1、考研数学一(高等数学)-试卷 29 及答案解析(总分:76.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:12.00)1.设直线 (分数:2.00)填空项 1:_2.点 M(3,一 1,2)到直线 (分数:2.00)填空项 1:_3.两异面直线 (分数:2.00)填空项 1:_4.设点 M 1 (1,一 1,一 2),M 2 (1,0,3),M 3 (2,1,2),则点 M 3 到向量 (分数:2.00)填空项 1:_5.直线 (分数:2.00)填空项 1:_6.设直线 l 过点 M(1,一 2,0)且与两条直线 (分数:2.00)填空项 1:_二、解答题(总题数:31,分数:64
2、.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 f(x)在(一 a,a)(a0)内连续,且 f“(0)2(分数:4.00)(1).证明:对 0xa,存在 01,使得 (分数:2.00)_(2).求 (分数:2.00)_8. (分数:2.00)_9.设 f(x)有界,且 f“(x)连续,对任意的 x(一,)有f(x)f“(x)1证明:f(x)1(分数:2.00)_10.设 f(x)在(一,)上有定义,且对任意的 x,y(一,)有f(x)f(y)xy证明: (分数:2.00)_11.设 f(x)在0,1上连续,且 0mf(x)M,对任意的 x0,1,证明: (分数:2.00)_12
3、.设 f(x)在a,b上连续且单调增加,证明: (分数:2.00)_13.设 f(x)在(0,)内连续且单调减少证明: (分数:2.00)_14.设 f(x)在a,b上连续且单调减少证明:当 0k1 时, (分数:2.00)_15.设 f“(x)在0,1上连续且f“(x)M证明: (分数:2.00)_16.设 f(x)在0,a上一阶连续可导,f(0)0,令 。证明: (分数:2.00)_17.设 f“(x)在0,1上连续,且 f(1)一 f(0)1证明: (分数:2.00)_18.(x)在a,b上连续可导,且 f(a)0证明: (分数:2.00)_19.(x)在a,b上连续可导,且 f(a)f
4、(b)0证明: (分数:2.00)_20.设 f(x)在a,b上连续可导,证明: (分数:2.00)_21.设 f(x)在0,1上二阶可导,且 f“(x)0证明: (分数:2.00)_22.设 f(x)在区间a,b上二阶可导且 f“(x)0证明: (分数:2.00)_23.设 f(x)C0,1,f(x)0证明积分不等式: (分数:2.00)_24.设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S 1 ,它们与直线 x1 所围成的图形面积为 S 2 ,且 a1 (1)确定 a,使 S 1 S 2 达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积
5、(分数:2.00)_25.求曲线 y3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y3 旋转所得的旋转体的体积(分数:2.00)_26.求椭圆 与椭圆 (分数:2.00)_设点 A(1,0,0),B(0,1,1),线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S(分数:4.00)(1).求旋转曲面的方程;(分数:2.00)_(2).求曲面 S 介于平面 z0 与 z1 之间的体积(分数:2.00)_27.计算 (分数:2.00)_28.计算 (分数:2.00)_29.计算定积分 (分数:2.00)_30.证明: (分数:2.00)_31.证明:当 x0 时,f(x) 的最大值不超过 (分数:
6、2.00)_32.设 f(x)在a,b上连续,且对任意的 t0,1及任意的 x 1 ,x 2 a,b满足: f(tx 1 (1 一t)x 2 )tf(x 1 )(1 一 t)f(x 2 ) 证明: (分数:2.00)_33.设 f(x)Ca,b,在(a,b)内二阶可导,且 f“(x)0,(x)是区间a,b上的非负连续函数,且证明: (分数:2.00)_34.令 f(x)x 一x,求极限 (分数:2.00)_35.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥提出井口设井深 30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重 50N,抓斗盛污泥 2 000 N,提升速度为 3 ms,在提升过程中,污泥以 2
7、0 Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口,问克服重力做功多少? (分数:2.00)_考研数学一(高等数学)-试卷 29 答案解析(总分:76.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:12.00)1.设直线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:x 一 3yz20)解析:解析:所求平面的法向量为 n1,0,一 12,1,11,一 3,1,又平面过点(1,2,3),则所求平面方程为 :(x 一 1)一 3(y 一 2)(z 一 3)0,即 :x 一 3yz202.点 M(3,一 1,2)到直线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:
8、*)解析:解析:直线的方向向量为 s1,1,一 12,一 1,10,一 3,一 3,显然直线经过点 M 0 (1,一 1,1), ,则点 M(3,一 1,2)到直线 的距离为 3.两异面直线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:7)解析:解析:s 1 4,一 3,1,s 2 一 2,9,2,n4,一 3,1一 2,9,2一 15,一10,30,过直线 L 2 且与 L 1 平行的平面方程为 :一 15x 一 10(y7)30(z 一 2)0,即:3x2y 一 6z260, 4.设点 M 1 (1,一 1,一 2),M 2 (1,0,3),M 3 (2,1,2),则点 M 3
9、 到向量 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:5.直线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:x 2 y 2 一 z 2 1)解析:解析:设 M(x,y,z)为旋转曲面上的任意一点,该点所在的圆对应与直线 L 上的点为 M 0 (x 0 ,y 0 ,z),圆心为 T(0,0,z),由 ,得 x 2 y 2 x 0 2 y 0 2 因为 M 0 (x 0 ,y 0 ,z)L,所以 6.设直线 l 过点 M(1,一 2,0)且与两条直线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:直线 l 1 的方向向量为 s 1
10、2,0,11,一 1,31,一 5,一 2,直线 l 2 的方向向量为 s 2 1,一 4,0,则直线 l 的方向向量为 ss 1 s 2 (一 8,一 2,1),直线 l 的方程为 ,参数方程为 二、解答题(总题数:31,分数:64.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:设 f(x)在(一 a,a)(a0)内连续,且 f“(0)2(分数:4.00)(1).证明:对 0xa,存在 01,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(2).求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:8. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:9.
