1、考研数学一（高等数学）-试卷 29 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设直线 （分数：2.00）填空项 1:_2.点 M(3，一 1，2)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_3.两异面直线 （分数：2.00）填空项 1:_4.设点 M 1 (1，一 1，一 2)，M 2 (1，0，3)，M 3 (2，1，2)，则点 M 3 到向量 （分数：2.00）填空项 1:_5.直线 （分数：2.00）填空项 1:_6.设直线 l 过点 M(1，一 2，0)且与两条直线 （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：31，分数：64
2、.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 f(x)在(一 a，a)(a0)内连续，且 f“(0)2（分数：4.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 （分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_8. （分数：2.00）_9.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(一，)有f(x)f“(x)1证明：f(x)1（分数：2.00）_10.设 f(x)在(一，)上有定义，且对任意的 x，y(一，)有f(x)f(y)xy证明： （分数：2.00）_11.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_12
3、.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： （分数：2.00）_13.设 f(x)在(0，)内连续且单调减少证明： （分数：2.00）_14.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， （分数：2.00）_15.设 f“(x)在0，1上连续且f“(x)M证明： （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)0，令 。证明： （分数：2.00）_17.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)一 f(0)1证明： （分数：2.00）_18.(x)在a，b上连续可导，且 f(a)0证明： （分数：2.00）_19.(x)在a，b上连续可导，且 f(a)f
4、(b)0证明： （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_22.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_23.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式： （分数：2.00）_24.设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x1 所围成的图形面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积
5、（分数：2.00）_25.求曲线 y3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_26.求椭圆 与椭圆 （分数：2.00）_设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：4.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：2.00）_(2).求曲面 S 介于平面 z0 与 z1 之间的体积（分数：2.00）_27.计算 （分数：2.00）_28.计算 （分数：2.00）_29.计算定积分 （分数：2.00）_30.证明： （分数：2.00）_31.证明：当 x0 时，f(x) 的最大值不超过 （分数：
6、2.00）_32.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 (1 一t)x 2 )tf(x 1 )(1 一 t)f(x 2 ) 证明： （分数：2.00）_33.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且证明： （分数：2.00）_34.令 f(x)x 一x，求极限 （分数：2.00）_35.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2 000 N，提升速度为 3 ms，在提升过程中，污泥以 2
7、0 Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少? （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 29 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 3yz20）解析：解析：所求平面的法向量为 n1，0，一 12，1，11，一 3，1，又平面过点(1，2，3)，则所求平面方程为 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)(z 一 3)0，即 ：x 一 3yz202.点 M(3，一 1，2)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
8、*）解析：解析：直线的方向向量为 s1，1，一 12，一 1，10，一 3，一 3，显然直线经过点 M 0 (1，一 1，1)， ，则点 M(3，一 1，2)到直线 的距离为 3.两异面直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：s 1 4，一 3，1，s 2 一 2，9，2，n4，一 3，1一 2，9，2一 15，一10，30，过直线 L 2 且与 L 1 平行的平面方程为 ：一 15x 一 10(y7)30(z 一 2)0，即：3x2y 一 6z260， 4.设点 M 1 (1，一 1，一 2)，M 2 (1，0，3)，M 3 (2，1，2)，则点 M 3
9、 到向量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 y 2 一 z 2 1）解析：解析：设 M(x，y，z)为旋转曲面上的任意一点，该点所在的圆对应与直线 L 上的点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，圆心为 T(0，0，z)，由 ，得 x 2 y 2 x 0 2 y 0 2 因为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)L，所以 6.设直线 l 过点 M(1，一 2，0)且与两条直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直线 l 1 的方向向量为 s 1
10、2，0，11，一 1，31，一 5，一 2，直线 l 2 的方向向量为 s 2 1，一 4，0，则直线 l 的方向向量为 ss 1 s 2 (一 8，一 2，1)，直线 l 的方程为 ，参数方程为 二、解答题(总题数：31，分数：64.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 f(x)在(一 a，a)(a0)内连续，且 f“(0)2（分数：4.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.
11、设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(一，)有f(x)f“(x)1证明：f(x)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)e x f(x)，则 “(x)e x f(x)f“(x)， 由f(x)f“(x)1得“(x)e x ，又由 f(x)有界得 (一)0，则 (x)(x)一 (一) ，两边取绝对值得 )解析：10.设 f(x)在(一，)上有定义，且对任意的 x，y(一，)有f(x)f(y)xy证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(b 一 a)f(a) ， )解析：11.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数
12、：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0mf(x)M，所以 f(x)一 m0，f(x)一 M0，从而 )解析：12.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 f(x)在(0，)内连续且单调减少证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f“(x)在0，1上连续且f“(x)M证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)0
13、，令 。证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)一 f(0)f“()x，其中 介入 0 与 x 之间， 因为 f(0)0，所以f(x)f“()xMx，x0，a， 从而 )解析：17.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)一 f(0)1证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.(x)在a，b上连续可导，且 f(a)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.(x)在a，b上连续可导，且 f(a)f(b)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在a，b上连续可导，证明：
14、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x1 所围成的图形面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所
15、对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)直线 yax 与抛物线 yx 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ) )解析：25.求曲线 y3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y3 旋转所成的体积)解析：26.求椭圆 与椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积. )解析：设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周
16、所得旋转曲面为 S（分数：4.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求曲面 S 介于平面 z0 与 z1 之间的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)(x 2 y 2 )(2z 2 一 2z1) 于是 )解析：27.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.
17、证明：当 x0 时，f(x) 的最大值不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，令 f“(x)(xx 2 )sin 2n x0 得 x1，xk(k1，2，)，当 0x1 时，f“(x)0；当 x1 时，f“(x)0(除 xk(k1，2，)外 f“(x)0)，于是 x1 为f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当 xx，1时，(xx 2 )sin 2n x(xx 2 )x 2n x 2n1 一 x 2n2 ， )解析：32.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 (1
18、 一t)x 2 )tf(x 1 )(1 一 t)f(x 2 ) 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.令 f(x)x 一x，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为xmxm(其中 m 为整数)，所以 f(x)x 一x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 对充分大的 x，存在自然数 n，使得nxn1，则 )解析：35.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2 000 N，提升速度为 3 ms，在提升过程中，污泥以 20 Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设拉力对空斗所做的功为 W 1 ，则 W 1 4003012000(J)设拉力对绳所做的功为 W 1 ，任取x，xdx 0，30，dW 2 50(30x)dx， 则 设拉力对污泥做功为 W 3 ，任取t，tdt 0，10， dW 3 (2 00020t)3dt， 则 )解析：
