1、考研数学一（高等数学）-试卷 25 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：20.00)1. （分数：2.00）填空项 1:_2. （分数：2.00）填空项 1:_3. （分数：2.00）填空项 1:_4.设 f(x)为连续函数，且满足 （分数：2.00）填空项 1:_5. （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：20，分数：52.00)11.解答题
2、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 f n (x)xx 2 x n (n2)（分数：4.00）(1).证明方程 f n (x)1 有唯一的正根 x n ；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_12.设 a0，讨论方程 ae x x 2 根的个数（分数：2.00）_13.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 一 3xk0 根的个数（分数：2.00）_14.设 k 为常数，方程 （分数：2.00）_15.设 f(x)在一 1，1上可导，f(x)在 x0 处二阶可导，且 f“(0)0，f“(0)4求 （分数：2.00）_16.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)f“(0)
3、0，f“(x)0曲线 yf(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_设函数 f(x) （分数：6.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x0 处连续；（分数：2.00）_(2).求 f“(x)；（分数：2.00）_(3).讨论 f“(x)在 x0 处的连续性（分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(a)f“一(b)0证明：存在 (a，b)，使得f“()0（分数：2.00）_18.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)1，f“(1)0，f(2) （分数：2.00）_19.设 f
4、(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内司导，且 f(a)abf(b). 证明：存在 i (a，b)(i1，2，n)，使得 （分数：2.00）_20.设函数 yf(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x(y)互为反函数，求 “(y)（分数：2.00）_21.设 f(x)在 xx 0 的邻域内连续，在 xx 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(1)0证明：存在 (0，1)，使得 f“() （分数：2.00）_23.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1，证明：对任意的 a0，b0，存在
5、 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0， （分数：8.00）(1).存在 c(a，b)，使得 f(c)0；（分数：2.00）_(2).存在 i (a，b)(i1，2)，且 i 2 ，使得 f“( i )f( i )0(i1，2)；（分数：2.00）_(3).存在 (a，b)，使得 f“()f()；（分数：2.00）_(4).存在 (a，b)，使得 f“()一 3f“()2f()0（分数：2.00）_24.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1
6、)f(a 2 )f(a n )0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_25.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(xh)f(x)f“(xh)h(001)证明： （分数：2.00）_设平面曲线 L 上一点 M 处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L 在点 M 处的法线，法线上的两点 P，Q分别位于 L 的两侧，其中 P 在 AM 上，Q 在 AM 的延长线 AN 上，若 P，Q 满足APAQ 2 ，称P，Q 关于 L 对称设 L： ，P 点的坐标为 （分数：4.00）(1).求点 M，使得 L 在 M 点处的法线经过点 P，并写出法线的参数方程；（分
7、数：2.00）_(2).求点 P 关于 L 的对称点 Q 的坐标（分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)0证明：存在 0，1，使得 f“() （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 25 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：20.00)1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：2. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln(1e x )C）解析：解析：3. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：4.设 f(x)为连续函数，
8、且满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cosxxsinxC）解析：解析：5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：二、解答题(总题数：20，分数：
9、52.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 f n (x)xx 2 x n (n2)（分数：4.00）(1).证明方程 f n (x)1 有唯一的正根 x n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 n (x)f n (x)一 1，因为 n (0)一 10， n (1)n 一 10，所以 n (x)在(0，1) )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f n (x n )一 f n1 (x n1 )0，得 ，从而 x n x n1 ，所以 单调减少，又 x n 0(n1，2，)，故 存在，设 ，显然 Ax n x 1 1，由 x
10、 n x n 2 x n n 1，得 ，两边求极限得 ，解得 ，即 )解析：12.设 a0，讨论方程 ae x x 2 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ae x x 2 等价于 x 2 e x 一 a0 令 f(x)x 2 e x 一 a，由 f“(x)(2xx 2 )e x 0 得 x0，x2 当 x0 时，f“(x)0；当 0x2 时，f“(x)0；当 x2 时，f“(x)0， 于是 x0 为极小点，极小值为 f(0)一 a0；x2 为极大点，极大值为 f(2) 一a，又 (1)当 ，即 时，方程有三个根； (2)当 ，即 时，方程有两个根 (3)当 ，即 )解析：13.
