1、考研数学一（高等数学）-试卷 23 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f“(x)连续，f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点3.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数
2、：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单凋减少C.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续6.设 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导7.若 f(x)=f(x)，且在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“
3、(x)08.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0，则当 axb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设函数 y=y(x)由 e 2x+y 一 cos(xy)=e 一 1 确定，则曲线 y=y(z)在 x=0 对应点处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(u)可导，
4、y=f(x 2 )在 x 0 =一 1 处取得增量x=005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则f“(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()=（分数：2.00）_14.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，试证明存在 (a，b)，使 （分数：2.00）_15.设 f(x)在a，b上连
5、续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明： (1)存在 (a，b)，使得f“()=2f() (2)存在 (a，b)，使得 f“()+f()=0（分数：2.00）_16.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g“(x)0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 f(t)dt+( 一 1)f()=0（分数：2.00）_18.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()一 f()=f(2)一2f(1)（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1
6、上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f“()+f“()=0（分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0（分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内三阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)
7、，使得 f“()0，f“()0（分数：2.00）_23.设 ba0，证明： （分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上满足f“(x)2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明： f“(a)+f“(b)2(b 一 a)（分数：2.00）_25.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f“(x)M，证明：f“(x) （分数：2.00）_26.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_27.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)ln 2 (1+x)（分数：2.00）_28.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_29.求 y= 0 x (1 一 t)ar
8、ctantdt 的极值（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 23 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f“(x)连续，f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点解析：解析：由 =1 及 f“(x)的连续性，得 f“(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0|x|时，3.设 f
9、(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：4.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单凋减少C.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) 解析：解析： 5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续 解析：解析：6.设 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导 解析：解析：7.若 f(
10、x)=f(x)，且在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f“(x)为偶函数，故在(一，0)内有 f“(x)0因为 f“(x)为奇函数，所以在(一，0)内 f“(x)0，选(C)8.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0，则当 axb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)
11、g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析：二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设函数 y=y(x)由 e 2x+y 一 cos(xy)=e 一 1 确定，则曲线 y=y(z)在 x=0 对应点处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x=0 时，y=1，10.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 f(u)可导，y=f(x 2 )在 x 0 =一 1 处取得增量x=005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则f
12、“(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 dy=2xf“(x 2 )x 得 dy| x=1 =一 2f“(1)005=一 01f“(1)，因为y 的线性部分为dy，由一 01f“(1)=015 得 f“(1)=一 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(b 一 x) a f(x)，显然 (x)在a
13、，b上连续，在(a，b)内可导， 因为(a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 由 “(x)=(b 一 x) a1 (b 一 x)f(x)一 af(x)得 (b 一 ) a1 (b 一 )f“()一 af()且(b 一 ) a1 0，故 f()= )解析：14.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，试证明存在 (a，b)，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x) x a g(t)dt+g(x) a x f(t)dt， (x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内
14、可导，且 “(x)=f“(x) x b g(t)dt 一 f(x)g(x)+g(x)f(x)+g“(x) a x f(t)dt =f“(x) x b g(t)dt+g“(x) a x f(t)dt， 因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使()=0，即 f“() b g(t)dt+g“() a f(t)dt=0， 由于 g(b)=0 及 g“(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0， 从而就有 x b g(t)dt0，于是有 )解析：15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明： (1)存在 (a，b)，使得f“()=2f()
15、 (2)存在 (a，b)，使得 f“()+f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)= f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)= )解析：16.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g“(x)0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F
16、“()=0，而 F“(x)=f“(x)g(b)+f(a)g“(x)一 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)，所以 )解析：17.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 f(t)dt+( 一 1)f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=x 0 x f(t)dt 一 0 x f(t)dt 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 “()=0 而 “(x)= 0 x f(t)dt+(x 一 1)f(x)，故 0 f(t)dt+(一 1)f()=0)解析：18.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2
17、)，使得 f“()一 f()=f(2)一2f(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= ， 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)一 f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 “()=0， 而 “(x)= )解析：19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f“()+f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(
18、x)=x 2 ，F“(x)=2x0(axb)，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 ，再由拉格朗日中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 因为点A，B，C 共线，所以 f“( 1 )=f“( 2 )， 又因为 f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：22
19、.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内三阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)，使得 f“()0，f“()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b)， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c，b)，使得 )解析：23.设 ba0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)在a，b上满足f“(x)2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明： f“(a)+f“
20、(b)2(b 一 a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为 f(x)在a，b上的最小值，从而 f“(c)=0 由微分中值定理得 )解析：25.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f“(x)M，证明：f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：26.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx，f(1)=2ln20， 因为 f“(x)=ln(1+x)+1lnx 一1=ln(1+ )0(x
21、1)， 所以 f(x)在1，+)上单调增加。 再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x)0，即 )解析：27.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)ln 2 (1+x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2 一(1+x)ln 2 (1+x)，f(0)=0； f“(x)=2xln 2 (1+x)一 2ln(1+x)，f“(0)=0； )解析：28.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求 y= 0 x (1 一 t)arctantdt 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=(1x)arctanx=0，得 x=0 或 x=1，y“=一 arctanx+ 0，所以 x=0 为极小值点，极小值为 y=0；x=1 为极大值点，极大值为 y(1)= 0 1 (1 一 t)arctantdt= 0 1 arctantdt 0 1 tarctantdt )解析：
