A(1，0，1)处的方向导数为15.设 由 x 2 +y
15、2 +z 2 R 2 ，z0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，令 1 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，则有 16.设有一物体，占有空间闭区域 =(x，y，z)0x1，0y1，0z1，在点(x，y，z)处的密度为 p(x，y，z)=x+y+z，则该物体的质量为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据三重积分的几何意义可知，该物体的质量 m 就是密度函数 在闭区间 上的三重积分，即17.设 x 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：f(x)=x
16、2 (-x)是以 2 为周期的偶函数，利用傅里叶系数计算公式，有 18.微分方程 Y“+y=e -x cosx 满足条件 y(0)=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e-xsinx）解析：解析：原方程的通解为 y=e -1dx (e -x cosx.e 1dx +C)=e -x (sinx+C)。 由 y(0)=0 得 C=0，故所求通解为 y=e -x sinx。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.
17、设 a 为常数，讨论方程 e x =ax 2 的实根个数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a0 时，显然无实根。显然，由题意知 x=0 不是原方程的根，以下讨论当a0 时的情形，设 当 x0 时，f“(x)0；当 0x2 时，f“(x)0；当 x2 时，f“(x)0。 且所以当 a0 时，f(x)在区间(-，0)上有唯一实零点。 在区间(0，+)上， 当 a 时，f(x)在区间(0，+)上无实数根；当 =a 时，f(x)在区间(0，+)上有唯一实数根；当 a，时f(2)0，而且 ，所以此时 f(x)在(0，+)上有两个实数根。 综上所述，当 a0 时，f(x)=0 无实根； 当
18、a0 时，仅当 x0 时，f(x)=0 有唯一实根； 当 =a 时，f(x)=0 仅有两个实根，一正一负； 当 )解析：22.计算下列反常积分(广义积分)的值。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 x 2 -2x=(x-1) 2 -1，可令 x-1=sect，则有 ()注意 ，将被积函数分解并用分部积分法有 )解析：23.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)。汽锤第一次击打将桩打进地下 a 米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功
19、之比为常数 r(0r1)。问 ()汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深? ()若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设第 n 次击打后，桩被打进地下 x n 米，第 n 次击打时，汽锤所做的功为 W n (n=1，2，3，)。由题设，当桩被打进地下的深度为 x 米时，土层对桩的阻力的大小为 kx，所以 由 W 2 =rW 1 可得 由 W 3 =rW 2 =r 2 W 1 可得 即汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下 米。 ()由归纳法，设 ，则 由于 W n+1 =rW n =r 2 W n-1 =r n W 1 ，故 即若击打次数不限，
20、汽锤至多能将桩打进地下 )解析：24.设 f(u)(u0)有连续的二阶导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u= ，则有 由题设条件得 u 2 f“(u)+uf“(u)-4f(u)=0，这是欧拉方程，令 u=e t ，方程化为 解此二阶线性常系数齐次方程得 z=C 1 e 2t +C 2 e -2t ，即 f(u)=C 1 u 2 + )解析：25.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x 到点(2，0)，再沿圆周 x 2 +y 2 =4 到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设圆 x 2 +y 2 =2x
21、 为圆 C 1 ，圆 x 2 +y 2 =4 为圆 C 2 ，补线利用格林公式即可。设所补线段 L 1 为 x=0(y：20)，应用格林公式得： )解析：26.设函数 f(x)连续且恒大于零， 其中 t =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，D t =(x，y)x 2 +y 2 t 2 。 ()讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性； ()证明当 t0 时，F(t) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 在(0，+)上 F“(t)0，故 F(t)在(0，+)内单调增加。 ()由于 要证明 t0 时 F(t) ，只需证明 t0 时，F(t)- 0，即 故 g(t)在(0，+)内单调增加。 因为 g(t)在 t=0 处连续，所以当 t0 时，有 g(t)g(0)=0。 因此，当 t0 时，F(t)解析：27.将 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时， 由幂级数的连续性，有 )解析：