11、设 f(x)有界,且 f“(x)连续,对任意的 x(一,)有f(x)f“(x)1证明:f(x)1(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)e x f(x),则 “(x)e x f(x)f“(x), 由f(x)f“(x)1得“(x)e x ,又由 f(x)有界得 (一)0,则 (x)(x)一 (一) ,两边取绝对值得 )解析:10.设 f(x)在(一,)上有定义,且对任意的 x,y(一,)有f(x)f(y)xy证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为(b 一 a)f(a) , )解析:11.设 f(x)在0,1上连续,且 0mf(x)M,对任意的 x0,1,证明: (分数
12、:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 0mf(x)M,所以 f(x)一 m0,f(x)一 M0,从而 )解析:12.设 f(x)在a,b上连续且单调增加,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:13.设 f(x)在(0,)内连续且单调减少证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:14.设 f(x)在a,b上连续且单调减少证明:当 0k1 时, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.设 f“(x)在0,1上连续且f“(x)M证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.设 f(x)在0,a上一阶连续可导,f(0)0
13、,令 。证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由微分中值定理得 f(x)一 f(0)f“()x,其中 介入 0 与 x 之间, 因为 f(0)0,所以f(x)f“()xMx,x0,a, 从而 )解析:17.设 f“(x)在0,1上连续,且 f(1)一 f(0)1证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18.(x)在a,b上连续可导,且 f(a)0证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:19.(x)在a,b上连续可导,且 f(a)f(b)0证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.设 f(x)在a,b上连续可导,证明:
14、(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.设 f(x)在0,1上二阶可导,且 f“(x)0证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.设 f(x)在区间a,b上二阶可导且 f“(x)0证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.设 f(x)C0,1,f(x)0证明积分不等式: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S 1 ,它们与直线 x1 所围成的图形面积为 S 2 ,且 a1 (1)确定 a,使 S 1 S 2 达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所
15、对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)直线 yax 与抛物线 yx 2 的交点为(0,0),(a,a 2 ) )解析:25.求曲线 y3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y3 旋转所得的旋转体的体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然所给的函数为偶函数,只研究曲线的右半部分绕 y3 旋转所成的体积)解析:26.求椭圆 与椭圆 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据对称性,所求面积为第一象限围成面积的 4 倍,先求第一象限的面积. )解析:设点 A(1,0,0),B(0,1,1),线段 AB 绕 x 轴一周
16、所得旋转曲面为 S(分数:4.00)(1).求旋转曲面的方程;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(2).求曲面 S 介于平面 z0 与 z1 之间的体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对任意的 x0,1,垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)(x 2 y 2 )(2z 2 一 2z1) 于是 )解析:27.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:29.计算定积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:30.证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:31.
17、证明:当 x0 时,f(x) 的最大值不超过 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x0 时,令 f“(x)(xx 2 )sin 2n x0 得 x1,xk(k1,2,),当 0x1 时,f“(x)0;当 x1 时,f“(x)0(除 xk(k1,2,)外 f“(x)0),于是 x1 为f(x)的最大值点,f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时,sinxx,所以当 xx,1时,(xx 2 )sin 2n x(xx 2 )x 2n x 2n1 一 x 2n2 , )解析:32.设 f(x)在a,b上连续,且对任意的 t0,1及任意的 x 1 ,x 2 a,b满足: f(tx 1 (1
18、 一t)x 2 )tf(x 1 )(1 一 t)f(x 2 ) 证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:33.设 f(x)Ca,b,在(a,b)内二阶可导,且 f“(x)0,(x)是区间a,b上的非负连续函数,且证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:34.令 f(x)x 一x,求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为xmxm(其中 m 为整数),所以 f(x)x 一x是以 1 为周期的函数,又xx,故 f(x)0,且 f(x)在0,1上的表达式为 对充分大的 x,存在自然数 n,使得nxn1,则 )解析:35.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥提出井口设井深 30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重 50N,抓斗盛污泥 2 000 N,提升速度为 3 ms,在提升过程中,污泥以 20 Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口,问克服重力做功多少? (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设拉力对空斗所做的功为 W 1 ,则 W 1 4003012000(J)设拉力对绳所做的功为 W 1 ,任取x,xdx 0,30,dW 2 50(30x)dx, 则 设拉力对污泥做功为 W 3 ,任取t,tdt 0,10, dW 3 (2 00020t)3dt, 则 )解析: