1、考研数学一（高等数学）-试卷 27 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 x0 时，(1+sinx) x -1 是比 xtan n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比( （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。3.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0。B.对任何 (a，b)，有C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，
2、b)，使 f“()=0。D.存在 (a，b)，使 f(b)-f(a)=f“()(b-a)。4.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f“(1)=0， （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值。B.f(1)是 f(x)的极小值。C.(1，f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标。D.f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标。5.旋轮线的一支 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的质心是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在点(1，-1，1)处沿曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t
3、3 在该点指向 x 轴负向一侧的切线方向的方向导数等于( )（分数：2.00）A.-12。B.12。C.D.7.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设有命题 （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。9.在下列方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）A.y“+y“-4y“-4y=0。B.y“+y“+4y“+4y=0。C.y“-y“-4y“+4y=0。D.y“-y“+4y“-4y=0。二、
4、填空题(总题数：8，分数：16.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 xy=e x+y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.在曲线 y=x 2 (0x1)上取一点(t，t 2 )(0t1)，设 A 1 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=0 所围成的图形的面积；A 2 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=1 所围成的图形的面积，则 t 取 1 时，A=A 1 +A 2 取最小值。（分数：2.00）填空项 1:_13.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项
5、1:_15.设 L 是正向圆周 x 2 +y 2 =9，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_16.设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_17.二阶常系数非齐次线性方程 y“-4y“+3y=2e 2x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.求函数 f(x)= （分数：2.00）_20.设函数 f(x)在 x=0 处二阶可导，且满足 （分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=
6、1，证明必存在 ，(a，b)，使得 e - f()+f“()=1。（分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明 （分数：2.00）_23.设 z= ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_24.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，y0，x0上的最大值和最小值。（分数：2.00）_25.计算累次积分 （分数：2.00）_26.计算曲面积分 ，其中为锥面 z= （分数：2.00）_27.求幂级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 27 答案解析(总分：54
7、.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 x0 时，(1+sinx) x -1 是比 xtan n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比( （分数：2.00）A.1。B.2。 C.3。D.4。解析：解析：当 x0 时， (1+sinx) x -1ln(1+sinx) x -1+1=xln(1+sinx)xsinxx 2 ， (eain 2x -1)ln(1+x 2 ) sin 2 x.x 2 x 4 ， 而 xtan n x.x n =x n+1 。所以 2n+14，
8、则正整数 n=2，故选 B。3.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0。B.对任何 (a，b)，有 C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f“()=0。D.存在 (a，b)，使 f(b)-f(a)=f“()(b-a)。解析：解析：因只知 f(x)在闭区间a，b上有定义，而 A、C、D 三项均要求 f(x)在a，b上连续。故选项 A、C、D 均不一定正确，故选 B。4.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f“(1)=0， （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极
9、大值。B.f(1)是 f(x)的极小值。 C.(1，f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标。D.f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标。解析：解析：选取特殊函数 f(x)，其满足：f“(x)= (x-1) 2 ，如取 f(x)= 5.旋轮线的一支 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的质心是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：先求弧微分 于是得弧长 四个选项中，质心的横坐标均相同，所以只需求质心的纵坐标 。为此，再求 代入公式得6.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在点(1，-1，1)处沿曲线 x=t，y
10、=-t 2 ，z=t 3 在该点指向 x 轴负向一侧的切线方向的方向导数等于( )（分数：2.00）A.-12。B.12。C. D.解析：解析：函数 f(x，y，z)在点(1，-1，1)处的梯度 gradf (1,-1,1) =(2，-2，2)。曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 在点(1，-1，1)处切线向量为 t=(1，-2，3)，而指向 x 轴负向一侧的切向量为(-1，2，-3)，则所求的方向导数为 7.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对于第二类面积分，若曲面(包含侧)关于