11、就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 一 3xk0 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)x 3 一 3xk， )解析：14.设 k 为常数，方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)在一 1，1上可导，f(x)在 x0 处二阶可导，且 f“(0)0，f“(0)4求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)f“(0)0，f“(x)0曲线 yf(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 yf(x)
12、在点(x，f(x)处的切线方程为 Y 一 f(x)f“(x)(Xx)， )解析：设函数 f(x) （分数：6.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x0 处连续；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 f“(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).讨论 f“(x)在 x0 处的连续性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(a)f“一(b)0证明：存在 (a，b)，使得f“()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f“ (a)0，f“ (b)0，根据
13、极限的保号性，由 f“ (a) 0，则存在 0(b 一 a)，当 0xa 时， )解析：18.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)1，f“(1)0，f(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作一个函数 P(x)ax 3 bx 2 cxd，使得 P(0)f(0)1，P“(1)f“(1)0， P(2)f(2) ，P(1)f(1) 则 P(x) 令 g(x)f(x)一 P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)g(1)g(2)0，所以存在 c 1 (0，1)，c 2 (1，2)，使得 g(c 1 )g(1)g“(c 2 )0，又存在 d 1 (c 1 ，1)，d
14、2 (1，c 2 )使得 g“(d 1 )g“(d 2 )0，再由罗尔定理，存在 (d 1 ，d 2 ) )解析：19.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内司导，且 f(a)abf(b). 证明：存在 i (a，b)(i1，2，n)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h ，因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)abf(b)，所以 f(a)aaha(n 一 1)hbf(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 ac 1 c 2 c n1 b，使得 f(c 1 )ah，f(c 2 )a2h，f(c n1 )a(n 一 1)h，再由微分中值定理，
15、得 f(c 1 )一 f(a)f“( 1 )(c 1 一 a)， 1 (a，c 1 )， f(c 2 )一 f(c 1 )f“( 2 )(c 2 一 c 1 )， 2 (c 1 ，c 2 )， f(b)一 f(c n1 )f“( n )(b 一 c n1 )， n (c n1 ，b)，从而有 )解析：20.设函数 yf(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x(y)互为反函数，求 “(y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 ， )解析：21.设 f(x)在 xx 0 的邻域内连续，在 xx 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_正
16、确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)一 f(x 0 )f“()(xx 0 )，其中 介于 x 0 与 x 之间，则 ，由 得 )解析：22.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(1)0证明：存在 (0，1)，使得 f“() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)(x 一 1) 2 f“(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)f(1)0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f“(c)0，再由 (c)(1)0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 “()0，而 “(x)2(x 一 1)f“(x)(x 一 1) 2 f“(x)，所以 2( 一
17、1)f“()( 一 1) 2 f“()0，整理得 )解析：23.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1，证明：对任意的 a0，b0，存在 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，f(0)0，f(1)1，且 f(0) f(1)，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 由微分中值定理，存在 (0，c)，(c，1)，使得)解析：设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0， （分数：8.00）(1).存在 c(a，b)，使得 f(c)0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令
18、 F(x) ，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F“(x)f(x)故存在 x(a，b)，使得 )解析：(2).存在 i (a，b)(i1，2)，且 i 2 ，使得 f“( i )f( i )0(i1，2)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)e x f(x)，因为 h(a)h(c)h(b)0，所以由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h“( 1 )一 h“( 2 )0， 而 h“(x)e x f“(x)f(x)且 e x 0，所以 f“( i )f( i )0(i1，2)解析：(3).存在 (a，b)，使得 f“()f()；（分数：2.0
19、0）_正确答案：(正确答案：令 (x)e x f“(x)f(x)，( 1 )( 2 )0，由罗尔定理，存在( 1 ， 2 ) )解析：(4).存在 (a，b)，使得 f“()一 3f“()2f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)e x f(x)，g(a)g(c)g(b)0， 由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 g“( 1 )g“( 2 )0， 而 g“(x)e x f“(x)一 f(x)且 e x 0，所以f“( 1 )一 f( 1 )0，f“( 2 )一 f( 2 )0 令 (x)e 2x f“(x)一 f(x)，( 1 )( 2 )0， 由罗尔
20、定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：24.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )f(a 2 )f(a n )0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 ca i (i1，2，n)时，对任意的 (a 1 ，a n )，结论成立； 设 c为异于 a 1 ，a 2 ，a n 的数，不妨设 a 1 ca 2 a n 令 构造辅助函数 (x)f(x)一 k(xa 1 )(xa 2 )(xa n )，显然 (x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，且 (a 1 )(c)(a
21、2 )(a n )0， 由罗尔定理，存在 1 (1) (a 1 ，c)， 2 (1) (c，a 2 )， n (1) (a n1 ，a n )，使得 “( 1 (1) )“( 2 (1) )“( n (1) )0，“(x)在(a 1 ，a n )内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n1) (x)在(a 1 ，a n )内至少有两个不同零点，设为 c 1 ，c 2 (a 1 ，a n )，使得 (n1) (c 1 ) (n1) (c 2 )0， 再由罗尔定理，存在 (c 1 ，c 2 ) (a 1 ，a 2 )，使得 (n) ()0 而 (n) (x)f (n) (x)一 n!k，
22、所以 f (n) ()n!k，从而有 )解析：25.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(xh)f(x)f“(xh)h(001)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：设平面曲线 L 上一点 M 处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L 在点 M 处的法线，法线上的两点 P，Q分别位于 L 的两侧，其中 P 在 AM 上，Q 在 AM 的延长线 AN 上，若 P，Q 满足APAQ 2 ，称P，Q 关于 L 对称设 L： ，P 点的坐标为 （分数：4.00）(1).求点 M，使得 L 在 M 点处的法线经过点 P，并写出法线的参数方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M(x，y)L，则 )解析：(2).求点 P 关于 L 的对称点 Q 的坐标（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)0证明：存在 0，1，使得 f“() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)在区间0，1上连续，所以 f“(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)一 f(0)f“(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 )解析：
