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    【考研类试卷】考研数学一(高等数学)-试卷31及答案解析.doc

    • 资源ID:1394271       资源大小:182KB        全文页数:11页
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    【考研类试卷】考研数学一(高等数学)-试卷31及答案解析.doc

    1、考研数学一(高等数学)-试卷 31 及答案解析(总分:110.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ,y 2 =2xe x ,y 3 =3e -x ,则该微分方程为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 1 (x), 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为( )(分数:2.00)A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1

    2、(x)一 2 (x)+ 2 (x)D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)4.微分方程 y“一 4y=e 2x +x 的特解形式为( )(分数:2.00)A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c5.微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:15,分数:30.00)6.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_7.设 f(x)在0,+)上非负连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_8.设 Y=y(x)可导,

    3、y(0)=2,令y=y(x+x)一 y(x),且 (分数:2.00)填空项 1:_9. (分数:2.00)填空项 1:_10.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_11.连续函数 f(x)满足 (分数:2.00)填空项 1:_12.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_13.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1,y“(0)=0 的解为 1(分数:2.00)填空项 1:_14.设 y=y(x)过原点,在原点处的切线平行于直线 y=2x+1,又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y+9y

    4、=e 3x ,则 y(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_15.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1,y“(一 2)=1 的特解为 1(分数:2.00)填空项 1:_16.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_17.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2,则 Q(x)= 1,该微分方程的通解为 2(分数:2.00)填空项 1:_18.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_19.设 y“一 3y“+ay=一

    5、 5e -x 的特解形式为 Axe -x ,则其通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_20.设 f(x)连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:35,分数:70.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_22. (分数:2.00)_23.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解(分数:2.00)_24. (分数:2.00)_25.求微分方程 (分数:2.00)_26.求微分方程(yx 3 )dx 一 2xdy=0 的通解(分数:2.00)_27.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解(分数:2.00)_28

    6、.求微分方程 (分数:2.00)_29.求微分方程 (分数:2.00)_30.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解(分数:2.00)_31.求微分方程(xy 2 +y 一 1)dx+(x 2 y+x+2)dy=0 的通解(分数:2.00)_32. (分数:2.00)_33.求微分方程 (分数:2.00)_34.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解,求此微分方程满足初始条件 y(1n2)=0 的特解(分数:2.00)_35. (分数:2.00)_36.用变量代换 x=Int 将方程 (分数:2.00)_37.设当 x0 时,f(x)满足

    7、(分数:2.00)_38.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0,y(0)=1,y“(0)=1 的特解(分数:2.00)_39.求微分方程 yy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解(分数:2.00)_40.一条曲线经过点(2,0),且在切点与 y 轴之间的切线长为 2,求该曲线(分数:2.00)_41.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1,1),曲线 L 1 在点(x,y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2,曲线 L 2 在点(x,y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2,求两曲线所围成区域的面积(分数:2.00)_42.用变量代换 x=sint 将方程 (分数:

    8、2.00)_43.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ,y 2 =2e -x 一 3e 2x 为特解,求该微分方程(分数:2.00)_44.求微分方程 y“+2y“一 3y=(2x+1)e x 的通解(分数:2.00)_45.求 y“一 2y“一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1,y“(0)=1 的特解(分数:2.00)_46.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解(分数:2.00)_47.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解(分数:2.00)_48.求微分方程 x 3 y“+2x 2 y“一 xy“+y=0 的通解(分数:2.00)_49.

    9、求微分方程 x 2 y“一 2xy“+2y=2x 一 1 的通解(分数:2.00)_50.设单位质点在水平面内作直线运动,初速度 v t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1),问为多少时此质点的速度为 (分数:2.00)_51.设 f(x)在0,+)上连续,且 f(0)0,设 f(x)在0,x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数,求 f(x).(分数:2.00)_52.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内,L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交,交点为 A,已知MA=OA,且 L 经过点 (分数:2.00)_53.在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点

    10、P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与 x 轴平行(分数:2.00)_54.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比,比例系数为 k0,设融化过程中形状不变,设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 (分数:2.00)_55.设 f(x)在0,1上连续且满足 f(0)=1,f“(x)一 f(x)=a(x 一 1)y=f(x),x=0,x=1,y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求 f(x)(分数:2.00)_考研数学一(高等数学)-试卷 31 答案解析(总分:110.00

    11、,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ,y 2 =2xe x ,y 3 =3e -x ,则该微分方程为( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:由 y 1 =e x ,y 2 =2xe x ,y 3 =3e -x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =1, 3 =一 1,其特征方程为( 一 1) 2 (+1)=0,即 3 一 2 一 +1=0,所求的微分方程为 y“-y“-y“+y=

    12、0,选(A)3.设 1 (x), 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为( )(分数:2.00)A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x) D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)解析:解析:因为 1 (x), 2 (x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解,所以 1 (x)一 2 (x)为方程 y“+P(x)y=0 的一个解,于是方程 y“+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x),选(C)4.微分方程 y“一 4

