1、考研数学一（高等数学）-试卷 35 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.一 1B.0C.1D.23.设 L 为由 y 2 =x+3 及 x=2 围成的区域的边界，取逆时针方向，则 （分数：2.00）A.一 2B.2C.D.0二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.设 I= （分数：2.00）填空项 1:_5.设曲线 L：y= （分数：2.00）填空项 1:_6.(x 2 +2xy+y 3 )ds= 1，其中 L：x 2 +y
2、 2 =4（分数：2.00）填空项 1:_7.设 L： （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_9.计算 L (x 2 +y 2 )ds，其中 L：x 2 +y 2 =a 2 （分数：2.00）_10. L e （分数：2.00）_11.计算 L xdy 一(2y+1)dx，其中 (1)L 从原点经过直线 y=x 到点(2，2)； (2)L 从原点经过抛物线 y= （分数：2.00）_12.计算 L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy，其中 (1)L 从原点沿直线 y=x 到点
3、(1，1)； (2)L 从原点沿抛物线 y=x 到点(1，1)（分数：2.00）_13.计算 L (3x+2y+1)dx+ （分数：2.00）_14.利用格林公式计算 L (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)dy，其中 L 是圆周 y= （分数：2.00）_15.求 I= （分数：2.00）_16.计算 I= L (e x +1)cosydx(e x +x)siny 一 xdy，其中 L 为由点 A(2，0)沿心形线 r=1+cos 上侧到原点的有向曲线段（分数：2.00）_17.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲
4、线从点 O 到 A 的积分I= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小（分数：2.00）_18.设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数，且 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，且对任意的t 有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy，求 Q(x，y)（分数：2.00）_19.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关，其中 连续可导，且 (0)=0，计算， (0，0) (1，1) xy 2 dx+y(x)dy（分数：2.00）_20.计算曲线积分 （分数：2.00）_21
5、.计算 （分数：2.00）_22.计算 I= （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.求 I= （分数：2.00）_25.计算 I= （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.设： =1(z0)，点 P(x，y，z)， 为曲面在点 P 处的切平面，d(x，y，z)为点0(0，0，0)到平面 的距离，计算 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 35 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）
6、A.一 1B.0C.1D.2 解析：解析：P(x，y)=3.设 L 为由 y 2 =x+3 及 x=2 围成的区域的边界，取逆时针方向，则 （分数：2.00）A.一 2B.2 C.D.0解析：解析：取 C r ：x 2 +y 2 =r 2 (其中 r0，C r 在 L 内，取逆时针)， 设由 L 及 C r 所围成的区域为 D r ，由 C r 围成的区域为 D 0 ，由格林公式得 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.设 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.设曲线 L：y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
7、解析：6.(x 2 +2xy+y 3 )ds= 1，其中 L：x 2 +y 2 =4（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：根据对称性和奇偶性得7.设 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：36l）解析：解析：由对称性 L (9x 2 +72xy+4y 2 )ds= L (9x 2 +4y 2 )dx， 于是原式=36 L ( 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：9.计算 L (x 2 +y 2 )ds，其中 L：x 2 +y 2 =a 2 （分数：2.0
8、0）_正确答案：(正确答案：根据对称性， L (x 3 +y 2 )ds= L y 2 ds= L x 2 ds，则 L (x 3 +y 2 )dx= )解析：10. L e （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.计算 L xdy 一(2y+1)dx，其中 (1)L 从原点经过直线 y=x 到点(2，2)； (2)L 从原点经过抛物线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) L xdy 一(2y+1)dx= 0 2 xdx 一(2x+1)dx=一 0 2 (x+1)dx=一 4 (2) L xdy 一(2y+1)dx= 0 2 xdxd 一(x 2 +1)d
9、x=一 2)解析：12.计算 L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy，其中 (1)L 从原点沿直线 y=x 到点(1，1)； (2)L 从原点沿抛物线 y=x 到点(1，1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) L (xy 2 +y)dx+(x2y+x)dy= 0 1 (x+x)dx+(x+x)dx = 0 1 (2x+2x)dx= (2) L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy=J(x 4 +x 2 )dx+(x 4 +x)2xdx = 0 1 (3x 5 +3x 2 )dx= )解析：13.计算 L (3x+2y+1)dx+ （分数：2.00）_正确答案
10、：(正确答案： )解析：14.利用格林公式计算 L (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)dy，其中 L 是圆周 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= L (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)dy )解析：15.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 L 0 ：y=0(起点 x=一 a，终点 x=a)， )解析：16.计算 I= L (e x +1)cosydx(e x +x)siny 一 xdy，其中 L 为由点 A(2，0)沿心形线 r=1+cos 上侧到原点的有向曲线段（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 L
11、1 ：y=0(起点 x=0，终点 x=2)，则 )解析：17.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从点 O 到 A 的积分I= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I=I(a)= 0 (1+a 3 sin 3 x)+(2x+asinx)acosxdx= 一 4a+ )解析：18.设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数，且 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，且对任意的t 有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (t，1)
12、 2xydx+Q(x，y)dy，求 Q(x，y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线积分与路径无关，所以 )解析：19.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关，其中 连续可导，且 (0)=0，计算， (0，0) (1，1) xy 2 dx+y(x)dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P(x，y)=xy 2 ，Q(x，y)=y(x)， 因为曲线积分与路径无关，所以有 ，即 “(x)=2x， 故 (x)=x 2 +C，因为 (0)=0，所以 (x)=x 2 (0，0) (t，1) xy 2 dx+y(x)dy= (0，0) (t，1) xy 2 dx+
13、x 2 ydy = )解析：20.计算曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)当 0(0，0)在 L 所围成的区域内部时，作 C r ：x 2 +4y 2 =r 2 (其中r0，C 在 L 内部，方向为逆时针方向)，再令由 L 和 C r 所围成的区域为 D r ，由格林公式 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(x，y)= ， 作上半椭圆 C 0 ：x 2 +4y 2 =1，方向取逆时针，L 与 C 0 围成的区域为 D 1 ，C 0 与 x 轴围成的区域为 D 2 ，由格林公式得 )解析：22.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面在 xOy 平面上的投影区域为 D xy ：x 2 +y 2 4， )解析：24.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设： =1(z0)，点 P(x，y，z)， 为曲面在点 P 处的切平面，d(x，y，z)为点0(0，0，0)到平面 的距离，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
