1、考研数学一（高等数学）-试卷 38 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：8.00)1.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_2.微分方程(y 2 +x)dx 一 2xydy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_3.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_4.方程 y“一 3y“+2y=2 x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：23，分数：60.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_6.求微分方程 （分数：2.00）_求下列方程的通解或满足给定初始条件的特解：（分数：16.00）(1
2、).y“+1=xe x+y （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).(y+2xy 2 )dx+(x 一 2x 2 y)dy=0（分数：2.00）_(4).(1+x)y“+y“=0（分数：2.00）_(5).yy“一(y“) 2 =y 4 ，y(0)=1，y“(0)=0（分数：2.00）_(6).y“+4y“+1=0（分数：2.00）_(7).y“+9y=cos(2x+5)（分数：2.00）_(8).y“一 3y“+9y“+13y=e 2x sin3x（分数：2.00）_7.设 y=e x 是微分方程 xy“+p(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足条件 y x=ln2 =0
3、 的特解（分数：2.00）_8.设有微分方程 y“一 2y=(x)，其中 （分数：2.00）_9.已知 y 1 =3，y 2 =3+x 2 ，y 3 =3+e x 是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程（分数：2.00）_10.已知函数 y=e 2x +(x+1)e x 是二阶常系数线性非齐次方程 y“+ay“+by=ce x 的一个特解，试确定常数a，b，c 及该方程的通解（分数：2.00）_11.已知 y“+(x+e 2y )y“ 3 =0，若把 x 看成因变量，y 看成自变量，则方程化为什么形式?并求此方程的通解（分数：2.00）_求分别满足下列关系式的 f(x)（分数：4.00）(
4、1).，其中 f(x)为连续函数； （分数：2.00）_(2).f“(x)+xf“(一 x)=x（分数：2.00）_12.设 f(x)连续且 （分数：2.00）_13.设 f(x)在 x0 上有定义，且对任意的正实数 x，y，f(xy)=xf(y)+yf(x)，f“(1)=2，试求 f(x)（分数：2.00）_14.设 (x)连续，且 （分数：2.00）_15.已知 （分数：2.00）_16.设 (x)有连续二阶导数，且 (0)=“(0)=0，du=y(x)dx+sinx 一 “(x)dy，试求u(x，y)（分数：2.00）_17.设 f(x)在(0，+)上可导，f(1)=3 （分数：2.00
5、）_18.设(r，)为极坐标，r0，02，设 u=u(r，)具有二阶连续偏导数，并满足 （分数：2.00）_19.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：2.00）_20.求方程 y (4) 一 y“=0 的一个特解，使其在 x0 时与 x 3 为等价无穷小（分数：2.00）_21.假设： (1)函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x 一 1； (2)平行于 y 轴的动直线MN 与曲线 y=f(x)和 y=e x 一 1 分别相交于点 P 1 和 P 2 ； (3)曲线 y=f(x)、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P
6、1 P 2 的长度 求函数 y=f(x)的表达式（分数：2.00）_22.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件（分数：2.00）_23.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点，若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程（分数：2.00）_24.以 yOz 坐标面上的平面曲线段 y
7、=f(z)(0zh)绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和 xOy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 16cm 2 ，如果以 3 cm 3 s 的速率把水注入容器，水表面的面积以cm 2 s 增大，试求曲线 y=f(z)的方程（分数：2.00）_25.要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面半径为 a，要求桥墩在任一水平面上所受上部桥墩的平均压强为一常数 P，设水泥比重为 ，试求桥墩形状（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 38 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：8.00)1.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （
8、正确答案：正确答案：*）解析：2.微分方程(y 2 +x)dx 一 2xydy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 =x(1nx+C)）解析：3.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：4.方程 y“一 3y“+2y=2 x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 1 e 2x 一 2xe x）解析：二、解答题(总题数：23，分数：60.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：6.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
9、解析：求下列方程的通解或满足给定初始条件的特解：（分数：16.00）(1).y“+1=xe x+y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x(csc(x+y)-cot(x+y)=C)解析：(3).(y+2xy 2 )dx+(x 一 2x 2 y)dy=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(4).(1+x)y“+y“=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=C 1 ln1+x+C 2)解析：(5).yy“一(y“) 2 =y 4 ，y(0)=1，y“(0)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
10、解析：(6).y“+4y“+1=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(7).y“+9y=cos(2x+5)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(8).y“一 3y“+9y“+13y=e 2x sin3x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.设 y=e x 是微分方程 xy“+p(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足条件 y x=ln2 =0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.设有微分方程 y“一 2y=(x)，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.已知 y 1 =3，y 2 =3+x 2
11、，y 3 =3+e x 是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求方程(2x-x 2 )y“+(x 2 一 2)y“+2(1 一 x)y=6(1 一 x)；通解为：y=C 1 x 2 +C 2 e x +3；)解析：10.已知函数 y=e 2x +(x+1)e x 是二阶常系数线性非齐次方程 y“+ay“+by=ce x 的一个特解，试确定常数a，b，c 及该方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=一 3，b=2，c=一 1，y=C 1 e 2x +C 2 e x +xe x)解析：11.已知 y“+(x+e 2y )y“ 3 =0
12、，若把 x 看成因变量，y 看成自变量，则方程化为什么形式?并求此方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 x y “x=e 2y ，通解为 )解析：求分别满足下列关系式的 f(x)（分数：4.00）(1).，其中 f(x)为连续函数； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)0)解析：(2).f“(x)+xf“(一 x)=x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 f(x)连续且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=Cx+2)解析：13.设 f(x)在 x0 上有定义，且对任意的正实数 x，y，f(xy)=xf(y)+yf(
13、x)，f“(1)=2，试求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=2xlnx)解析：14.设 (x)连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x)=e x +2xe x + )解析：15.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=xe x ， I=e)解析：16.设 (x)有连续二阶导数，且 (0)=“(0)=0，du=y(x)dx+sinx 一 “(x)dy，试求u(x，y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u(x，y)= )解析：17.设 f(x)在(0，+)上可导，f(1)=3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=
14、31nx+3)解析：18.设(r，)为极坐标，r0，02，设 u=u(r，)具有二阶连续偏导数，并满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u=C 1 +C 2 lnr)解析：19.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(t)= )解析：20.求方程 y (4) 一 y“=0 的一个特解，使其在 x0 时与 x 3 为等价无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=一 6x+3e x 一 3e -x)解析：21.假设： (1)函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x 一 1； (2)平行于 y 轴
15、的动直线MN 与曲线 y=f(x)和 y=e x 一 1 分别相交于点 P 1 和 P 2 ； (3)曲线 y=f(x)、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P 1 P 2 的长度 求函数 y=f(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：3f 2 (t)=2tf(t)+t 2 f“(t)， )解析
16、：23.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点，若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.以 yOz 坐标面上的平面曲线段 y=f(z)(0zh)绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和 xOy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 16cm 2 ，如果以 3 cm 3 s 的速率把水注入容器，水表面的面积以cm 2 s 增大，试求曲线 y=f(z)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面半径为 a，要求桥墩在任一水平面上所受上部桥墩的平均压强为一常数 P，设水泥比重为 ，试求桥墩形状（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：桥墩应为曲线段 )解析：