11、x=0(即 yOz 坐标面)对称，则 本题中曲面关于 x=0 对称，而选项 A、C、D 中的被积函数 x 2 ，y 2 ，y，关于 x 都是偶函数，则其积分为零，而B 选项中的被积函数 x 为 x 的奇函数，则 8.设有命题 （分数：2.00）A.1。 B.2。C.3。D.4。解析：解析：只有是正确的，事实上，级数 (a n+1 -a n )的部分和数列 S n =(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+(a n+1 -a n )=a n+1 -a 1 ， 数列a n 收敛，则 (a n+1 -a n )收敛。 不正确。如 不收敛。 不正确。正项级数 是收敛的，事实上， 不存在。 不正
12、确。如 ，但级数 9.在下列方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）A.y“+y“-4y“-4y=0。B.y“+y“+4y“+4y=0。C.y“-y“-4y“+4y=0。D.y“-y“+4y“-4y=0。 解析：解析：由通解 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x 可知，所求方程的特征方程为(r-1)(r 2 +4)=0，即 r 3 -r 2 +4r-4=0，对应的方程为 y“-y“+4y“-4y=0，故选 D。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)10.= 1
13、。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.已知 xy=e x+y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在方程两端分别对 x 求导，得 其中 y=y(x)是由方程 xy=e x+y 所确定的隐函数。 12.在曲线 y=x 2 (0x1)上取一点(t，t 2 )(0t1)，设 A 1 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=0 所围成的图形的面积；A 2 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=1 所围成的图形的面积，则 t 取 1 时，A=A 1 +A 2 取最小值。（分数：
14、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 1-3-7 所示。 当 t= 13.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：假设平面 1 过 L 且垂直于平面，设 L 的方向向量为 s， 1 的法向量为 n 1 ，的法向量为 n，则 n 1 s，n 1 n，而 对于方程 取 x=0，则 y=4，z=-1。即点(0，4，-1)在平面 1 上，则 1 的方程为 x-0-2(y-4)-(z+1)=0，即 x-2y-z+7=0。 L 在上的投影既在平面上又在平面 1 上，因此 14.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_
15、（正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题干可知 f(x，0)=x 2 ，则 f x (x，0)=2x。故 f x (1，0)=2。15.设 L 是正向圆周 x 2 +y 2 =9，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-18）解析：解析：由格林公式知16.设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(-2，4)）解析：解析：根据幂级数的性质：对原幂级数逐项求导后得 ，收敛半径不变，因此有17.二阶常系数非齐次线性方程 y“-4y“+3y=2e 2x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
16、答案：y=C 1 e x +C 2 e 3x -2e 2x）解析：解析：特征方程为 r 2 -4r+3=0，解得 r 1 =1，r 2 =3。 由于 =2 不是特征根，可设原方程的特解为 y * =ke 2x ，代入原方程可得 k=-2。 故通解为 y=C 1 e z +C 2 e 3x -2e 2x 。三、解答题(总题数：10，分数：20.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x)的间断点只有 x=0 和 x=1。 )解析：20.设函数 f(x)在 x=0 处二阶可导，
17、且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可知 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明必存在 ，(a，b)，使得 e - f()+f“()=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=e x f(x)，由 F(x)及 e x 在a，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在 ，(a，b)，使得 F(b)-F(a)=e b f(b)-e a f(a) =F“()(b-a) =e f“()+f()(b-a)， e b -e a =e (b-a)。 将以上两式相比，且由 f(a)=f(b)
18、=1，整理后有 e - )+f“()=1。)解析：22.设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可设 f(x)=f(x 0 )，即证 )解析：23.设 z= ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据复合函数的求导公式，有 )解析：24.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，y0，x0上的最大值和最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 D 内的驻点及相应的函数值，由 得 f(x，y)在 D 内有一个驻点 =2
19、。 再求 f(x，y)在 D 的边界上的最大值与最小值，D 的边界由三部分组成： 一是线段 1 ：y=0，0x2，在 1 上 f(x，y)=x 2 (0x2)， 最小值为 0，最大值为 4。 二是线段 2 ：x=0，0y2，在 2 上 f(x，y)=2y 2 (0y2)， 最小值为 0，最大值为 8。 三是上半圆周 3 ：y 2 =4-x 2 (0x2)，在 3 上 f(x，y)=x 2 +2(4-x 2 )-x 2 (4-x 2 ) =8-5x 2 +x 4 h“(x)= ，由 h“(x)=0 得 x=0 或 x 2 = ，且 )解析：25.计算累次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确
20、答案：设 则积分区域分别是 D 1 =(x，y)1x1，1-xy2-x， D 2 =(x，y)1x2，0y2-x。 记区域 D=D 1 +D 2 ，D 是由直线 y=1x，y=2-x 与 x 轴和 y 轴在第一象限围成的平面区域(如图 1-6-8 所示)，且 令 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中区域 D可表示为 于是所求累次积分 在内层积分中令 t=r(cos+sin)，则 dt=(cos+sin)dr，t：12，从而 )解析：26.计算曲面积分 ，其中为锥面 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：27.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 a n = ，则 )解析：
