1、考研数学一（高等数学）-试卷 36 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0。B.1。C.D.3.函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=1 为第一类间断点，x=-1 为第二类间断点。B.x=1 均为第一类间断点。C.x=1 为第二类间断点，x=-1 为第一类间断点。D.x=1 均为第二类间断点。4.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（分
2、数：2.00）A.充分必要条件。B.充分条件但非必要条件。C.必要条件但非充分条件。D.既非充分条件也非必要条件。5.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加。B.f(x)在(-，0)内单调减少。C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)。D.对任意的 x(-，0)有 f(x)f(0)。6.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)=f(x+2)。B.f(x)f(x+2)。C.f(x)f(x+2)。D.当 x0 时，f(x)f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)。7.已知 f x (x 0 ，y 0 )存在
3、，则 （分数：2.00）A.f x (x 0 ，y 0 )。B.0。C.2f x (x 0 ，y 0 )。D.8.，则积分区域为( ) （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2 。B.x 2 +y 2 a 2 (x0)。C.x 2 +y 2 ax。D.x 2 +y 2 ax(y0)。9.设 (a 2n-1 +a 2n )收敛，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.已知 （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.若 ， 是单位向量且满足 +=0，则以
4、 ， 为边的平行四边形的面积 S= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设曲面为 z= （分数：2.00）填空项 1:_17.将 （分数：2.00）填空项 1:_18.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 y()= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_
5、21.求方程 karctanx-x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数。（分数：2.00）_22.设 f(x)在-，上连续，且有 （分数：2.00）_23.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口(如图 1-3-5 所示)。已知井深30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：1N1m=1J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦。抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。) （分数：2.00）_24
6、.设函数 f(u)具有二阶连续导数，函数 z=f(e x sin)，)满足方程 （分数：2.00）_25.求 I= e x siny-b(x+y)dx+(e x cosy-ax)dy，其中 a，b 为正常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线y= （分数：2.00）_26.设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面，都有 xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e 2x zdxdy=0，其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，且 （分数：2.00）_27.设 f(x)= 将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 36 答案解析(
7、总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0。B.1。 C.D.解析：解析：因为f(x)1 恒成立，所以 ff(x)=1 恒成立，从而 ff(x)=f(1)=1。故选 B。3.函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=1 为第一类间断点，x=-1 为第二类间断点。B.x=1 均为第一类间断点。 C.x=1 为第二类间断点，x=-1 为第一类间断点。D.x=1 均为第二类间断点。解析：解析：分别就x=1，x1，x1 时求极限
8、，得出 f(x)的分段表达式：在x=1 处，因4.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。 B.充分条件但非必要条件。C.必要条件但非充分条件。D.既非充分条件也非必要条件。解析：解析：令 (x)=f(x)sinx，显然 (0)=0。由于 5.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加。B.f(x)在(-，0)内单调减少。C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)。 D.对任意的 x(-，0)有 f(x)f(0)。解析
9、：解析：由导数定义，知 f“(0)= 。根据极限的保号性，存在 0，使对任意 xU (0)，有 6.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)=f(x+2)。 B.f(x)f(x+2)。C.f(x)f(x+2)。D.当 x0 时，f(x)f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)。解析：解析：考查 f(x+2)-f(x)= (e cost -e -cost )dt，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得 7.已知 f x (x 0 ，y 0 )存在，则 （分数：2.00）A.f x (x 0 ，y 0 )。B.0。C.2f x (x 0 ，y 0 )。 D.解析：解
10、析： 8.，则积分区域为( ) （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2 。B.x 2 +y 2 a 2 (x0)。C.x 2 +y 2 ax。 D.x 2 +y 2 ax(y0)。解析：解析：由 r=cos 知 r 2 =arcos，即 x 2 +y 2 =ax(a0)，而且 9.设 (a 2n-1 +a 2n )收敛，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：当 a n 0 时，级数 (a 2n-1 +a 2n )为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列 =(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n-1 +a 2n )有上界，从而可知正项级数 的部分
