1、考研数学一(高等数学)-试卷 35 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 (分数:2.00)A.一 1B.0C.1D.23.设 L 为由 y 2 =x+3 及 x=2 围成的区域的边界,取逆时针方向,则 (分数:2.00)A.一 2B.2C.D.0二、填空题(总题数:4,分数:8.00)4.设 I= (分数:2.00)填空项 1:_5.设曲线 L:y= (分数:2.00)填空项 1:_6.(x 2 +2xy+y 3 )ds= 1,其中 L:x 2 +y
2、 2 =4(分数:2.00)填空项 1:_7.设 L: (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:20,分数:40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_9.计算 L (x 2 +y 2 )ds,其中 L:x 2 +y 2 =a 2 (分数:2.00)_10. L e (分数:2.00)_11.计算 L xdy 一(2y+1)dx,其中 (1)L 从原点经过直线 y=x 到点(2,2); (2)L 从原点经过抛物线 y= (分数:2.00)_12.计算 L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy,其中 (1)L 从原点沿直线 y=x 到点
3、(1,1); (2)L 从原点沿抛物线 y=x 到点(1,1)(分数:2.00)_13.计算 L (3x+2y+1)dx+ (分数:2.00)_14.利用格林公式计算 L (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)dy,其中 L 是圆周 y= (分数:2.00)_15.求 I= (分数:2.00)_16.计算 I= L (e x +1)cosydx(e x +x)siny 一 xdy,其中 L 为由点 A(2,0)沿心形线 r=1+cos 上侧到原点的有向曲线段(分数:2.00)_17.在过点 O(0,0)和 A(,0)的曲线族 y=asinx(a0)中,求一条曲线 L,使沿该曲
4、线从点 O 到 A 的积分I= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小(分数:2.00)_18.设 Q(x,y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数,且 L 2xydx+Q(x,y)dy 与路径无关,且对任意的t 有 (0,0) (t,1) 2xydx+Q(x,y)dy= (0,0) (t,1) 2xydx+Q(x,y)dy,求 Q(x,y)(分数:2.00)_19.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关,其中 连续可导,且 (0)=0,计算, (0,0) (1,1) xy 2 dx+y(x)dy(分数:2.00)_20.计算曲线积分 (分数:2.00)_21
5、.计算 (分数:2.00)_22.计算 I= (分数:2.00)_23.计算 (分数:2.00)_24.求 I= (分数:2.00)_25.计算 I= (分数:2.00)_26.计算 (分数:2.00)_27.设: =1(z0),点 P(x,y,z), 为曲面在点 P 处的切平面,d(x,y,z)为点0(0,0,0)到平面 的距离,计算 (分数:2.00)_考研数学一(高等数学)-试卷 35 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 (分数:2.00)
6、A.一 1B.0C.1D.2 解析:解析:P(x,y)=3.设 L 为由 y 2 =x+3 及 x=2 围成的区域的边界,取逆时针方向,则 (分数:2.00)A.一 2B.2 C.D.0解析:解析:取 C r :x 2 +y 2 =r 2 (其中 r0,C r 在 L 内,取逆时针), 设由 L 及 C r 所围成的区域为 D r ,由 C r 围成的区域为 D 0 ,由格林公式得 二、填空题(总题数:4,分数:8.00)4.设 I= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:5.设曲线 L:y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:
7、解析:6.(x 2 +2xy+y 3 )ds= 1,其中 L:x 2 +y 2 =4(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:8)解析:解析:根据对称性和奇偶性得7.设 L: (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:36l)解析:解析:由对称性 L (9x 2 +72xy+4y 2 )ds= L (9x 2 +4y 2 )dx, 于是原式=36 L ( 三、解答题(总题数:20,分数:40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:9.计算 L (x 2 +y 2 )ds,其中 L:x 2 +y 2 =a 2 (分数:2.0
8、0)_正确答案:(正确答案:根据对称性, L (x 3 +y 2 )ds= L y 2 ds= L x 2 ds,则 L (x 3 +y 2 )dx= )解析:10. L e (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:11.计算 L xdy 一(2y+1)dx,其中 (1)L 从原点经过直线 y=x 到点(2,2); (2)L 从原点经过抛物线 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1) L xdy 一(2y+1)dx= 0 2 xdx 一(2x+1)dx=一 0 2 (x+1)dx=一 4 (2) L xdy 一(2y+1)dx= 0 2 xdxd 一(x 2 +1)d
9、x=一 2)解析:12.计算 L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy,其中 (1)L 从原点沿直线 y=x 到点(1,1); (2)L 从原点沿抛物线 y=x 到点(1,1)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1) L (xy 2 +y)dx+(x2y+x)dy= 0 1 (x+x)dx+(x+x)dx = 0 1 (2x+2x)dx= (2) L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy=J(x 4 +x 2 )dx+(x 4 +x)2xdx = 0 1 (3x 5 +3x 2 )dx= )解析:13.计算 L (3x+2y+1)dx+ (分数:2.00)_正确答案
10、:(正确答案: )解析:14.利用格林公式计算 L (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)dy,其中 L 是圆周 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:I= L (e x siny+xy)dx+(e x cosy+y)dy )解析:15.求 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:取 L 0 :y=0(起点 x=一 a,终点 x=a), )解析:16.计算 I= L (e x +1)cosydx(e x +x)siny 一 xdy,其中 L 为由点 A(2,0)沿心形线 r=1+cos 上侧到原点的有向曲线段(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 L
11、1 :y=0(起点 x=0,终点 x=2),则 )解析:17.在过点 O(0,0)和 A(,0)的曲线族 y=asinx(a0)中,求一条曲线 L,使沿该曲线从点 O 到 A 的积分I= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:I=I(a)= 0 (1+a 3 sin 3 x)+(2x+asinx)acosxdx= 一 4a+ )解析:18.设 Q(x,y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数,且 L 2xydx+Q(x,y)dy 与路径无关,且对任意的t 有 (0,0) (t,1) 2xydx+Q(x,y)dy= (0,0) (t,1)
12、 2xydx+Q(x,y)dy,求 Q(x,y)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为曲线积分与路径无关,所以 )解析:19.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关,其中 连续可导,且 (0)=0,计算, (0,0) (1,1) xy 2 dx+y(x)dy(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 P(x,y)=xy 2 ,Q(x,y)=y(x), 因为曲线积分与路径无关,所以有 ,即 “(x)=2x, 故 (x)=x 2 +C,因为 (0)=0,所以 (x)=x 2 (0,0) (t,1) xy 2 dx+y(x)dy= (0,0) (t,1) xy 2 dx+
13、x 2 ydy = )解析:20.计算曲线积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: (2)当 0(0,0)在 L 所围成的区域内部时,作 C r :x 2 +4y 2 =r 2 (其中r0,C 在 L 内部,方向为逆时针方向),再令由 L 和 C r 所围成的区域为 D r ,由格林公式 )解析:21.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:P(x,y)= , 作上半椭圆 C 0 :x 2 +4y 2 =1,方向取逆时针,L 与 C 0 围成的区域为 D 1 ,C 0 与 x 轴围成的区域为 D 2 ,由格林公式得 )解析:22.计算 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:曲面在 xOy 平面上的投影区域为 D xy :x 2 +y 2 4, )解析:24.求 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:25.计算 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.设: =1(z0),点 P(x,y,z), 为曲面在点 P 处的切平面,d(x,y,z)为点0(0,0,0)到平面 的距离,计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析: