1、考研数学一（高等数学）-试卷 31 及答案解析(总分：110.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1
2、(x)一 2 (x)+ 2 (x)D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)4.微分方程 y“一 4y=e 2x +x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c5.微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：15，分数：30.00)6.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 Y=y(x)可导，
3、y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且 （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.连续函数 f(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y+9y
4、=e 3x ，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(一 2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_17.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_18.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设 y“一 3y“+ay=一
5、 5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：35，分数：70.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解（分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.求微分方程 （分数：2.00）_26.求微分方程(yx 3 )dx 一 2xdy=0 的通解（分数：2.00）_27.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_28
6、.求微分方程 （分数：2.00）_29.求微分方程 （分数：2.00）_30.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_31.求微分方程(xy 2 +y 一 1)dx+(x 2 y+x+2)dy=0 的通解（分数：2.00）_32. （分数：2.00）_33.求微分方程 （分数：2.00）_34.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(1n2)=0 的特解（分数：2.00）_35. （分数：2.00）_36.用变量代换 x=Int 将方程 （分数：2.00）_37.设当 x0 时，f(x)满足
7、（分数：2.00）_38.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_39.求微分方程 yy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_40.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_41.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_42.用变量代换 x=sint 将方程 （分数：
8、2.00）_43.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_44.求微分方程 y“+2y“一 3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_45.求 y“一 2y“一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_46.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（分数：2.00）_47.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_48.求微分方程 x 3 y“+2x 2 y“一 xy“+y=0 的通解（分数：2.00）_49.
9、求微分方程 x 2 y“一 2xy“+2y=2x 一 1 的通解（分数：2.00）_50.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_51.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x).（分数：2.00）_52.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 （分数：2.00）_53.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点
10、P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：2.00）_54.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_55.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)一 f(x)=a(x 一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 31 答案解析(总分：110.00
11、，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 1，其特征方程为( 一 1) 2 (+1)=0，即 3 一 2 一 +1=0，所求的微分方程为 y“-y“-y“+y=
12、0，选(A)3.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x) D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以 1 (x)一 2 (x)为方程 y“+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y“+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x)，选(C)4.微分方程 y“一 4
13、y=e 2x +x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c 解析：解析：y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为 1 =一 2， 2 =2y“一 4y=e 2x 的特解形式为 y 1 =axe 2x ，y“一 4y=x 的特解形式为 y 2 =bx+c，故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c，应选(D)5.微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4
14、=0，特征值为一 2，2，则方程 y“一 4y=0 的通解为 C 1 e -2x +C 2 e 2x ，显然方程 y“一 4y=x+2 有特解 二、填空题(总题数：15，分数：30.00)6.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)=2x）解析：解析：8.设 Y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9. （分数
15、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.连续函数 f(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3x）解析：解析：12.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14
16、.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y+9y=e 3x ，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(一 2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnx+C）解析：解析：17.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，则 Q
17、(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Q(x)=2+2x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x一 19， y=C 1 e -4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)）解析：解析：显然 =一 4 是特征方程 2 +q=0 的解，故 q=一 12，即特征方程为 2 + 一12=0，特征值为 1 =一 4， 2 =3因为 x 2 +3x+2 为特征方程 y“+y“一 12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x 一 19
18、，且通解为 y=C 1 e -4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)18.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“+y“一 2y=一 sinx 一 3cosx）解析：解析：特征值为 1 =一 2， 2 =1，特征方程为 2 + 一 2=0，设所求的微分方程为 y“+y“一 2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y“+y“一 2y=一 sinx 一3cosx19.
19、设 y“一 3y“+ay=一 5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x ）解析：解析：因为方程有特解 Axe -x ，所以一 1 为特征值，即(一 1) 2 一 3(一 1)+a=0a=一 4，所以特征方程为 2 一 3 一 4=0 1 =一 1， 2 =4，齐次方程 y“一 3y“+ay=0 的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 4x ，再把 Axe -x 代入原方程得 A=1，原方程的通解为 Y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x 20.设
20、f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)=e -x）解析：解析：三、解答题(总题数：35，分数：70.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求微分方程(yx 3 )dx 一 2xdy=0 的通解（分数：2.00）_正
21、确答案：(正确答案： )解析：27.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.求微分方程(xy 2 +y 一 1)dx+(x 2 y+x+2)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32. （分数：2.00）_正确答案：(
22、正确答案： )解析：33.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(1n2)=0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 y=e x 代入微分方程 xy“+P(x)y=x，得 P(x)=xe -x 一 x，原方程化为 )解析：35. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.用变量代换 x=Int 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.设当 x0 时，f(x)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38.求
23、满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.求微分方程 yy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：40.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为 Yy=y“(X-x)， 令 X=0，则 Y=y 一 xy“，切线与y 轴的交点为(0，y 一 xy“)， )解析：41.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1
24、在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：42.用变量代换 x=sint 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：43.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x 一 3e 2x 为特解，所以 e 2x ，e -x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 =一
25、1， 2 =2，特征方程为(+1)( 一 2)=0 即 2 一 一2=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 2y=0)解析：44.求微分方程 y“+2y“一 3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：45.求 y“一 2y“一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：46.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：47.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方
26、程为 2 +1=0，特征值为 1 =一 i， 2 =i， 方程 y“+y=0 的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y=x 2 +3，特解为 y 1 =x 2 +1； )解析：48.求微分方程 x 3 y“+2x 2 y“一 xy“+y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：49.求微分方程 x 2 y“一 2xy“+2y=2x 一 1 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：50.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：51.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x).（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：52.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：53.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的