11、和数列 S n =a 1 + 2 +a n 有上界，则级数 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+25y=0 与 x+y=0）解析：解析：显然原点(0，0)不在曲线上，首先需求出切点坐标。 因此切线方程为 把(0，0)代入上式，得 x 0 =-3 或 x 0 =-15。 则斜率分别为 12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x-1=sint，则13.若 ， 是单位向量且满足 +=0，则
12、以 ， 为边的平行四边形的面积 S= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令，=，则以 ， 为边的平行四边形的面积为 S=sin 由 +=0 可得如下方程组 解得 .= 。因此，所求平行四边形的面积14.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf“ 12 +f“ 2 +xyf“ 22）解析：解析：由题干可知15.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设曲面为 z= （分数：2.0
13、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：利用高斯公式及轮换对称性进行求解。 补平面 1 为 x 2 +y 2 4，z=0 的下侧，记和 1 所围的空间区域为 ，则 17.将 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对 从 0 到 x 求积分，有 对上式两端求导，得18.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 y()= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*(sinx-xcosx)）解析：解析：由题干中方程可知 根据通解公式得三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14、（分数：2.00）_解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求方程 karctanx-x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=karctanx-x，则 f(0)=0，且 当 k1 时，f“(x)0，f(x)在(-，+)单调递减，故此时 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点，也即方程 karctanx-x=0 只有一个实根。 当 k=1 时，在(-，0)和(0，+)上都有 f“(x)0，所以 f(x)在(-，0)和(0，+)上是严格单调递减的，又 f(0)=0，故 f(x)的图象在(-，0)和(0，+)上
15、与 x 轴均无交点。 当 k1 时， 上单调增加，由 f(0)=0 知，f(x)在 上只有一个实根；又 f(x)在 上都有 f“(x)0，因此 f(x)在上都单调递减，且 )解析：22.设 f(x)在-，上连续，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f(x)sinxdx=A，则 上式两端同乘以 sinx，并在-，上积分可得 令 x=-t，则 )解析：23.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口(如图 1-3-5 所示)。已知井深30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速
16、率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：1N1m=1J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦。抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作 x 轴如图 1-3-9 所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 W，当抓斗运动到 x 处时，作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N，缆绳的重力 50(30-x)N，污泥的重力 2000- .20(N)，即 )解析：24.设函数 f(u)具有二阶连续导数，函数 z=f(e x sin)，)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入 =(z+1
17、)e 2x ，得 f“(u)-f(u)=1。此方程对应的齐次方程f“(u)-f(u)=0 的通解为 f(u)=C 1 e u +C 2 2e -u 方程的一个特解为 f(u)=-1。所以方程 f“(u)-f(u)=1的通解为 f(u)=C 1 e u +C 2 e -u -1，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。 由 f(0)=0，f“(0)=0 得 C 1 =C 2 = ，从而函数 f(u)的表达式为 f(u)= )解析：25.求 I= e x siny-b(x+y)dx+(e x cosy-ax)dy，其中 a，b 为正常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线y= （分数：2.00）_正确答
18、案：(正确答案：添加从点 O(00)沿 y=0 到点 A(2a，0)的有向线段 L 1 ，则 利用格林公式，前一积分 其中 D 为 L+L 1 所围成的半圆域。 后一积分选择 x 为参数，得 L 1 ：y=0(x：02a)，直接积分得 )解析：26.设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面，都有 xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e 2x zdxdy=0，其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设和高斯公式得 其中 为围成的有界闭区域，号对应曲面取外侧或内侧，由的任意性，知 xf“(x)+f(x)-xf(x)-e 2x =0(x0)， 即 这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为 f(x)= (e x +C)。 即 C+1=0，从而 C=-1。 因此 )解析：27.设 f(x)= 将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接将 arctanx 展开不容易，但(arctanx)“易展开，即 积分得 因为右端级数在 x=1 处均收敛，又 arctanx 在 x=1 处连续，所以展开式在收敛区间端点 x=1 处成立。 将(*)式两边同乘 得 上式右端当 x=0 时取值为 1，于是 令 x=1，则 )解析：