    13、y=e 2x +x 的特解形式为( )(分数:2.00)A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c 解析:解析:y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0,特征值为 1 =一 2, 2 =2y“一 4y=e 2x 的特解形式为 y 1 =axe 2x ,y“一 4y=x 的特解形式为 y 2 =bx+c,故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c,应选(D)5.微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4

    14、=0,特征值为一 2,2,则方程 y“一 4y=0 的通解为 C 1 e -2x +C 2 e 2x ,显然方程 y“一 4y=x+2 有特解 二、填空题(总题数:15,分数:30.00)6.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:7.设 f(x)在0,+)上非负连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:f(x)=2x)解析:解析:8.设 Y=y(x)可导,y(0)=2,令y=y(x+x)一 y(x),且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:9. (分数

    15、:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:10.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:11.连续函数 f(x)满足 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2e 3x)解析:解析:12.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:13.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1,y“(0)=0 的解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:14

    16、.设 y=y(x)过原点,在原点处的切线平行于直线 y=2x+1,又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y+9y=e 3x ,则 y(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:15.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1,y“(一 2)=1 的特解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:16.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:lnx+C)解析:解析:17.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2,则 Q

    17、(x)= 1,该微分方程的通解为 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:Q(x)=2+2x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x一 19, y=C 1 e -4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ,C 2 为任意常数))解析:解析:显然 =一 4 是特征方程 2 +q=0 的解,故 q=一 12,即特征方程为 2 + 一12=0,特征值为 1 =一 4, 2 =3因为 x 2 +3x+2 为特征方程 y“+y“一 12y=Q(x)的一个特解,所以Q(x)=2+2x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x 一 19

    18、,且通解为 y=C 1 e -4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ,C 2 为任意常数)18.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y“+y“一 2y=一 sinx 一 3cosx)解析:解析:特征值为 1 =一 2, 2 =1,特征方程为 2 + 一 2=0,设所求的微分方程为 y“+y“一 2y=Q(x),把 y=cosx 代入原方程,得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx,所求微分方程为 y“+y“一 2y=一 sinx 一3cosx19.

    19、设 y“一 3y“+ay=一 5e -x 的特解形式为 Axe -x ,则其通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:Y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x )解析:解析:因为方程有特解 Axe -x ,所以一 1 为特征值,即(一 1) 2 一 3(一 1)+a=0a=一 4,所以特征方程为 2 一 3 一 4=0 1 =一 1, 2 =4,齐次方程 y“一 3y“+ay=0 的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 4x ,再把 Axe -x 代入原方程得 A=1,原方程的通解为 Y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x 20.设

    20、f(x)连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:f(x)=e -x)解析:解析:三、解答题(总题数:35,分数:70.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:22. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:25.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.求微分方程(yx 3 )dx 一 2xdy=0 的通解(分数:2.00)_正

    21、确答案:(正确答案: )解析:27.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:29.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:30.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:31.求微分方程(xy 2 +y 一 1)dx+(x 2 y+x+2)dy=0 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:32. (分数:2.00)_正确答案:(

    22、正确答案: )解析:33.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:34.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解,求此微分方程满足初始条件 y(1n2)=0 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:把 y=e x 代入微分方程 xy“+P(x)y=x,得 P(x)=xe -x 一 x,原方程化为 )解析:35. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:36.用变量代换 x=Int 将方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:37.设当 x0 时,f(x)满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:38.求

    23、满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0,y(0)=1,y“(0)=1 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:39.求微分方程 yy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:40.一条曲线经过点(2,0),且在切点与 y 轴之间的切线长为 2,求该曲线(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:曲线在点(x,y)处的切线方程为 Yy=y“(X-x), 令 X=0,则 Y=y 一 xy“,切线与y 轴的交点为(0,y 一 xy“), )解析:41.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1,1),曲线 L 1

    24、在点(x,y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2,曲线 L 2 在点(x,y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2,求两曲线所围成区域的面积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:42.用变量代换 x=sint 将方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:43.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ,y 2 =2e -x 一 3e 2x 为特解,求该微分方程(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 y 1 =e 2x ,y 2 =2e -x 一 3e 2x 为特解,所以 e 2x ,e -x 也是该微分方程的特解,故其特征方程的特征值为 1 =一

    25、1, 2 =2,特征方程为(+1)( 一 2)=0 即 2 一 一2=0,所求的微分方程为 y“一 y“一 2y=0)解析:44.求微分方程 y“+2y“一 3y=(2x+1)e x 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:45.求 y“一 2y“一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1,y“(0)=1 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:46.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:47.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:特征方

    26、程为 2 +1=0,特征值为 1 =一 i, 2 =i, 方程 y“+y=0 的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y=x 2 +3,特解为 y 1 =x 2 +1; )解析:48.求微分方程 x 3 y“+2x 2 y“一 xy“+y=0 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:49.求微分方程 x 2 y“一 2xy“+2y=2x 一 1 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:50.设单位质点在水平面内作直线运动,初速度 v t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1),问为多少时此质点的速度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:51.设 f(x)在0,+)上连续,且 f(0)0,设 f(x)在0,x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数,求 f(x).(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:52.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内,L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交,交点为 A,已知MA=OA,且 L 经过点 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:53.在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的


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